配套K12高三数学(理科)二轮专题复习训练:专题强化练十八

小学+初中+高中+努力=大学

专题强化练十八

1.(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中,已知直线 l 的参数方程为

?x=-8+t,

??y=2t

(t

为参数),曲线

C

的参数方程为?????xy==22s22,s (s

为参数).设

P 为曲线 C 上的动点,求点 P 到直线 l 的距离的最小值.

?x=-8+t,

解:由??y=2t

消去 t,得 l 的普通方程为

x-2y+8=0,

因为点 P 在曲线 C 上,设点 P(2s2,2 2s).

则点 P 到直线 l 的距离 d=|2s2-4 2s+8|=2(s- 2)2+4,

5

5

所以当 s= 2时,d 有最小值 45=45 5.

因此当点 P 的坐标为(4,4)时,曲线 C 上的点 P 到直线 l 的距离

取到最小值4

5

5 .

2.(2018·河南安阳二模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x + 3y=5 3,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 ρ=4sin θ.

(1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程;

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(2)射线 OP:θ=π6与圆 C 的交点为 O,A,与直线 l 的交点为 B, 求线段 AB 的长.

解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ,直线 l:x+ 3y=5 3,

所以直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ+ 3ρsin θ=5 3,

化简得 2ρsin???θ+π6???=5 3.[来源:学.科.网] 由 ρ=4sin θ,得 ρ2=4ρsin θ, 所以 x2+y2=4y,即 x2+y2-4y=0. 故圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-4y=0.

(2)由题意得 ρA=4sin π6=2,

ρB=2sin5???π6+3 π6???=5,

所以|AB|=|ρA-ρB|=3.

3.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系 xOy 中,直线 l1 的参数方程为

??x=2+t,

???y=kt

(t

为参数),直线

l2

?x=-2+m,

的参数方程为??y=mk

(m

为参

数).设 l1 与 l2 的交点为 P,当 k 变化时,P 的轨迹为曲线 C.

(1)写出 C 的普通方程;

(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 l3:ρ(cos
θ+sin θ)- 2=0,M 为 l3 与 C 的交点,求 M 的极径.
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解:(1)由 l1:?????xy==k2t+t,(t 为参数)消去 t, 得 l1 的普通方程 y=k(x-2),① 同理得 直线 l2 的普通方程为 x+2=ky,② 联立①,②消去 k,得 x2-y2=4(y≠0).

所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y≠0).

(2)将直线 l3 化为普通方程为 x+y= 2,

??? 联立?????xx+2-yy=2=42,,得

x=3 22, y=- 22.

所以 ρ2=x2+y2=148+24=5,

所以与 C 的交点 M 的极径为 5.

4.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极 坐标系.已知直线 l 的参数方程为?????xy==2tc+ostsφin,φ(t 为参数,0≤φ ≤π ), 曲线 C 的极坐标方程为 ρcos2θ=8sin θ.

(1)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点 ,当 φ 变化时,求|AB|的 最小值.

解:(1)由?????xy==2tc+ostsφin

消去 φ

t



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xsin φ-ycos φ+2cos φ=0,

所以直线 l 的普通方程为 xsin φ-ycos φ+2cos φ=0.

由 ρcos2θ=8sin θ,得(ρcos θ)2=8ρsin θ,

把 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入上式,得 x2=8y,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2=8y.

(2)将直线 l 的参数方程代入 x2=8y,得 t2cos2φ-8tsin φ-16=0,

设 A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=8csoisn2φφ,t1t2=-co1s62φ,[来源:Zxxk.Com]

所以|AB|=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2= 6c4osisn4φ2φ+co6s42φ=co8s2φ.

当 φ=0 时,|AB|取最小值为 8.

5.(2018·安徽联合质检)在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为 极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,已知曲线 C1 的极坐标方程 为 ρ2-2 2ρsin???θ-π4???-2=0,曲线 C2 的极坐标方程为 θ=π4,C1 与 C2 相交于 A,B 两点.

(1)把 C1 和 C2 的极坐标方程化为直 角坐标方程,并求点 A,B 的 直角坐标;

(2)若

P



C1

上的动点,求|PA|2+|PB|2

的取值范围. [来源:学科网 ZXXK]

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解:(1)由题意知,C1:(x+1)2+(y-1)2=4,C2:x-y=0. 联立方程组???(x+1)2+(y-1)2=4,
??x-y=0,

解得 A(-1,-1),B(1,1)或 A(1,1),B(-1,-1) .

