2013届高考数学二轮复习精品教学案专题01 集合与常用逻辑用语(教师版)


【2013 考纲解读】 1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的从属关系了解集合中元素的确定性,互 异性,无序性.会用集合语言表示有关数学对象. 2.掌握集合的表示方法----列举法和描述法,并能进行自然语言与集合语言的相互转换, 了解有限集与无限集的概念. 3.了解集合间包含关系的意义,理解子集、真子集的概念和意义,会判断简单集合的相 等关系. 4.理解并集、交集的概念和意义,掌握有关集合并集、交集的术语和符号,并会用它 们正确地表示一些简单的集合,能用图示法表示集合之间的关系.掌握并集、交集的求法. 5.了解全集的意义,理解补集的概念.掌握全集与补集的术语和符号,并会用它们正确 地表示一些简单的集合,能用图示法表示集合之间的关系. 6.理解命题的概念;了解“若 p ,则 q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会 分析种命题的相互关系;理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 7.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 8.理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【知识络构建】

【重点知识整合】 1.集合 (1)元素的特征:确定性、互异性、无序性,元素与集合之间的关系是属于和不属于; (2)集合与集合之间的关系:集合与集合之间是包含关系和非包含关系,其中关于包含 有包含和真包含,用符号? ,?表示.其中一个集合本身是其子集的子集,空集是任何非空 集合的真子集; (3)集合的运算:

A∩B={x|x∈A,且 x∈B},A∪B={x|x∈A,或 x∈B},?UA={x|x∈U,且 x?A}.
2.四种命题及其关系

(1)四种命题; (2)四种命题之间的关系:四种命题是指对“若 p,则 q”形式的命题而言的,把这个命 题作为原命题, 则其逆命题是“若 q, p”, 则 否命题是“若非 p, 则非 q”, 逆否命题是“若 非 q,则非 p”,其中原命题和逆否命题、逆命题和否命题是等价的,而且命题之间的关系 是相互的。

4.逻辑联结词 (1)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义; (2)带有逻辑联结词的命题真假:命题 p∨q,只要 p,q 有一为真,即为真命题,换言 之,只有 p,q 均为假命题时才为假;命题 p∧q,只有 p,q 均为真命题时才为真,换言之, 只要 p,q 有一为假,即为假命题;非 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题; (3)“或”命题和“且”命题的否定: 命题 p∨q 的否定是非 p∧非 q; 命题 p∧q 的否定 是非 p∨非 q. 【高频考点突破】 考点一 集合的关系和运算

1.元素与集合的关系:元素 x 与集合 A 之间,要么 x∈A, 要么 x?A,二者必居其一, 这就是集合元素的确定性, 集合的元素还具有互异性和无序性. 解题时要特别注意集合元素 互异性的应用. 2.运算性质及重要结论 (1)A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. (2)A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. (3)A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U. (4)A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 例 1、已知集合 P={x|x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范围是 A.(-∞,-1] C.[-1,1] B.[1,+∞) D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
2 2

(

)

解析:因为 P∪M=P,所以 M?P,即 a∈P,得 a ≤1,解得-1≤a≤1,所以 a 的取值范

围是[-1,1]. 答案;C

【解题方法】解答集合间的包含与运算关系问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性,代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集 合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时注意端点值的取 舍. 考点二 命题真假的判断 1.四种命题有两组等价关系,即原命题与其逆否命题等价,否命题与逆命题等价. 2.含有逻辑联结词的命题的真假判断:命题 p∨q,只要 p,q 至少有一为真,即为真 命题,换言之,见真则真;命题 p∧q,只要 p,q 至少有一为假,即为假命题,换言之,见 假则假;非 p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题. 3.“或”命题和“且”命题的否定:命题 p∨q 的否定是非 p∧非 q;命题 p∧q 的否定 是非 p∨非 q. 例 2. 原命题:若 a=1,则函数 f(x)=x +ax +ax+1 没有极值,以及它的逆命题、否 命题、逆否命题中,真命题的个数为 A.0 C.2 B.1 D.4 ( )
3 2

1 3 1 2 1 1 1 2 2 解析: 先考虑原命题, a=1 时, (x)= x + x + x+1, ′(x)=x +x+ =(x+ ) 当 f f 3 2 2 2 2 1 + >0, 所以 f(x)没有极值, 故原命题为真, 因而逆否命题也为真; 其逆命题是“若函数 f(x) 4 1 3 1 2 1 1 2 = x + ax + ax+1 没有极值,则 a=1”.由 f(x)没有极值,故 f′(x)≥0,即 x +ax+ 3 2 2 2

a≥0 恒成立,这等价于 Δ =a2-4×1× a≤0?0≤a≤2,所以其逆命题是假命题,因而否
命题也为假命题.

