2017届高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合课件 理_图文

第一章 集合与常用逻辑用语

第一节

集合

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系; 2.理解集合

之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;3.理解两个集合的并集与
交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;4.理解在给定集合中一个子 集的补集的含义,会求给定子集的补集;5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的

关系及运算。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.集合的含义与表示
(1)集合中元素的三个特性 ① 确定 性;② 互异 性;③无序性。

(2)集合与元素的关系
①a属于A,记为 a∈A ②a不属于A,记为 a?A ; 。

(3)常见集合的符号
自然数集 ____ N 正整数集 N*或_____ 整数集 __ 有理数集 _____ ZQ 实数集 ____ R

N+

(4)集合的表示方法 列举法 描述法 ①___________ ;②___________ ;③Venn图法。

2.集合间的基本关系
表示 关系 子集 集合 间的 基本 关系 真子集 相等 文字语言 符号语言 _______ A?B 或______ B?A _______或_______ A?B且B?A?A=B ??A

集合A中任何一个元素都是集合B的 元素
集合A是集合B的子集,并且B中至少 有一个元素不属于A

集合A中的任何一个元素都是集合B 中的元素,集合B中的任何一个元素 也都是集合A中的元素
空集是_______集合的子集 任何 空集是任何非空集合的真子集

空集

?? B 且 B≠?

3.集合的基本运算
集合的并集
符号 表示 图形 表示 意义 {x|______________} {x|_____________} ?UA={x|_____________} A∪B

集合的交集
A∩B

集合的补集 若全集为U,则集合A的补
集为_____

?UA

x∈A,或x∈B

x∈A,且x∈B

x∈U,且x?A

4.集合的运算性质 (1)并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A? B?A (2)交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A? (3)补集的性质: A?B 。 。

A∪(?UA)= U

? ;A∩(?UA)=______ ;?U(?UA)=______ 。 A

基 础 自 测
[判一判]

(1)集合{x2+x,0}中实数x可取任意值。(× )
解析 错误。由元素的互异性知x2+x≠0,即x≠0且x≠-1。 (2)任何集合都至少有两个子集。( × ) 解析 错误。?只有一个子集。

(3)集合{x|y= x-1}与集合{y|y= x-1}是同一个集合。( × ) 解析 错误。{x|y= x-1}={x|x≥1},{y|y= x-1}={y|y≥0}。

(4)若A={0,1},B={(x,y)|y=x+1},则A?B。( × ) 解析 错误。集合A是数集,集合B是点集。

(5)含有n个元素的集合的子集个数是2n,真子集个数是2n-1,非空真
子集的个数是2n-2.( √ 解析 正确。 )

[练一练] 1.(2015·广东卷)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x-4)(x-1) =0},则M∩N=( A.{1,4} C.{0} 解析 ) B.{-1,-4} D.? 由题意知集合M={-4,-1},N={4,1},M和 N没有相同

的元素,故M∩N=?。 答案 D

2.(2015·课标全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则 A∪B=( )

A.(-1,3)
C.(0,2)

B.(-1,0)
D.(2,3)

解析 由题意,得A∪B={x|-1<x<3},即A∪B=(-1,3)。 答案 A

3 .已知集合 A = {x|x>2} , B = {x|x<2m} ,且 A??RB ,那么 m 的值可以

是(

)
A .1 C.3 解析 B.2 D.4 ∵ B = {x|x<2m} , ∴ ? RB = {x|x≥2m} 。 又 ∵ A??RB ,

∴2m≤2,即m≤1,故选A。

答案 A

4.设A={-1,1,5},B={a+2,a2+4},A∩B={5},则实数a的值为

(

)
A .3 C.±1 解析 B.1 D.1或3 因为A∩B={5},所以a+2=5或a2+4=5。当a+2=5时,a

=3;当a2+ 4=5时,a=±1,又a=-1时, B= {1,5},而此时 A∩B=

{1,5}≠{5},故a=1或3。
答案 D

5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的 {x|1≤x<2} 集合为_____________ 。

解析

阴影部分是 A∩?RB 。集合 A = {x| - 4<x<2} , ? RB = {x|x≥1} ,所

以A∩?RB={x|1≤x<2}。

R

热点命题

深度剖析

考点一

集合的基本概念 (1)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a= B.2 D.0或4 由ax2+ax+1=0只有一个实数解,可得当a=0时,方

【例1】 ( ) A.4 C.0

【解析】 去 )。

程无实数解;当 a≠0 时,则 Δ = a2 - 4a = 0 ,解得 a = 4(a = 0 不合题意舍 【答案】 A

b ? ? 2 2 016 2 106 (2)已知 a∈R,b∈R,若 a, ,1 ? = { a , a + b, 0} ,则 a + b = ? a ?
1 ________ 。
b 【解析】 由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a a =1 或 a=-1,又根据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a =-1,故 a2 016+b2 016=1。

? ? ? ? ?

