椭圆定点定值专题习题

1.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 ,短轴长为 4



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)P(2,n) ,Q(2,﹣n)是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧 的动点. ①若直线 AB 的斜率为 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; ②当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定值, 说明理由.

2.已知椭圆

的离心率为 ,且经过点



(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知 A 为椭圆 C 的左顶点,直线 l 过右焦点 F 与椭圆 C 交于 M,N 两点,若 AM、 AN 的斜率 k1,k2 满足 k1+k2=m(定值 m≠0) ,求直线 l 的斜率.

3.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 点 .

的焦距为 2,且过

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若点 A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,直线 l 经过点 B 且垂直于 x 轴,点 P 是椭圆 上异于 A,B 的任意一点,直线 AP 交 l 于点 M. (ⅰ)设直线 OM 的斜率为 k1,直线 BP 的斜率为 k2,求证:k1k2 为定值; (ⅱ)设过点 M 垂直于 PB 的直线为 m.求证:直线 m 过定点,并求出定点的坐标.

4.已知 F1,F2 分别是椭圆 与 x 轴的交点为 N,满足 的两点,其中

(a>b>0)的左、右焦点,半焦距为 c,直线 x=﹣ ,设 A、B 是上半椭圆上满足 .

(1)求椭圆的方程及直线 AB 的斜率 k 的取值范围; (2)过 A、B 两点分别作椭圆的切线,两切线相交于一点 P,试问:点 P 是否恒在某定直 线上运动,请说明理由.

5.在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆
2 2

(a>b>0)的离心率为

,其焦点在

圆 x +y =1 上. (1)求椭圆的方程; (2)设 A,B,M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点) ,且存在锐角 θ,使 . (i)求证:直线 OA 与 OB 的斜率之积为定值; 2 2 (ii)求 OA +OB .

6.已知椭圆 是椭圆上的动点. (Ⅰ)求椭圆标准方程; (Ⅱ)设动点 P 满足:

的左焦点为 F(﹣

,0) ,离心率 e=

,M、N

,直线 OM 与 ON 的斜率之积为﹣ ,问:是否存在

定点 F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值?,若存在,求出 F1,F2 的坐标,若不存在,说明理 由. (Ⅲ)若 M 在第一象限,且点 M,N 关于原点对称,点 M 在 x 轴上的射影为 A,连接 NA 并延长交椭圆于点 B,证明:MN⊥MB.

7.一束光线从点 F1(﹣1,0)出发,经直线 l:2x﹣y+3=0 上一点 P 反射后,恰好穿过点 F2(1,0) . (1)求 P 点的坐标; (2)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆 C 的方程; (3)设点 Q 是椭圆 C 上除长轴两端点外的任意一点,试问在 x 轴上是否存在两定点 A、B, 使得直线 QA、QB 的斜率之积为定值?若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点 A、B 的坐标;若不存在,请说明理由.

8.已知椭圆

的离心率为

,且经过点



(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=kx+t(k≠0)交椭圆 C 于 A、B 两点,D 为 AB 的中点,kOD 为直线 OD 的斜率,求证:k?kOD 为定值; (3)在(2)条件下,当 t=1 时,若 的夹角为锐角,试求 k 的取值范围.

9.如图所示,椭圆 C:
2

的焦点为 F1(0,c) ,F2(0,

﹣c) (c>0) ,抛物线 x =2py(p>0)的焦点与 F1 重合,过 F2 的直线 l 与抛物线 P 相切, 切点在第一象限,且与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 . (1)求证:切线 l 的斜率为定值; (2)当 λ∈[2,4]时,求椭圆的离心率 e 的取值范围.

10.已知椭圆 (1)若 e=

(a>b>0)的右焦点为 F1(2,0) ,离心率为 e. ,求椭圆的方程;

(2)设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点,AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k ,求 e 的取值范围.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 0) ,左、右顶点分别为 A,B,离心率为 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)若 ,

=1(a>b>0)的焦点为 F1(﹣1,0) ,F2(1, ,动点 P 到 F1,F2 的距离的平方和为 6. ,Q 为椭圆上位于 x 轴上方的动点,

直线 DM?CN,BQ 分别交直线 m 于点 M,N. (i)当直线 AQ 的斜率为 时,求△ AMN 的面积; (ii)求证:对任意的动点 Q,DM?CN 为定值.