1 2

答案;C 【变式】已知 a,b,c 都是实数,则命题“若 a>b,则 ac >bc ”与它的逆命题、否命题、 逆否命题这四个命题中,真命题的个数是 A.4 B.2 C.1 D.0 ( )
2 2

【解题方法】命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别真假. (2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个 命题的真假无必然联系. (3)形如 p 或 q、p 且 q、非 p 命题的真假根据真值表判定. 考点三 充要条件的判断

对于 p 和 q 两个命题,若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q, 则 p 和 q 互为充要条件.推出符号“?”具有传递性,等价符号“?”具有双向传递性. 例 3、设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N?M”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2

( )

【变式】设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x + y ≥4”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

2

2

(

)

解析:因为 x≥2 且 y≥2?x +y ≥4 易证,所以充分性满足,反之,不成立,如 x=y 7 2 2 2 2 = ,满足 x +y ≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 x +y ≥4 的充分而不必 4 要条件.

答案:A 【解题方法】对充分、必要条件的判断或探求要注意以下几点 (1)要弄清先后顺序:“A 的充分不必要条件是 B”是指 B 能推 出 A,且 A 不能推出 B; 而“A 是 B 的充分不必要条件”则是指 A 能推出 B,且 B 不能推出 A; (2)要善于举出反例:如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以 通过举出恰当的反例来说明; (3)要注意转化:如果 p 是 q 的充分不必要条件,那么非 p 是非 q 的必要不充分条件, 同理,如果 p 是 q 的必要不充分条件,那么非 p 是非 q 的充分不必要条件,如果 p 是 q 的充要条件,那么非 p 是非 q 的充要条件. 【难点探究】 难点一 集合的关系及其运算

?? 1 2 2 例 1、设集合 M={y|y=|cos x-sin x|,x∈R},N=x??x- ?? i
位,x∈R,则 M∩N 为( ) A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]

? ?< 2,i 为虚数单 ?

【拓展】本题需要注意两个问题,一是两个集合的含义,二是要注意集合 N 中的不等式是一 个复数模的实数不等式, 不要根据实数的绝对值求解. 高考考查集合一般是以集合的形式与 表示等式的解、函数的定义域、函数的值域等,在解题时要特别注意集合的含义. 【变式 1】若集合 M={0,1,2},N={(x,y)|x-y≥0,x +y ≤4,x,y∈M},则 N 中元 素的个数为( A.9 B.6 ) C.4 D.2
2 2

难点二 四种命题和充要条件的判断 例2 、 (1)已知 a, , ∈R, b c 命题“若 a+b+c=3, a +b +c ≥3”的否命题是( 则 A.若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3
2 2 2 2 2 2

)

B.若 a+b+c=3,则 a +b +c <3 C.若 a+b+c≠3,则 a +b +c ≥3 D.若 a +b +c ≥3,则 a+b+c=3 (2)对于函数 y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于 y 轴对称”是“y=f(x)是奇函 数”的( )
2 2 2 2 2 2

2

2

2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
[Z|xx|k.Com]

D.既不充分也不必要条件

【拓展】一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的 形式上的命题, 解这类试题时要注意对于一些关键词的否定, 如本题中等于的否定是不等于, 而不是单纯的大于、 也不是单纯的小于; 进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假, 这里要注意断定一个命题为真需要进行证明,断定一个命题为假只要举一个反例即可. 难点三 逻辑联结词、量词和命题的否定 例 3. (1)若 p 是真命题,q 是假命题,则( A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C.非 p 是真命题 D.非 q 是真命题 ) )

(2)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( .. A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数

【拓展】(1)“或”“且”联结两个命题,这两个命题的真假确定了“或”命题和“且”命 题的真假,其中“或”命题是一真即真,“且”命题是一假即假,“非”是对一个命题的否 定,命题与其“非”命题一真一假;(2)否定一个命题就是否定这个命题的结论,即推翻这 个命题,这与写出一个命题的否命题是不同的.一个命题的否命题,是否定条件和结论后的