(2)设 P(-1+2cos α,1+2sin α),

不妨设 A(-1,-1),B(1,1),

则|PA|2+|PB|2=(2cos α)2+(2sin α+2)2+(2cos α-2)2+(2sin α)2= 16+8sin α-8cos α=16+8 2sin???α-π4???,

又-1≤sin???α-π4???≤1,

所以|PA|2+|PB|2 的取值范围为[16-8 2,16+8 2].

6.(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

??x=3cos ???y=sin θ

θ, (θ

为参数),直线

l

的参数方程为?????xy==1a-+t4t,(t

为参数).

(1)若 a=-1,求 C 与 l 的交点坐标;

(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17,求 a.

解:(1)曲线 C 的标准方程是x92+y2=1,

当 a =-1 时,直线 l 的普通方程为 x+4y-3=0.

?x+4y-3=0, 联立方程??x92+y2=1,
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解得?????xy==03,或?????xy==22-45.2251,

则 C 与 l 交点坐标为(3,0),???-2215,2245???.

(2)直线 l 的普通方程是 x+4y-4-a=0.

设曲线 C 上点 P(3cos θ,sin θ).



P



l

距离

d=|3cos

θ+4sin 17

θ-4-a|=

|5sin(θ+φ)-4-a|,其中 17

tan

φ=34.

又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17.

所以|5sin(θ+φ)-4-a|的最大值为 17.

若 a≥0,则-5-4-a=-17,所以 a=8.

若 a<0,则 5-4-a=17,所以 a= -16.

综上可知,实数 a 的值为 a=-16 或 a=8.[来源:学科网]

7.(2018·广东肇庆二模)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方 程为?????xy==1tc+ostsαin,α(t 为参数,0≤α<π),以坐标原点为极点,x 轴正半 轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ρ+ρ7=4cos θ+4sin θ.

(1)当 α=π2时,直接写出 C1 的普通方程和极坐标 方程,直接写出
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C2 的直角坐标方程; (2)已知点 P???1,π2???,且曲线 C1 和 C2 交于 A,B 两点,求|PA|·|PB|
的值. 解:(1)因为曲线 C1 的参数方程为?????xy==1tc+ostsαin,α(t 为参数,0≤α<
π), 所以消去参数 t,得 C1 的普通方程为 xsin α-ycos α+cos α=0. 当 α=π2时,所以 C1 的普通方程为 x=0, 所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=0. 因为曲线 C2 的极坐标方程是 ρ+ρ7 =4cos θ+4sin θ, 即 ρ2+7=4ρcos α+4ρsin θ, 所以 C2 的直角坐标方程为 x2+y2+7=4x+4y,即(x-2)2+(y-2)2
=1. (2)将?????xy==1tc+ostsαin,α(t 为参数)代入(x-2)2+(y-2)2=1 中,化简得 t2
-2(sin α+2cos α)t+4=0, 设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1·t2=4. 因此|PA|·|PB|=|t1·t2|=4. 8.(2018·烟台质检)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为
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??x=3+tcos α, ???y=2+tsin α (t

为参数).以坐标原点为极点,x

轴正半轴为极轴建

立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.[来源:Zxxk.Com]

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程;

(2)已知直线 l 上一点 M(3,2),若直线 l 与圆 C 交于不同两点 A, B,求|M1A|+|M1B| 的取值范围.

解:(1)直线

l

的参数方程为?????xy==23++ttscions

α, 化为普通方程为
α

xsin

α

-ycos α+2cos α-3sin α=0,

圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ,即 ρ2=2ρcos θ.

将 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ 代入上式中,

得圆 C 的普通方程为 x2+y2-2x=0.

(2)将直线 l 的方程?????xy==t3s+intαco+s 2α,代入圆 C:x2+y2-2x=0 中, 得 t2+(4cos α+4sin α)t+7=0.(*)

设 A,B 对应的参数分别为 t1,t2. 则 t1+t2=-4(cos α+sin α),t1·t2=7. |M1A|+|M1B|=|M|MAA|+|·|M|MBB| |=74|sin α+cos α|.

因为方程(*)有两个不同的实根,

所以 Δ=16(cos α+sin α)2-28>0,

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则|sin α+cos α|> 27.

又 sin α+cos α= 2sin???α+π4???∈[- 2, 2 ],

所以|sin

α+cos

α|∈??
?

27,

?
2?.
?

所以74|sin

α+cos

α|∈??2
?

7

7,4

7

2? ?.
?

所以27 7<|M1A|+|M1B|≤472.

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