12. (1)如图,设圆 O:x +y =a 的两条互相垂直的直径为 AB、CD,E 在弧 BD 上,AE 交 CD 于 K,CE 交 AB 于 L,求证: (2)将椭圆 明你的结论. (3)如图,若 AB、CD 是过椭圆 CD 的斜率积 CE 交直线 AB 于 L,求证: (a>b>0)中心的两条直线,且直线 AB、
2 2 2

2

2

2

为定值

(a>b>0)与 x +y =a 相类比,请写出与(1)类似的命题,并证

,点 E 是椭圆上异于 A、C 的任意一点,AE 交直线 CD 于 K, 为定值.

13.作斜率为 的直线 l 与椭圆 C:

交于 A,B 两点(如图所示) ,且

在直线 l 的左上方. (1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若∠APB=60°,求△ PAB 的面积.

14.设椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左.右焦点分别为 F1F2,上顶点为 A,过点 A 与 + = .

AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q,且 2

(1)若过 A.Q.F2 三点的圆恰好与直线 l:x﹣ y﹣3=0 相切,求椭圆 C 的方程; (2)在(1)的条件下,过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M.N 两点.试证 明: + 为定值;②在 x 轴上是否存在点 P(m,0)使得以 PM,PN 为邻边

的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,说明理由.

15.已知 A,B 分别是椭圆 C1: 一点,Q 是双曲线 C2: (I)若 P(

=1 的左、右顶点,P 是椭圆上异与 A,B 的任意 =1 上异与 A,B 的任意一点,a>b>0.

) ,Q( ,1) ,求椭圆 Cl 的方程;

(Ⅱ)记直线 AP,BP,AQ,BQ 的斜率分别是 k1,k2,k3,k4,求证:k1?k2+k3?k4 为定 值; (Ⅲ)过 Q 作垂直于 x 轴的直线 l,直线 AP,BP 分别交 l 于 M,N,判断△ PMN 是否可 能为正三角形,并说明理由.

16.已知椭圆 (1)求椭圆方程;

=1 的焦点坐标为(±1,0) ,椭圆经过点(1,



(2)过椭圆左顶点 M(﹣a,0)与直线 x=a 上点 N 的直线交椭圆于点 P,求 (3)过右焦点且不与对称轴平行的直线 l 交椭圆于 A、B 两点,点 Q(2,t) ,若 KQA+KQB=2 与 l 的斜率无关,求 t 的值.

的值.

17.如图,已知椭圆 心率为

的焦点为 F1(1,0) 、F2(﹣1,0) ,离

,过点 A(2,0)的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)①求直线 l 的斜率 k 的取值范围; ②在直线 l 的斜率 k 不断变化过程中,探究∠MF1A 和∠NF1F2 是否总相等?若相等,请给 出证明,若不相等,说明理由.

18.已知椭圆 E:

=1(a>b>0)上任意一点到两焦点距离之和为

,离心率为

,左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 是右准线上任意一点,过 F2 作直线 PF2 的垂线 F2Q 交椭圆于 Q 点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)证明:直线 PQ 与直线 OQ 的斜率之积是定值; (3)点 P 的纵坐标为 3,过 P 作动直线 l 与椭圆交于两个不同点 M、N,在线段 MN 上取 点 H,满足 ,试证明点 H 恒在一定直线上.

19.如图,双曲线 C1:

与椭圆 C2:

(0<b<2)的左、右顶点分别

为 A1、A2 第一象限内的点 P 在双曲线 C1 上,线段 OP 与椭圆 C2 交于点 A,O 为坐标原点. (I)求证: 为定值(其中 表示直线 AA1 的斜率, 等意义类似) ;

(II)证明:△ OAA2 与△ OA2P 不相似. (III)设满足{(x,y)| 的正数 m 的最大值是 b,求 b 的值. ,x∈R,y∈R}?{(x,y)| ,x∈R,y∈R}

20.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦点和短轴的两 个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点. (1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求△ POQ 的面积; (3)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0) ,使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.