形式上的命题,如本题中我们把命题改写为“已知 n 为任意整数,若 n 能被 2 整除,则 n 是偶数”,其否命题是“已知 n 为任意整数,若 n 不能被 2 整除,则 n 不是偶数”,显然这 个命题是真命题,但这个命题的否定是假命题. 【变式】有四个关于不等式的命题:

p1:?x0∈R,x2+x0+1>0; 0 p2:?x0,y0∈R,x2+y0-4x0-2y0+6<0; 0
2xy x+y p3:?x,y∈R+, ≤ ; x+y 2

p4:?x,y∈R,x3+y3≥x2y+xy2.
其中真命题是( A.p1,p4 ) D.p2,p3

B.p2,p4 C.p1,p3

【解题技巧】 1.解答集合有关问题,首先正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键.其次关注 元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,关于不等式的解集、抽象集合问题,要借助 数轴和韦恩图加以解决. 2.一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系,但一个命题与这个命题的否 定是互相对立、一真一假的.

3.判断充要条件的方法,一是结合充要条件的定义;二是根据充要条件与集合之间的 对应关系,把命题对应的元素用集合表示出来,根据集合之间的包含关系进行判断,在以否 定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法. 4.含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的,这类试题首先把其中的 基本命题的真假判断准确,再根据逻辑联结词的含义进行判断. 5.特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题. 【历届高考真题】 【2012 年高考试题】 1. 【2012 高考真题浙江理 1】 设集合 A={x|1<x<4}, 集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩ (CRB)=

A .(1,4)

B .(3,4)

C.(1,3)

D .(1,2)∪(3,4)

2.



2012

















1











A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;
则 B 中所含元素的个数为( )

( A) 3
【答案】D

( B) 6

(C ) ?

( D ) ??

【解析】要使 x ? y ? A ,当 x ? 5 时, y 可是 1,2,3,4.当 x ? 4 时, y 可是 1,2, 3.当 x ? 3 时, y 可是 1,2.当 x ? 2 时, y 可是 1,综上共有 10 个,选 D.
2 3.【2012 高考真题陕西理 1】集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ?



) A. (1, 2) B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]

4.【2012 高考真题山东理 2】已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4? ,则

CU A ? B 为
(A) ?1, 2, 4? 【答案】C 【解析】 (B) ?2,3,4? (C) ?0,2,4? (D) ?0, 2,3, 4?

CU A ? {0,4} ,所以 CU A) B ? {0,2, ,选 C. ( ? 4}

5. 2012 高考真题辽宁理 1】 【 已知全集 U= 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}集合 A= 0,1,3,5,8} { , { ,

集合 B={2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6}

6.【2012 高考真题江西理 1】若集合 A={-1,1} ,B={0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B} 中的元素的个数为( A.5 B.4 ) C.3 D.2

【答案】C 【解析】 因为 x ? A, y ? B , 所以当 x ? ?1 时,y ? 0,2 , 此时 z ? x ? y ? ?1,1 。 x ? 1 当 时, y ? 0,2 ,此时 z ? x ? y ? 1,3 ,所以集合 {z z ? ?1,1,2} ? {?1,1,2}共三个元素,选 C. 7.【2012 高考真题湖南理 1】设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}
2

8【2012 高考真题广东理 2】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM= A.U B. {1,3,5} C.{3,5,6} D. {2,4,6}

【答案】C 【解析】 CU M ? {3,5,6} ,故选 C. 9.【2012 高考真题北京理 1】已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R|(x+1)(x-3)>0} 则 A∩B= A (- ? ,-1)B (-1,【答案】D 【解析】 因为 A ? {x ? R | 3 x ? 2 ? 0} ? x ? ?

2 2 ) C (- ,3)D (3,+ ? ) 3 3

2 , 利用二次不等式可得 B ? {x | x ? ?1 3

或 x ? 3} 画出数轴易得: A ? B ? {x | x ? 3} .故选 D.

10.【2012 高考真题全国卷理 2】已知集合 A={1.3. m= A 0或 3 B 0或3 C 1或 3

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则

D 1或3

11.【2012 高考真题四川理 13】设全集 U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } , 则 CU A ? CU B ___________。 【答案】 ?a, c, d? 【解析】 CU A ? {c, d}, CU B ? {a} ,?CU A ? CU B ? {a, c, d} 12.【2012 高考真题上海理 2】若集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} ,则

A? B ?



