圆锥曲线整章复习

圆锥曲线整章复习
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要点归纳 1.研究椭圆、双曲线、抛物线三种圆锥曲线的方法是一致的.例如,在研究完椭圆的几何特征、定义、标 准方程、简单性质等以后,通过类比,就能得到双曲线、抛物线所要研究的问题以及研究的基本方法. 2.圆锥曲线具有统一性: (1)它们都是平面截圆锥得到的截线; (2)它们的方程都是关于 x,y 的二次方程; (3)直线 l 与圆锥曲线有无公共点,等价于由它们的方程组成的方程组有无实数解,方程组有几组实数解,直线 l 与圆锥曲线就有几个公共点;方程组没有实数解,直线 l 与圆锥曲线就没有公共点.

典型例题
专题一 圆锥曲线定义的应用 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要的解题策略.如: (1)求轨迹时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的标准方程,写出所求的轨迹方程; (2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时,常用定义结合解三角形的知识来解决; (3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形利用几何意 义来解决. 【例 1】 如图所示,已知双曲线的焦点在 x 轴上,离心率为 2,F1,F2 为左、右焦点. P 为双曲线上一点,且∠F1PF2=60° ,S =12 3,求双曲线的标准方程.
PF1F2

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专题二 圆锥曲线方程与性质 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质,主要指图形的范围、对称性,以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心 率、准线、渐近线以及几何元素 a,b,c,e 之间的关系等. 1.离心率 求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形,寻找与 a,b,c 有关的关系式. 对于求椭圆和双曲线的离心率,有两种方法: c (1)代入法就是代入公式 e= 求离心率;(2)列方程法就是根据已知条件列出关于 a,b,c 的关系式,然后把这个关 a 系式整体转化为关于 e 的方程,解方程即可求出 e 值. 2.范围 解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系,如曲线方程中 x,y 的范围.常用方法也有两个.(1)解不等式法, 即根据题设条件列出关于待求量的不等式 ,解不等式即得其取值范围;(2)求函数值域法,即把待求量表示成某一变 量的函数,函数的值域即为待求量的取值范围. 3.最值 圆锥曲线的参数范围和最值问题属一类问题,解法是统一的,主要有几何与代数法,其中包括数形结合法、 函数法、变量代换法、不等式(组)法、三角换元法等,主要考查观察、分析、综合、构造、创新等方面的综合思 维能力. x2 y2 【例 2】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1(-c,0),A(-a,0),B(0,b)是椭圆的两个顶点.若焦点 F1 到直线 AB a b b 的距离为 ,求椭圆的离心率. 7

专题三 轨迹问题的探求方法 一般地,求轨迹方程有直接求法和间接求法,直接求法有直接法和定义法,间接求法包括转移法、参数法、 代换法等. x2 y2 【例 3】 已知椭圆 + =1 及点 D(2,1),过点 D 任意引直线交椭圆于 A,B 两点,求线段 AB 中点 M 的轨 9 4 迹方程.

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【练习】 设圆(x-1)2+y2=1 的圆心为 C,过原点作圆的弦 OA,求 OA 中点 B 的轨迹方程.

专题四 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及判定直线与圆锥曲线的交点个数、求弦长、最值等问题,它是圆锥曲线 的定义、性质与直线的基础知识的综合应用,涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想方法.直线与圆锥 曲线的位置关系主要有:(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题,应注意数形结合;(2)有关弦长问题,应注意运用 弦长公式及根与系数的关系;(3)有关垂直问题,要注意运用斜率关系及根与系数的关系,设而不求,简化运算. 【例 4】设抛物线 y2=4x 截直线 y=2x+k 所得弦长|AB|=3 5. (1)求 k 的值; (2)以弦 AB 为底边,x 轴上的 P 点为顶点组成的三角形面积为 39 时,求点 P 的坐标

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专题五 圆锥曲线中的定点、定值及范围问题 圆锥曲线中的定点、定值问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线 的焦点等.可通过直接计算而得到.另外还可用“特例法”和“相关曲线系数法”求解. 圆锥曲线中的最值问题,通常有两类:一类是有关长度、 面积等的最值问题;一类是圆锥曲线中有关几何元素的 最值问题.这两类问题的解决往往要通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,三 角函数有界性,以及数形结合、 设参、 转化代换等途径来解决.特别注意函数思想,观察分析图形特征,利用数形结合 等思想方法. x2 y2 【例 5】从椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1,且它的长轴的一个端点 a b A,短轴的一个端点 B 的连线 AB 平行于 OM. (1)求椭圆的离心率; (2)设 Q 是椭圆上任一点,F2 是椭圆右焦点,求∠F1QF2 的取值范围.

