配套K12四川省眉山一中办学共同体2018-2019学年高一数学上学期期中试题

小学+初中+高中+努力=大学

四川省眉山一中办学共同体 2018-2019 学年高一数学上学期期中试题

第 I 卷(选择题) 一、选择题(共 60 分,每小题 5 分,每个小题有且仅有一个正确的答案)
1.设 A ? ?1,3, 4? , B ? ?2, 4? ,则 A ? B 等于( )

A. ?1, 2,3, 4?

B. ?2, 4?

C.?1, 2,3?

D. ?4?

2.已知集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0, x ? R} , B ? {x | 0 ? x ? 6, x ? N} ,则满足条件 A ? C ? B 的

集合 C 的个数为( )

A.4

B.8

C.9

D.16

3.已知集合 A=[0,8],集合 B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从 A 到 B 的映射的是( )

A.f:x→y= x

B.f:x→y= x

C.f:x→y= x

D.f:x→y=x

4.下列各组函数表示同一函数的是(
A. f (x) ? x2 , g(x) ? ( x )2 C. f (x) ? 3 x2 , g(x) ? ( 3 x )2

) B. f (x) ? 1 , g(x) ? x0
D. f (x) ? x ?1 , g(x) ? x2 ?1 x ?1

?x ?1, x ? 0

5.已知 f (x) ? ??? , x ? 0 则 f ( f ( f (?2))) 等于(



??0, x ? 0

A.π +1

B. 0

C. 2

D. ?

6.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(



A. y ? x ?1

B. y ? x | x |

C. y ? 1 x

D. y ? ?x3

7.函数 f (x) 在 R 上单调递减,关于 x 的不等式 f (x2 ) ? f (2) 的解集是( )

? ? A. x | x ? 2

? ? B. x | x ? 2

C.{x | ? 2 ? x ? 2}

D. {x | x ? ? 2或x ? 2}

8.已知 f ? x ?1? ? x2 ? 4x ? 5 ,则 f ? x ?1? ? ( )

A. x2 ? 8x ? 7

B. x2 ? 6x ?10

C. x2 ? 6x

D. x2 ? 2x ? 3

9.函数 f (x) ? ax2 ? 2(a ?1)x ? 2 在区间 (??, 4) 上为减函数,则 a 的取值范围为( )

A. 0 ? a ? 1 5

B. 0 ? a ? 1 5

C. 0 ? a ? 1 5

D. a ? 1 5

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

10.若函数 f (x) ? x2 ? 3x ? 4 的定义域为[0,m],值域为[? 25 ,?4] ,则 m 的取值范围是(

)

4

A.(0,4]

B.

C.

D.

11.定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足:对任意的 x1、x2 ?(??, 0](x1 ? x2 ) ,有

f (x2 ) ? f (x1) ? 0,且 f (2) ? 0,则不等式 2 f (x) ? f (?x) ? 0的解集是(



x2 ? x1

5x

A.(-∞,-2)∪(0,2)

B. (-∞,-2)∪(2,+∞)

C. (-2,0)∪(2,+∞)

D. (-2,0)∪(0,2)

12.已知函数

f

?x?

?

? ??

x

?

1 2

,

x

?

???0,

1 2

? ??

?

? ??

3x

2

,

x

?

? ??

1 2

,1???

,若存在

x1

?

x2

,使得

f

? x1 ?

?

f

? x2

? ,则

x1

?

f

? x2 ?

的取

值范围为(

A.

? ??

3 4

,1???



B.

? ? ?

1 8

,

3? 6 ???

C.

?3 ??16

,

1 2

? ??

D.

? ??

3 8

, 3 ???

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(共 20 分,每小题 5 分)

2

13.计算


4

1 2

-(?

?1)0 ?

??

64

?3 ?

,所得结果为

? 27 ?

14. 若指数函数 f (x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的图象经过点 (3,8) ,则 f (?1) 的值为____

15.已知函数 f (x) ? ?x2 ? 4x ? a, x ?[0,3], 若 f (x) 有最小值 ? 2 ,则 f (x) 的最大值为____

16.已知函数

f

(

x)

?