【规律方法】 是否满足互异性。

(1)研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的

属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素 (2) 对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相

等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性。

变式训练 1 素个数为( A.2 C.4 )

(1)已知集合 A={x| x∈Z},且

3 ∈Z,则集合 A 中的元 2 -x

B.3 D.5

3 解析 ∵ ∈ Z,2-x 的取值有-3,-1,1,3, 2- x 又∵x∈ Z,∴ x 值分别为 5,3,1,-1, 故集合 A 中的元素个数为 4,故选 C。
答案 C

(2) 设集合 A = {2,3 , a2 + 2a - 3} ,集合 B = {|a + 3|,2} ,已知 5∈A ,且 5?B,则a的值为________ -4 。 解析 由于5∈A,且A={2,3,a2+2a-3}, ∴a2+2a-3=5,解得a=2或a=-4。 当a=2时,B={5,2},不符合条件5?B,∴a=2不符合题意,应舍 去; 当a=-4时,B={1,2},符合条件5?B,∴a=-4。

考点二

集合间的基本关系
(1) 已知集合 A = {x|x2 - 3x + 2 = 0 , x∈R} , B = {x|0<x<5 , )

【例 2】

x∈N},则满足条件A?C?B的集合C的个数为(

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】 由x2-3x+2=0得A={1,2}。

又B={1,2,3,4},
∴ 满足 A?C?B 的集合 C 可以是 {1,2} , {1,2,3} , {1,2,4} , {1,2,3,4} 共4个。

【答案】 D

(2)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B?A,则实 (-∞,4] 。 数m的取值范围是______________
【解析】 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2。 当 B≠?时,若 B?A,如图。

m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, 解得 2<m≤4。 ? ?m+1<2m-1, 综上,m 的取值范围为 m≤4。

【规律方法】 找关系。

(1)判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,

从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻
(2)已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元

素间的关系,进而转化为参数满足的关系。解决这类问题常常需要合理利
用数轴、Venn图帮助分析。 (3)当题目中有条件A?B时,不要忽略A=?的情况。

变式训练 2

(1)(2016·临沂模拟 )已知集合A ={x|ax=1},B={x|x2-1 )

=0},若A?B,则a的取值构成的集合是(

A.{-1}
C.{-1,1}

B.{1}
D.{-1,0,1}

解析 由题意,得B={-1,1},
因为A?B,所以当A=?时,a=0; 当A={-1}时,a=-1;

当A={1}时,a=1。
又A中至多有一个元素, 所以a的取值构成的集合是{-1,0,1}。故选D。 答案 D

(2) 设M为非空的数集,M?{1,2,3},且M中至少含有一个奇数元素, 则这样的集合M共有( A .6 个 ) B.5个

C.4个
解析

D.3个
集合{1,2,3}的所有子集共有23=8(个),集合{2}的所有子集

共有2个,故满足要求的集合M共有8-2=6(个)。 答案 A

(3)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,则

实数c的取值范围是(
A.(0,1] C.(0,1) 解析

)
B.[1,+∞) D.(1,+∞)

A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,

c>0}=(0,c),因为A?B,画出数轴,如图所示,得c≥1。

答案 B

考点三

集合的基本运算

有关集合运算的考题,在高考中多以选择题或填空题的形式呈现,试
题难度不大,多为低档题,且主要有以下几个命题角度。 角度一:离散型数集间的交、并、补运算

1 . (2015· 天津卷 ) 已知全集 U = {1,2,3,4,5,6,7,8} ,集合 A = {2,3,5,6} ,
集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩?UB=( A.{2,5} B.{3,6} )

C.{2,5,6}

D.{2,3,5,6,8}

解析 由题意可知?UB={2,5,8},则A∩?UB={2,5}。 答案 A

2.(2015· 山东菏泽一模)设集合 M={0,1},N={x∈Z|y= 1-x},则 ( ) A.M∩N=? C.M∩N={1} B.M∩N={0} D.M∩N=M

