高二数学(理科)试卷1(必修5、选修2-1)


高二数学(理科)试卷 说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时,只交回答题卷. 第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的 4 个选项中只有 一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和为( A.513 ) B.512 C.510 D.
225 8

2.在△ABC 中,a= 2 3 ,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于( A.30° B.60° C.60°或 120°



D. 30°或 150

? x ? y ? 2 ? 0, ? 3.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?

A.4 2

B.4

C.2 2 )

D.2

4.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则 a14=( A.41 B.45 C.39 D.37

5.设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

6.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,则 A1 B 与 D1E 所成角的余弦值 为 A.
5 10

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

7.以下有四种说法,其中正确说法的个数为: (1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件; (2) “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的充要条件; (3) “ x ? 3 ”是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件;
高二数学(理科)试卷 第1页 (共 12 页)

(4) “ A B ? B ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 8. (2010 天津理数) (5)已知双曲线

D. 3 个

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x , a 2 b2

它的一个焦点在抛物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为 (A)
x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y 2 ? ?1 108 36
1 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

(C)

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9

4

9.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是 A.



1 5

B.

C. 3
3

D. 3 ( )

10.下列函数中,最小值为 4 的是 A. y ? x ?

4 x

B. y ? sin x ?

4 sin x

(0 ? x ? ? )

C.

y ? e x ? 4e ? x

D. y ?

x2 ?1 ?

2 x2 ?1

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把下列各题的正确答案填写 在答题卷相应的位置上) 10.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 11.已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) ,| ? a ? b |? ___________.
高二数学(理科)试卷 第2页 (共 12 页)

29 且 ? ? 0 ,则 ? =

12.双曲线的一个焦点是 F2 (0 , 2) ,离心率 e ? 2 ,则双曲线的标准方程是 13.在△ABC 中,A=60°,b=1,S△ABC= 3,则 的值为________. sinA 14.已知抛物线 y2=2px(p>0)的过焦点的弦为 AB,且|AB|=5,又 xA+xB=3,则 p= 。
x ? 0的解集为 {x | 0 ? x ? 1} ; x ?1



a

15.已知命题 P:不等式

命题 q:在△ABC 中, “A > B”是“sinA > sinB”成立的必要不充分条件. 有下列四个结论: ①p 真 q 假;②“p∧q”为真;③“p∨q”为真;④p 假 q 真 其中正确结论的序号是 .(请把正确结论的序号都 填上) .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分)
4 已知 m ? R ,设命题 P: |m-5|≤3;命题 Q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两个不同的零点.求 3 使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围.

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1

O

M

高二数学(理科)试卷

第3页

(共 12 页)
A B N C D

的菱形, ?ABC ?

?
4

, OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点,

以 A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间向量解答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离.

19. (本小题满分 12 分) 某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工 做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需 要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工 厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型 桌子各多少张,才能获得利润最大?
新疆

王新敞
学案

20. (本小题满分 13 分)
2 已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2a6 .

(I)求数列

{an} 的通项公式.
1 { } ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和.

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

高二数学(理科)试卷

第4页

(共 12 页)

21. (本小题满分 14 分)
x2 已知椭圆 G: ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4

点。 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。

说明:1.本试卷共 4 页,考试时间为 120 分钟,满分 150 分; 2.各题均在答题卷指定位置上作答,否则无效;考试结束时,只交回答题卷. 第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的 4 个选项中只有 一个是正确的,请将所选选项的字母填写在答题卷相应的位置上) 1.在公比为整数的等比数列 ?an ? 中,如果 a1 ? a4 ? 18, a2 ? a3 ? 12, 那么该数列的前 8 项之和为( A.513 ) B.512 C.510 D.
225 8

2.在△ABC 中,a= 2 3 ,b= 2 2 ,B=45°,则 A 等于( A.30° B.60° C.60°或 120°



D. 30°或 150

? x ? y ? 2 ? 0, ? 3.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域的面积是 ?x ? 2 ?