? ??

a

?1 x

,

x

?

1

? ??? (

1 2

a

?1)

x

?

2,

x

?

1

在 R 上单调递减,则实数 a 的取值范围是

___

三、解答题(共 70 分)

? ? 17. (10 分)已知集合 A ? {x | y ? 12 ? 4x ? x2 } ,集合 B ? x m ?1 ? x ? 2m ?1 ,

(1)若 m ? 4 ,求 A B ; (2)若 A ? B ? A ,求 m 的取值范围.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 18.(12 分)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x<0 时,f(x)=1+x-1 1.
(1)求 f(2)的值; (2)用定义法判断 y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性.
(3)求 x ? 0时,f (x) 的解析式
19.(12 分)已知函数 f ? x? ? x2 ? 2 x ?1, ?3 ? x ? 3 . ⑴ 证明: f ? x? 是偶函数; ⑵ 在给出的直角坐标系中画出 f ? x? 的图象; ⑶ 求函数 f ? x? 的值域.
20.(12 分)已知二次函数 f (x) 的最小值为 1,且 f (0) ? f (2) ? 3 . 小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 (1)求 f (x) 的解析式. (2)在区间[-1,1]上, y ? f (x) 的图象恒在 y ? 2x ? 2m ? 1 的图象上方,试确定实数 m 的取 值范围.
21. (12 分)家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券类稳健型产品的收益 与投资额成正比,投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品 各投资 1 万元时的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元,如图:
(1)分别写出两类产品的收益 y (万元)与投资额 x (万元)的函数关系;
(2)该家庭有 20 万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益, 最大收益是多少万元?
22.(12 分)已知函数 f (x) 定义域为[-1,1],若对于任意的 x, y ?[?1,1] ,都有 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ,且 x ? 0 时,有 f (x) ? 0 . (1)求 f(0)的值,判断函数 y ? f (x) 的奇偶性,并说明理由; (2)判断函数 f (x) 在区间[-1,1]上的单调性,并证明; (3)设 f (1) ? 1,若 f (x) ? m2 ? 2am ?1,对所有 x ?[?1,1] ,a ?[?1,1] 恒成立,求实数 m
的取值范围.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

眉山一中 2021 届第一期 10 月月考数学参考答案

一、选择题(共 60 分,每小题 5 分)

1----5 DBDCA 6----10 BCABC

11-----12 AC

二、填空题(共 20 分,每小题 5 分)

13. 23 18

14. 1

15.2

2

16. (?1,0]

三、解答题(共 70 分)
17 (1)由12 ? 4x ? x2 ? 0得:? 2 ? x ? 6 ,? A ? [?2,6] ,? A ? B ? {x | 5 ? x ? 6} ·········4 分 (2) 由A ? B ? A得,B ? A
①当 B ? ? 时,m+1>2m-1 得:m<2········6 分 ②当 B ? ? 时, m ? 2

而 B=[5,7]

?m ? 2

??m ?1 ? ?2 ??2m ?1 ? 6

?

2

?

m

?

7 2

········9



综上所述;m 的取值范围为 (??, 7 ] ········10 分 2
18. (1)由函数 f(x)为奇函数,知 f(2)=-f(-

2)= ? 2 ······3 分 3
(2)在(-∞,0)上任取 x1,x2,且 x1<x2,



f

(x1) ?

f

(x2 )

?

????1 ?

1 x1 ?

1

????

?

????1

?

1 x2 ?

1

????

?

1? x1 ?1

1 x2 ?1

?

( x1

x2 ? x1 ?1)(x2 ?1)

由 x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,知 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2).

由定义可知,函数 y=f(x)在区间(-∞,0]上单调递减.···········8 分
(3) 当 x>0 时,-x<0, f (?x) ? 1? 1 x ?1
由函数 f(x)为奇函数知 f(x)=-f(-x),

? f (x) ? ?1? 1 ? ? x ··········12 分 x ?1 x ?1

19.(1)f(x)的定义域??3,3? ,对于任意的 x ???3,3?

