(人教A必修四):第一章三角函数

2012 年高考数学按章节分类汇编(人教 A 必修四) 第一章三角函数
一、选择题 1 . (2012 年高考(浙江文理) )把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的 图像是

2 . (2012 年高考(天津文) )将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移 所得图像经过点 (

3? , 0) ,则 ? 的最小值是 ( ) 4 1 5 A. B.1 C. D.2 3 3 3 . (2012 年高考(四川文) )如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连 接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? ( )
D

? 个单位长度, 4

C

A.

3 10 10

B.

10 10

C.

5 10

D.

5 15
E A B

4 . (2012 年高考(山东文) )函数 y ? 2sin ? 与最小值之和为 A. 2 ? 3 B.0

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值 3? ? 6

( C.-1 D. ?1 ? 3



5 . (2012 年高考(辽宁文) )已知 sin ? ? cos ? ? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = ( A. ? 1 B. ?
2 2



C.

2 2

D.1
5? ? 和x= 是函数 4 4

6 . ( 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) ) 已 知 ? >0, 0 ? ? ? ? , 直 线 x =
f ( x) ? s i n ? ( x? ? 图像的两条相邻的对称轴 ) ,则 ? =





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π A. 4

B.

π 3

C.

π 2

D.

3π 4 )

? 7. (2012 年高考(福建文) )函数 f ( x) ? sin( x ? ) 的图像的一条对称轴是 ( 4 ? ? ? ? A. x ? B. x ? C. x ? ? D. x ? ? 4 2 4 2 x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? 8. (2012 年高考(大纲文) )若函数 f ( x) ? sin 3 ? 2? 3? 5? A. B. C. D. 3 2 3 2

9(2012 年高考(安徽文)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 B.向右平移 1 个单位 1 D.向右平移 个单位 2

? ? 10 . (2012 年高考 (新课标理) ) 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ) 在 ( , ? ) 上单调递减. 4 2 则 ? 的取值范围是 ( ) 1 5 1 3 1 A. [ , ] B. [ , ] C. (0, ] D. (0, 2] 2 2 4 2 4 二、解答题 11. (2012 年高考(重庆文) )(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ? 处取得最大值 2,其图象 6 ? 与轴的相邻两个交点的距离为 (I) 求 f ( x) 的 解 析 式 ; (II) 求 函 数 2
g ( x) ? 6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域.

? 12. (2012 年高考 (陕西文) ) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其 6 ? 图像相邻两条对称轴之间的距离为 , 2
(1)求函数 f ( x) 的解析式;

? ? (2)设 ? ? (0, ) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

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参考答案 一、选择题 1. 【答案】A 【命题意图】本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变 换,在 x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】 由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 即解析式为 y=cosx+1, 向左平移一个单位为 y=cos(x-1)+1, 向下平移一个单位为
?? ? ?? ? y=cos(x-1),利用特殊点 ? , 0 ? 变为 ? ? 1, 0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

2.

? ? ? ?? ) ,因 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ?( ? ) ? 0 , 即 ?( ? ) ? ? k? , 所 以 为 此 时 函 数 过 点 ( ,0 ) , 所 以 s i n 4 4 4 4 4 2
【解析】函数向右平移

? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D.
3. [答案]B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为 1? ED ?
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

2

2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD 2 ED ? EC
2 2 2

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?

10 10

[点评]注意恒等式 sin2α +cos2α =1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正 负情况. ? ? ? 7? 4. 解析:由 0 ? x ? 9 可知 ? ? x ? ? ,可知 3 6 3 6

? ? 3 ??x ? ? sin( x ? ) ? [? ,1] ,则 y ? 2sin ? ? ? ? [? 3, 2] , 3? ? 6 6 3 2
则最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,答案应选 A. 5. 【答案】A 【解析】 sin ? ? cos? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A 【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容 易题. 6. 【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题. ? 5? ? ? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k? ? ( k ? Z ), 【解析】由题设知, = 4 2 ? 4 4

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∴ ? = k? ? 7. 【答案】C

?
4

( k ? Z ),∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? =

? ,故选 A. 4

,答案 C 正确. 4 4 【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 8.答案 C 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称轴, 【解析】 由 f ( x) ? sin 3 而 三 角 函 数 的 对 称 轴 是 在 该 函 数 取 得 最 值 时 取 得 , 故 ? ? ? 3? f (0) ? sin ? ?1 ? ? ? k? ? ? ? ? 3k? (k ? Z ) , 而 ? ??0, 2? ? , 故 k ? 0 3 3 2 2 3? 时, ? ? ,故选答案 C. 2 1 y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移 9. 【解析】选 C 2 10、 【解析】选 A ? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D) 4 4 4 ? 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4 ? ? ? ? ? ? 3? 另: ? (? ? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4 二、 11. 【答案】:(Ⅰ) ? ?

【解析】把 x ? ?

?

代入后得到 f ( x) ? ?1 ,因而对称轴为 x ? ?

?

?

7 7 5 (Ⅱ) [1, ) ( , ] 6 4 4 2

?

3 cos 2 x ? 1 2

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2

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7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ( , ] 4 4 2

12.

解析:(1)∵函数 f ( x) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2

? ,∴最小正周期为 T ? ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x) 的解析式为 y ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 2 6 ? 1 即 sin(? ? ) ? 6 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? 2 6 6 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,故 ? ? 6 6 3
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

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