13. 【 2012 高 考 真 题 天 津 理 11 】 已 知 集 合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集 合

B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且 A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________.
【答案】 ? 1,1 【解析】 x ? 2 ? 3 , ? 3 ? x ? 2 ? 3 , ? 5 ? x ? 1 , 由 得 即 所以集合 A ? {x ?5 ? x ? 1 , } 因为 A ? B ? (?1 n) ,所以 ? 1 是方程 ( x ? m)(x ? 2) ? 0 的根,所以代入得 3(1 ? m) ? 0 , , 所以 m ? ?1 ,此时不等式 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 2 ,所以 A ? B ? (?1 1) ,即 ,

n ? 1。

2 4} B 4 6} 则 14. 2012 高考江苏 1】 5 分) 【 ( 已知集合 A ? {1, , , ? {2 , , , A ? B ?
【答案】 ?1,2,4,6? 。 【解析】由集合的并集意义得 A ? B ? ?1,2,4,6? 。

▲ .

2 … n 15.【2012 高考江苏 26】 (10 分)设集合 Pn ? {1, , , } , n ? N * .记 f ( n) 为同时
满足下列条件的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f ( n) 的解析式(用 n 表示) .

【2011 年高考试题】 1.(2011 年高考北京卷理科 1)已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的 取值范围是 A.(-∞, -1] C.[-1,1] 【答案】C B.[1, +∞) D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)
2

【解析】因为 P∪M=P,所以 P ? M ,故选 C. 2.(2011 年高考福建卷理科 1)i 是虚数单位,若集合 S= ?1.0.1 A. i ? S B. i ? S
2

?

? ,则

C. i ? S
3

D.

2 ?S i

3.(2011 年高考辽宁卷理科 2)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若

N ? ?C1M ? ? ?, 则M ? N ? ( )
(A)M 【答案】 A 【解析】因为 N ? ?C1M ? ? ?, 且 M,N 不相等,得 N 是 M 的真子集,故答案为 M. 4.(2011 年高考广东卷理科 2)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x +y =l},B={(x, y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B 的元素个数为( A.0 B. 1 C.2 D.3 )
2 2

(B) N

(C)I

(D) ?

二、填空题: 1.(2011 年高考天津卷理科 13)已知集合

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0, ??) ? ,则集合 t ? ?
A ? B =________
【答案】 ?x | ?2 ? x ? 5? 【解析】因为 t ? 0 ,所以 4t ? ? 4 ,所以 B ? ?x ? R | x ? ?2? ;由绝对值的几何意义可 得: A ? ?x ? R | ?4 ? x ? 5? ,所以 A ? B = ?x | ?2 ? x ? 5? .

1 t

, 4? 2 . (2011 年 高 考 江 苏 卷 1) 已 知 集 合 A ? {? 1 , 1 , 2B ? } , A ? B ? _______,

{ 1, 0 , 2} , 则

3.(2011 年高考江苏卷 14)设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则实数 m 的取值范围是
______________

【2010 年高考试题】 1. ( 2010 辽 宁 理 数 ) 1. 已 知 A , B 均 为 集 合 U={1,3,5,7,9} 的 子 集 , 且 A∩B={3}, ?u B∩A={9},则 A= (A){1,3} 【答案】D 【解析】因为 A∩B={3},所以 3∈A,又因为 ?u B∩A={9},所以 9∈A,所以选 D。本题 也可以用 Venn 图的方法帮助理解。 (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

2 , 2.(2010 江西理数)2.若集合 A= x | x ? 1 x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则

?

?

?

?

A ? B =(
A. C.

) B.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?

?x | x ? 0?

D. ?

3.(2010 广东理数)1.若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=( A. { x -1< x <1} C. { x -2< x <2} 答案: D. 解析: A ? B ? {x | ?2 ? x ? 1} ? {x | 0 ? x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 1} . 4.(2010 山东理数)1.已知全集 U=R,集合 M={x||x-1| ? 2},则 CU M= (A){x|-1<x<3} (B){x|-1 ? x ? 3} (C){x|x<-1 或 x>3} (D){x|x ? -1 或 x ? 3} B. { x -2< x <1} D. { x 0< x <1}



x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 5.(2010 湖北理数)2.设集合 A ? {? x, y ? | 4 16
的子集的个数是

A.4

B.3

C .2

D.1


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