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

都有 f ??x? ? ??x?2 ? 2 x ?1 ? x2 ? 2 x ?1 ? f ? x?

所以 f ? x? 是偶函数 ……………4 分

(2) 图象如右图

……………8 分

(3) 根据函数图象可知,函数 f ? x? 的值域为??2, 2? ……………12 分

20.(1)由已知 f (x) 是二次函数,且 f (0) ? f (2) ,得 f (x) 的对称轴为 x ? 1 ,

又 f (x) 的最小值为1,

故设 f (x) ? a(x ?1)2 ? 1 ,

又 f (0) ? 3 , ∴ f (0) ? a ? 1 ? 3 ,解得 a ? 2 ,

∴ f (x) ? 2(x ?1)2 ? 1 ? 2x2 ? 4x ? 3 .

········6 分

(2)由于在区间[-1,1]上, y ? f (x) 的图象恒在 y ? 2x ? 2m ? 1 的图象上方,

所以 2x2 ? 4x ? 3 ? 2x ? 2m ? 1在[-1,1]上恒成立, 即 m ? x2 ? 3x ? 1在[?1,1] 上恒成立.

令 g(x) ? x2 ? 3x ? 1 ,则 g(x) 在区间[-1,1]上单调递减,

∴ g(x) 在区间[-1,1]上的最小值为 g(1) ? ?1 ,

∴ m ? ?1,即实数 m 的取值范围是 (??, ?1)

············12分

21.(1)设 f (x) ? k1x , g(x) ? k2

x

,∴ k1

?

f

(1) ?

1 8



k2

?

g(1) ?

1 2

f (x) ? 1 x(x ? 0) 8

g(x) ? 1 x (x ? 0)

2

·········6 分

(2)设投资债券产品 x 万元,则股票类投资 20-x 万元.依题意得:

令t ?

y ? x ? 1 20 ? x (0 ? x ? 20) 82
20 ? x (0 ? t ? 2 5) ,则 y ? 20 ? t2 ? 1 t ? ? 1 (t ? 2)2 ? 3 . 828

所以,当 t ? 2 ,即 x ? 16 万元时,收益最大为 3 万元

故 2 万元投资债券,18 万元投资股票收益最大,最大收益 3 万元········12 分

22.(1)因为有 f (x ? y) ? f (x) ? f ( y) ,

令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,所以 f (0) ? 0 ,

令 y ? ?x 可得: f (0) ? f (x) ? f (?x) ? 0,

所以 f (?x) ? ? f (x) ,所以 f (x) 为奇函数.

3分

小学+初中+高中+努力=大学

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(2)? f (x) 是在[?1,1] 上为单调递增函数

证明:任取 x1, x2 ?[?1,1],且 ?1 ? x1 ? x2 ? 1 , x2 ? x1 ? 0,则f (x2 ? x1) ? 0

? f (x2 ) ? f (x2 ? x1 ? x1) ? f (x2 ? x1) ? f (x1) ? f (x1)

? f (x2 ) ? f (x1)

? f (x) 是在[?1,1]上为单调递增函数;

7分

(3)因为 f (x) 在[?1,1] 上为单调递增函数,

所以 f (x) 在[?1,1]上的最大值为 f (1) ? 1,

8分

所以要使 f (x) < m2 ? 2am ?1 ,对所有 x ?[?1,1], a ?[?1,1] 恒成立,

只要 m2 ? 2am ?1 ? 1,即 m2 ? 2am ? 0 ,

9分

令 g(a) ? m2 ? 2am ? ?2am ? m2



? ? ?

g g

(?1) (1) ?

? 0

0



??2m ? m2 ? 0

? ???2m

?

m2

?

0



?m ? ?2 或 m ? 2 .

·········12 分

小学+初中+高中+努力=大学


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