高等数学第一章1_10闭区间上连续函数的性质_图文

第十节 闭区间上连续函数的性质 一、最值定理 二、介值定理 第一章 *三、一致连续性 一、最值定理 定理1.在闭区间上连续的函数 在该区间上一定有最大 值和最小值. 即: 设 f ( x) ? C [ a , b ] , 则 ? ?1 , ? 2 ? [ a , b ] , 使 f (?1 ) ? min f ( x) a ? x?b y y ? f ( x) f (? 2 ) ? max f ( x) a ? x ?b (证明略) O a ?1 ? 2 b x 注意: 若函数在开区间上连续, 或在闭区间内有间断 点 , 结论不一定成立 . 例如, 无最大值和最小值 y 1 又如, O y 2 1 x 1 也无最大值和最小值 O 1 2 x 推论 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证: 设 x?[ a , b ] 由定理 1 可知有 x?[ a , b ] M ? max f ( x) , m ? min f ( x) y M y ? f ( x) 上有界 . 二、介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 且 使 至少有一点 ( 证明略 ) m O a ?1 ? 2 b x y O y ? f ( x) a ? b x 定理3. ( 介值定理 ) 设 f ( x) ? C [ a , b ] , 且 f (a) ? A , f (b) ? B , A ? B , 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 至少有 一点 使 y 证: 作辅助函数 y ? f ( x) ? ( x) ? f ( x) ? C 则? ( x ) ? C [ a , b ] , 且 B C A O a ? (a) ? (b) ? ( A ? C )( B ? C ) ? b x 使 故由零点定理知, 至少有一点 即 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与 最大值之间的任何值 . 例. 证明方程 一个根 . 证: 显然 故据零点定理, 至少存在一点 说明: 在区间 又 使 内至少有 即 x? 1, 2 f (1 ) 2 ? ? 0, 1 8 二分法 则(1 ,1) 内必有方程的根 ; 2 取 ? O ? 1 2 3 4 3 , 的中点 x ? 3 f ( ) ? 0, 4 ? ? 4 3 , ) 则 (1 2 4 内必有方程的根 ; ? 可用此法求近似根. 内容小结 1 x *三. 一致连续性 已知函数 在区间 I 上连续, 即: 一般情形, ? 与? , x0 都有关 . 了一致连续的概念 . 定义: 都有 在 I 上一致连续 . 显然: 就引出 对任意的 例如, 因为 则 但 这说明 但不一致连续 . 取点 可以任意小 在( 0 , 1 ] 上不一致连续 . 上一致连续. (证明略) 定理4. 思考: P74 题 *7 提示: 设 存在, 作辅助函数 显然 内容小结 在 在 在 4. 当 上有界; 上达到最大值与最小值; 上可取最大与最小值之间的任何值; 时, 必存在 使 思考与练习 1. 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. y 则面积函数 S (? ) ? C[? , ? ] 因 S (? ) ? 0 , S ( ? ) ? A ? S (? ) x ? O ? 故由介值定理可知: A ?? 0 ? (? , ? ) , 使 S (? 0 ) ? . 2 2. 设 一点 使 则 易证 证明至少存在 则 提示: 令 作业 P74 (习题1-10) 2 ; 3; 5 习题课 备用题 证明 正根 . 证: 令 显然 至少有一个不超过 4 的 且 根据零点定理 , 在开区间 内至少存在一点 原命题得证 .

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