解析 ∵ M={0,1},N= {x∈ Z|y= 1- x}= {x∈ Z|x≤1}, ∴ M? N,则 M∩N=M。

答案 D

角度二:连续型数集间的交、并、补运算 3 . (2015· 浙 江 卷 ) 已 知 集 合 P = {x|x2 - 2x≥0} , Q = {x|1<x≤2} , 则 (?RP)∩Q=( A.[0,1) ) B.(0,2]

C.(1,2)

D.[1,2]

解析 ∵P={x|x(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤0}, ∴?RP=(0,2)。

又∵Q=(1,2],∴(?RP)∩Q=(1,2),故选C。
答案 C

4 . (2015· 河北唐山一模 ) 已知全集 U = {x|x2>1} ,集合 A = {x|x2 - 4x + 3<0},则?UA=( A.(1,3) B.(-∞,1)∪[3,+∞) C.(-∞,-1)∪[3,+∞) D.(-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 ∵U={x|x2>1}={x|x>1或x<-1}, )

A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},
∴?UA={x|x<-1或x≥3}。 答案 C

角度三:已知集合的运算结果求集合

5.设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则N=(
A.{1,2,3} C.{1,4,5} B.{1,3,5} D.{2,3,4}

)

解析 画出Venn图,阴影部分为M∩?UN={2,4},∴N={1,3,5}。

答案 B

角度四:已知集合的运算结果求参数 6.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且 1 A∩B=(-1,n),则m=________ 。 -1 ,n=________ 解析 可知m<1, A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-5<x<1},由A∩B=(-1,n),

则B={x|m<x<2},画出数轴,可得m=-1,n=1。

7 .设 U = R ,集合 A = {x|x2 + 3x + 2 = 0} , B = {x|x2 + (m + 1)x + m = 1或2 。 0},若(?UA)∩B=?,则m=________ 解析 A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得B?A, ∵方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,

∴B≠?。∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}。
①若B={-1},则m=1; ②若B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,

且m=(-2)·(-2)=4,这两式不能同时成立,
∴B≠{-2};

③若B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-
1)·(-2)=2,由这两式得m=2。 经检验知m=1和m=2符合条件,∴m=1或2。

【规律方法】 集合运算问题的常见类型及解题策略
(1)离散型数集或抽象集合间的运算,常借助Venn图求解; (2)连续型数集的运算,常借助数轴求解;

(3)已知集合的运算结果求集合,常借助数轴或Venn图求解;
(4)根据集合运算结果求参数,先把符号语言译成文字语言,然后适时 应用数形结合求解。

考点四

以集合为载体的创新型与交汇型问题

【 例 3】

(1)(2015· 湖 北 卷 ) 已 知 集 合 A = {(x , y)|x2 + y2≤1 , x ,
)

y∈Z},B={(x,y)||x|≤2,|y|≤2,x,y∈Z},定义集合A⊕B={(x1+x2,y1+ y2)|(x1,y1)∈A,(x2,y2)∈B},则A⊕B中元素的个数为(

A.77
C.45

B.49
D.30

【解析】 (1)A={(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0),(0,0)}。 如图,B中元素共25个。

①当x1=y1=0时,A⊕B=B,共有25个元素。 ②当x1=0,y1=-1时,A⊕B中的元素为(x2,y2-1),其中不在B中的 元素有(-2,-3),(-1,-3),(0,-3),(1,-3),(2,-3)共5个。 ③当x1=0,y1=1时,A⊕B中的元素为(x2,y2+1),其中不在B中的元 素有(-2,3),(-1,3),(0,3),(1,3),(2,3)共5个。 ④当x1=-1,y1=0时,A⊕B中的元素为(x2-1,y2),其中不在B中的 元素有(-3,-2),(-3,-1),(-3,0),(-3,1),(-3,2)共5个。 ⑤当x1=1,y1=0时,A⊕B中的元素为(x2+1,y2),其中不在B中的元 素有(3,-2),(3,-1),(3,0),(3,1),(3,2)共5个。

综上A⊕B中的元素共有25+5×4=45(个)。
【答案】 C

(2)已知集合 A={(x, y)|x2+y2=1},B={(x,y)|kx-y-2≤0},其中 x, y∈R。若 A?B,则实数 k 的取值范围是( A.k≥-3 C.- 3≤k≤ 3 B.k≤ 3 D.k≤- 3 )

【解析】 解法一:本题的实质是圆 x2+ y2=1 在直线 kx-y- 2=0 的上方,直线 kx-y-2=0 是斜率为 k 且在 y 轴上的截距为- 2 的直线,根据图形可知 k∈ [- 3, 3]。

