【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章 3.4(一)基本不等式 ≤(一)基础过关训练 新人教A版必修5

§3.4 基本不等式: ab≤a+2 b(一)

一、基础过关 1.已知 a>0,b>0,则1a+1b+2 ab的最小值是

()

A.2

B.2 2

C.4

2.若 a,b∈R,且 ab>0,则下列不等式中,恒成立的是

A.a2+b2>2ab

B.a+b≥2 ab

C.1a+1b>

2 ab

D.ba+ab≥2

D.5 ()

3.已知 m=a+a-1 2 (a>2),n=???12???x2-2 (x<0),则 m、n 之间的大小关系是

A.m>n

B.m<n

C.m=n

D.m≤n

4.设 0<a<1<b,则一定有

A.logab+logba≥2 B.logab+logba≥-2

C.logab+logba≤-2 D.logab+logba>2

5.已知 a,b∈(0,+∞),则下列不等式中不成立的是

()

A.a+b+ 1 ≥2 2 ab

B.(a+b)???1a+1b???≥4

a2+b2 C. ≥2

ab

ab

2ab D.a+b>

ab

() ()

6.若 a<1,则 a+a-1 1有最________(填“大”或“小”)值,为____________. 7.设 a、b、c 都是正数,求证:bac+cba+acb≥a+b+c. 8.已知 x>y>0,xy=1,求证:xx2+ -yy2≥2 2.

二、能力提升 9.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=2 3,则1x+1y的最大值为

()

3

1

A.2

B.2

C.1

D.2

10.若 lg x+lg y=1,则2x+5y的最小值为________. 11.若对任意 x>0,x2+3xx+1≤a 恒成立,则 a 的取值范围为________.

12.已知 a,b,c 为不等正实数,且 abc=1.

求证: a+ b+ c<1a+1b+1c.

三、探究与拓展

13.已知 a>b>0,求证:a2+b

16 a-b

≥16.

答案

1.C 2.D 3.A 4.C 5.D 6.大 -1

7.证明 ∵a、b、c 都是正数,∴bac、cba、acb也都是正数.

∴bac+cba≥2c,cba+acb≥2a,bac+acb≥2b,

三式相加得 2???bac+cba+acb???≥2(a+b+c),

即bac+cba+acb≥a+b+c.

8.证明 ∵xy=1,

x2+y2 ∴ x-y =

x-y 2+2xy

x-y



x-y x-y

2+2



(x



y)



2 x-y

≥2

2 2.

当且仅当???x-y=x-2 y



??xy=1

??x=

6+ 2

2

即? ??y=

6- 2

2

时取等号.

9.C 10.2 11.???15,+∞???

12.证明 ∵1a+1b≥2 a1b=2 c,1b+1c≥2 b1c=2 a,

1c+1a≥2 a1c=2 b,

∴2???1a+1b+1c???≥2( a+ b+ c),即1a+1b+1c≥ a+ b+ c.

∵a,b,c 为不等正实数,∴ a+ b+ c<1a+1b+1c.

13.证明 ∵a>b>0,∴a-b>0,b(a-b)≤???a2???2=a42,

当且 a=2b 时取等号,

∴a2+b

16 a-b

≥a2+1a62 =a2+6a42 ≥2 64=16.

4

x-y

2 x-y



当 a=2 2,b= 2时,等号成立.


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