21.已知椭圆

的离心率为

,且椭圆上的点到两个焦点的距离

和为 2 .斜率为 k(k≠0)的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M(0,m) . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)试用 m 表示△ MPQ 的面积,并求面积的最大值.

22.已知椭圆 E:

的左焦点

,若椭圆上存在一

点 D,满足以椭圆短轴为直径的圆与线段 DF1 相切于线段 DF1 的中点 F. (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)已知两点 Q(﹣2,0) ,M(0,1)及椭圆 G: ,过点 Q 作斜率为 k 的

直线 l 交椭圆 G 于 H,K 两点,设线段 HK 的中点为 N,连接 MN,试问当 k 为何值时,直 线 MN 过椭圆 G 的顶点? (Ⅲ) 过坐标原点 O 的直线交椭圆 W: 于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,

过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC 并延长交椭圆 W 于 B,求证:PA⊥PB.

23.已知椭圆

和圆 O:x +y =b ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两

2

2

2

条切线,切点为 A,B. (1) (ⅰ)若圆 O 过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e; (ⅱ)若椭圆上存在点 P,使得∠APB=90°,求椭圆离心率 e 的取值范围; (2)设直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 M,N,求证: 为定值.

24.已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,离心率为

,以原点为圆心,椭圆短半轴长为

半径的圆与直线 y=x+2 相切. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; 2 (Ⅱ)设点 F 是椭圆在 y 轴正半轴上的一个焦点,点 A,B 是抛物线 x =4y 上的两个动点, 且满足 ,过点 A,B 分别作抛物线的两条切线,设两切线的交点为 M,试推断 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.

25.已知椭圆的中心为 O,长轴、短轴的长分别为 2a,2b(a>b>0) ,A,B 分别为椭圆 上的两点,且 OA⊥OB. (1)求证: 为定值;

(2)求△ AOB 面积的最大值和最小值.

26.设 F1、F2 分别是椭圆

+y =1 的左、右焦点. 的取值范围;

2

(1)若 P 是该椭圆上的一个动点,求向量乘积

(2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且∠MON 为锐角(其 中 O 为坐标原点) ,求直线 l 的斜率 k 的取值范围. (3)设 A(2,0) ,B(0,1)是它的两个顶点,直线 y=kx(k>0)与 AB 相交于点 D, 与椭圆相交于 E、F 两点.求四边形 AEBF 面积的最大值.

27.已知椭圆 . (Ⅰ)求椭圆的方程;

的左焦点 F1(﹣1,0) ,长轴长与短轴长的比是

(Ⅱ)过 F1 作两直线 m,n 交椭圆于 A,B,C,D 四点,若 m⊥n,求证: 定值.



28.已知椭圆

的左顶点是 A,过焦点 F(c,0) (c>0,为椭

圆的半焦距)作倾斜角为 θ 的直线(非 x 轴)交椭圆于 M,N 两点,直线 AM,AN 分别 交直线 (称为椭圆的右准线)于 P,Q 两点. ,求椭圆的离心率; ,求证: 为定值.

(1)若当 θ=30°时有 (2)若离心率 e=

29.已知点 P 在椭圆 C:

(a>b>0)上,F1、F2 分别为椭圆 C 的左、右焦点, .

满足|PF1|=6﹣|PF2|,且椭圆 C 的离心率为

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若过点 Q(1,0)且不与 x 轴垂直的直线 l 与椭圆 C 相交于两个不同点 M、N,在 x 轴上是否存在定点 G,使得 标;若不存在,说明理由. 为定值.若存在,求出所有满足这种条件的点 G 的坐

30.如图,已知椭圆 C:
2 2 2

的离心率为

,以椭圆 C 的左顶点 T

为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与椭圆 C 交于点 M 与点 N. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求 的最小值,并求此时圆 T 的方程; (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M,N 的任意一点,且直线 MP,NP 分别与 x 轴交于点 R,S, O 为坐标原点,求证:|OR|?|OS|为定值.


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