解法二:根据子集的定义,A?B 即集合 A 中的任意一个元素都在集合 B 中,我们不妨设集合 A 中的 x=cos θ,y= sin θ,说明 kcos θ- sin θ≤2 对 任意 θ 恒成立,即 k2+ 1sin(θ+ φ)≤2 对任意 θ 恒成立,即 k2+ 1≤2 恒成 立,解得- 3≤k≤ 3。 综上,选 C。 【答案】 C

【规律方法】 (1)求解集合新定义问题的技巧 ①巧转化,即准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把

其转化为我们熟知的基本运算;②会举反例,当不满足新定义的要求时,
只需通过举反例,即可说明其不满足,以达到快速判断结果的目的。 (2)集合的交汇型问题多与函数、方程、几何概型、三角、解析几何等 问题相联系,突破集合交汇型问题的关键是:首先,利用数形结合的方 法,即借助函数的图像以及解析几何中的相关图形,根据函数图像的特点 以及平面图形的直观性进行求解。

变式训练 3

(1)(2015· 浙江卷 ) 设 A , B 是有限集,定义: d(A , B) =

card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的个数。
命题①:对任意有限集A,B,“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条 件;

命 题 ② : 对 任 意 有 限 集 A , B , C , d(A , C)≤d(A , B) + d(B , C) 。
( ) A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立 C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立

解析

(1) 对 于 命 题 ① : A≠B?(A∩B)?(A∪B)?card(A∪B) -

card(A∩B)>0?d(A,B)>0,所以“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要条件, 故命题①成立。

对 于 命 题 ② : 因 为 d(A , B) + d(B , C) = card(A∪B) - card(A∩B) +
card(B∪C) - card(B∩C) = card(A) + card(B) - 2card(A∩B) + card(B) + card(C) -2card(B∩C)=card(A)+card(C)+2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C),

d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C),
所以 d(A,B)+d(B, C)-d(A, C)=2[card(B)-card(A∩B)- card(B∩C) +card(A∩C)]。

又card[(A∩B)∪(B∩C)]=card(A∩B)+card(B∩C)-card(A∩B∩C),
所以d(A,B)+d(B,C)-d(A,C)=2{card(B)-card[(A∩B)∪(B∩C)]+ card(A∩C)-card(A∩B∩C)}。

又card(B)-card[(A∩B)∪(B∩C)]≥0,card(A∩C)-card(A∩B∩C)≥0,
所以d(A,B)+d(B,C)≥d(A,C),所以命题②成立。 故选A。

答案 A

? ? 1? (2)设平面点集 A=(x,y)??y-x??y-x ?≥0 ,B={(x,y)|(x-1)2+(y- ? ? ?

1)2≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为( 3 A. π 4 3 B. π 5 4 C. π 7

) π D. 2

y-x≥0, ? ? ? ?y-x≤0, ? 1? 1 解析 不等式(y- x)?y- ?≥0 可化为? 或? 集 1 x? ? y - ≥ 0 ? ? ?y-x≤0。 ? x 合 B 表示圆(x-1)2+(y-1)2=1 上以及圆内部的点所构成的集合,A∩B 所 1 表示的平面区域如图所示。曲线 y= ,圆(x-1)2+ (y-1)2=1 均关于直线 y x =x 对称,所以阴影部分占圆面积的一半,故选 D。

答案 D

S

思想方法

感悟提升

⊙1种思想——数形结合思想

Venn图是研究集合的工具,借助Venn图和数轴即数形结合能使抽象问
题直观化。一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数 轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍。

⊙3个注意点——解决集合问题应注意的问题
(1)认清元素的属性,解决集合问题时,认清集合中元素的属性 ( 是点 集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件。

(2)注意元素的互异性。在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合
中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误。 (3)防范空集。在解决有关A∩B=?,A?B等集合问题时,往往忽略空

集的情况,一定先考虑?是否成立,以防漏解。


相关文档

2017届高考数学大一轮总复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理
高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理北师大版
2020版高考数学大一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合课件文
高考数学(理)(人教)大一轮复习配套课件:第一章 集合与常用逻辑用语第1讲
2018高考数学(理)大一轮复习(人教)课件:《第一章 集合与常用逻辑用语》1-2
2018高考数学(理)大一轮复习(人教)课件:《第一章 集合与常用逻辑用语》1-3
19届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理
2020版高考数学大一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第1讲集合课件理
2019届高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件文北师大版
2015届高考数学(理科)大一轮总复习配套课件:第一章 集合与常用逻辑用语 1-
电脑版