A.4 2

B.4
高二数学(理科)试卷

C.2 2
第5页 (共 12 页)

D.2

4.在等差数列{an}中,a2=5,a6=17,则 a14=( A.41 B.45 C.39 D.37

)

5.设抛物线 y 2 ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

6.在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 是棱 A1B1 的中点,则 A1 B 与 D1E 所成角的余弦值 为 A.
5 10

B.

10 10

C.

5 5

D.

10 5

7.以下有四种说法,其中正确说法的个数为: (1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件; (2) “ a ? b ”是“ a 2 ? b 2 ”的充要条件; (3) “ x ? 3 ”是“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; (4) “ A B ? B ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 8. 已知双曲线
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y= 3x ,它的一个焦点在抛 a 2 b2

物线 y 2 ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为 (A)
x2 y 2 ? ?1 36 108 x2 y 2 ? ?1 108 36
1 B. 2

(B)

x2 y 2 ? ?1 9 27

(C)

(D)

x2 y 2 ? ?1 27 9

4

9.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则椭圆的离心率是



1 A. 5

C. 3
3

D. 3 ( )

10.下列函数中,最小值为 4 的是 A. y ? x ?

4 x

B. y ? sin x ?

4 sin x

(0 ? x ? ? )

C.

y ? e x ? 4e ? x

D. y ?

x2 ?1 ?

2 x2 ?1

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第6页

(共 12 页)

第Ⅱ卷(非选择题部分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,请把下列各题的正确答案填写 在答题卷相应的位置上) 11.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 10.已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) ,| ? a ? b |? ____3________.

29 且 ? ? 0 ,则 ? =


11.双曲线的一个焦点是 F2 (0 , 2) ,离心率 e ? 2 ,则双曲线的标准方程是

12.在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 AB1C 与平面 A1C1D 间的距离为 ( ) 3 3 2 3 3 A. B. C. D. 6 3 3 2 2 13.若 x>0,则 x+ x 的最小值为________. 14.若直线 y=kx-2 与抛物线 y2=8x 交于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2,则|AB|=______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算 步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c ,若 1 cos B cos C ? sin B sin C ? . 2 (Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3, b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?
? cos( B ? C ) ? 1 2

1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?

?
3
第7页 (共 12 页)

高二数学(理科)试卷

? A ? B ? C ? ? ,? A ?

2? . 3

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 ? (b ? c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
2? 3

1 即: 12 ? 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,? bc ? 4 2

? S ?ABC ?

1 1 3 bc ? sin A ? ? 4 ? ? 3. 2 2 2

16. (本小题满分 12 分)
4 已知 m ? R ,设命题 P: |m-5|≤3;命题 Q:函数 f(x)=3x2+2mx+m+ 有两个不同的零点.求 3 使命题“P 或 Q”为真命题的实数 m 的取值范围. 答案:解:对 P: |m-5|≤3,即 2≤m≤8………2 分 4 对 Q:由已知得 f(x)=3x2+2mx+m+ =0 的判别式 3 4 Δ=4m2-12(m+ )=4m2-12m-16>0,…………….5 分 3 得 m<-1 或 m>4. ………………………………….8 分 所以,要使“P 或 Q”为真命题,只需求其反面,P 假且 Q 假, 即?

?m ? 8或m ? 2 ………10 分 ?? 1 ? m ? 4

? ? 1 ? m ? 2 ………11分 ? 实数 m 的取值范围是 ? ??, ?1? ??2, ??? …………12 分
17. (本小题满分 14 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 O ? ABCD 中 , 底 面 A B C D是 边 长 为 1 的 菱 形 , ?ABC ?