整章综合练习
一、选择题(本大题共 10 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.抛物线 y=4x2 的焦点坐标是( ) A.(0,1) B.(1,0) 1 1 C.(0, ) D.( ,0) 16 16 2.椭圆 2x2+3y2=6 的长轴长是( ) A. 3 B. 2 C.2 2 D.2 3 3.以抛物线 y2=4x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) 2 2 2 2 A.x +y +2x=0 B.x +y +x=0 C.x2+y2-x=0 D.x2+y2-2x=0 2 2 x y 4.以椭圆 + =1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程是( ) 16 9 2 2 x y A. - =1 16 48 x2 y2 B. - =1 9 27 x2 y2 y2 x2 C. - =1 或 - =1 16 48 9 27 D.以上都不对 x2 y2 1 5.已知椭圆与双曲线 - =1 有共同的焦点,且离心率为 ,则椭圆的标准方程为( ) 3 2 5
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x2 y2 x2 y2 A. + =1 B. + =1 20 25 25 20 x2 y2 x2 y2 C. + =1 D. + =1 25 5 5 25 6.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 相切于点 B,过 M,N 与圆 C 相切的两条直线相交 于点 P,则点 P 的轨迹方程为( ) 2 2 y A.x - =1(x<-1) 8 2 y B.x2- =1(x>1) 8 2 y C.x2+ =1(x>0) 8 y2 2 D.x - =1(x>1) 10 x2 y2 7.双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是( ) a b A.2 B. 3 3 C. 2 D. 2 2 2 8.已知椭圆 x sin α-y cos α=1(0≤α<2π)的焦点在 y 轴上,则 α 的取值范围是( ) 3 π 3 A.( π,π) B.( , π) 4 4 4 π π 3 C.( ,π) D.( , π) 2 2 4 9.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线 上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 x2 y2 10.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆 C:x2+y2-6x+5=0 相切,且双曲线的右焦点为 a b 圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为( ) 2 2 2 2 x y x y A. - =1 B. - =1 5 4 4 5 x2 y2 x2 y2 C. - =1 D. - =1 3 6 6 3 二、填空题(本大题共 5 小题,请把正确的答案填在题中的横线上) x2 y2 11.椭圆 + =1 的焦距为 6,则 k 的值为________. 20 k 1 12.已知双曲线 9y2-m2x2=1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 ,则 m=________. 5 → → → → 13.已知两点 M(-2,0),N(2,0),点 P 为坐标平面内的动点,满足|MN|· |MP|+MN· NP=0,则动点 P(x,y)的 轨迹方程为________. 14.椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上的点的最短距离 为 3,则这个椭圆方程为________. 15. 已知过点(-2,0)的直线 l 和抛物线 C: y2=8x 有且只有一个公共点, 则直线 l 的斜率取值集合是________. 三、解答题(本大题共 3 小题,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) x2 y2 16.双曲线 C 与椭圆 + =1 有相同的焦点,直线 y= 3x 为 C 的一条渐近线.求双曲线 C 的方程. 8 4

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x2 y2 2 17.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(0,1),离心率为 ,过点 B(0,-2)及左焦点 F1 的直线交椭 a b 2 圆于 C,D 两点,右焦点设为 F2. (1)求椭圆的方程; (2)求△CDF2 的面积.

18.如图所示,已知直线 l:y=kx-2 与抛物线 C:x2=-2py(p>0)交于 A、B 两点,O 为 → → 坐标原点,OA+OB=(-4,-12). (1)求直线 l 和抛物线 C 的方程; (2)抛物线 C 上一动点 P 从 A 向 B 运动时,求△ABP 面积的最大值.

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