?
4

,

OA ? 底面ABCD , OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的
中点,以 A 为原点,建立适当的空间坐标系,利用空间 向量解答以下问题: (Ⅰ)证明:直线 MN‖ 平面OCD ; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小;
A M O

D N C

高二数学(理科)试卷

第8页

B页) (共 12

(Ⅲ)求点 B 到平面 OCD 的距离. 解: 作 AP ? CD 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系
2 2 2 2 2 ,0), D(? , ,0), O(0,0, 2), M (0, 0,1), N (1 ? , ,0) ,(3 分) 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 (1) MN ? (1 ? (5 分) , , ?1), OP ? (0, , ?2), OD ? (? , , ?2) 4 4 2 2 2 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n OP ? 0, n OD ? 0 A(0,0,0), B(1,0,0), P(0,

? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0 ? ? 2 2 取 z ? 2 ,解得 n ? (0, 4, 2) (7 分)
∵ MN n ? (1 ? 2 2 , , ?1) (0, 4, 2) ? 0 4 4 ? MN‖ 平面OCD (9 分)
x

z O

M

A B N C P

D y

(2)设 AB 与 MD 所成的角为 ? ,∵ AB ? (1,0,0), MD ? (?

2 2 , , ?1) 2 2

∴cos ? ?

? 1 ? , AB 与 MD 所成角的大小为 ? ,∴? ? 3 3 AB ? MD 2
OB ? n n

AB MD

(13 分)

(3)设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 OB 在向量 n ? (0, 4, 2) 上的投影的绝对值, 由 OB ? (1,0, ?2) , 得 d ? 18. (本小题满分 14 分) 某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工 做一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需 要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工 厂造一张 A、B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型 桌子各多少张,才能获得利润最大?
新疆

?

2 2 .所以点 B 到平面 OCD 的距离为 (15 分) 3 3

王新敞
学案

解:设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张, ?x ? 2 y ? 8 ? 则 ?3 x ? y ? 9 ? x ? 0, y ? 0 ? 目标函数为:z=2x+3y 作出可行域: 把直线 l :2x+3y=0 向右上方平移至 l ? 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且
高二数学(理科)试卷 第9页 (共 12 页)

与原点距离最大,此时 z=2x+3y 取最大值 ?x ? 2 y ? 8 解方程 ? 得 M 的坐标为(2,3). ?3x ? y ? 9 答:每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能获得最大利润 21. 解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0 3 3 ? ? 3; ? 0<m<1, ∴-1< m -1<0, ∴ ? m ?1 1? m 3 ? ? ∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ? ?. 1? m? ?
新疆

王新敞
学案

新疆

王新敞
学案

19. (本小题满分 14 分) (全国新课标理 17)
2 已知等比数列 {an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3 ? 9a2a6 .

(I)求数列 {an} 的通项公式. (II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? 解:
2 3 2 (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a3 ? 9a2 a6 得 a3 ? 9a4 所以

1 { } ? log3 an ,求数列 bn 的前 n 项和.
1 9.

q2 ?

由条件可知 c>0,故

q?

1 3. a1 ? 1 3.

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以
1 n 故数列{an}的通项式为 an= 3 .

(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) n(n ? 1) ?? 2

1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) n(n ? 1) n n ?1 故 bn
高二数学(理科)试卷 第 10 页 (共 12 页)

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1
1 2n { } ? 所以数列 bn 的前 n 项和为 n ? 1

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 G:
x2 ? y 2 ? 1,过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两 4

点。 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值。 (19)解: (Ⅰ )由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以 c ? a 2 ? b 2 ? 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) ,离心率为 e ? (Ⅱ )由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 , 点 A、B 的坐标分别为 (1,
3 3 ), (1,? ), 此时 | AB |? 3 2 2 c 3 ? . a 2

当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ;设 A、B 两点的坐标分 2 ? ? y ? 1. ?4
别为 ( x1 , y1 )(x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又由 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

8k 2 m 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 ; 1 ? 4k 2

? 1, 即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

高二数学(理科)试卷

第 11 页

(共 12 页)

所以 | AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? (1 ? k 2 )[
?

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2

4 3|m| . m 2 ? 3 由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3, 因为

| AB |?

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

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