直线与方程小结复习


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一、知识精讲:
1.倾斜角:当直线L与x轴相交时,x轴正向与直线 L向上方向之间所成的角叫做直线L的倾斜角。当 直线L和x轴平行或重合时,我们规定直线L的倾斜 角为00。故倾斜角的范围是[0,π)。
2.斜率:不是900的倾斜角的正切值叫做直线的斜 率,即k=tanα (当k>0时,倾斜角是锐角;当k<0时,倾 斜角是钝角,当k=0时,倾斜角等于00)

y 2 ? y1 的斜率公式——k=tanα = x 2 ? x1

3.过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1≠x2)的直线

直线 名称 ①点 斜式 ②斜 截式

方程形 式
y-y0=k(xx0 )

常数意义 K 斜 率 , ( x0,y0) 线上定点 K斜率,b为y轴 上截距

适用范围 K存在 K存在

备注 K不存在 时 x= x0 K不存在 时 x= x0
x1=x2 时 x=x1y1=,y2 时y=,y1

y=kx+b

③两 点式
④截 距式 ⑤一 般式

y ? y1 x ? x1 (x1,y1), (x2,y2)是线 ? y 2 ? y1 x2 ? x1 上 两 定 点 且

a,b 分 别 为 x,y x y ? ? 1 轴上截距 a b Ax+By+ C=0 A,B不同时为0

(x1≠x2 ,y1≠,y2),

不 垂 直 x,y轴
不 垂 直 x,y 轴和过原 点

a=b=0 时 y=kx

任意直线

A,B,C为0时, 直线的特点

注意:除了一般式以外,每一种方程的形式都有其局限性。

5. 直线与直线的位置关系: ( 1 ) 有 斜 率 的 两 直 线 l1:y=k1x+b1;l2: ? y=k2x+b2 ? ①l1∥l2 k1=k2且b1≠b2; ②l1⊥l2 ?1·2=-1; k k ? ③l1与l2相交 k1≠k2 ④l1与l2重合 k1:A 且b1=b2。=0, =k2 x+B y+C (2)一般式的直线l ①l1∥l2 ?A1B2-A2B1=0;B1C2-B2C1≠0 l2:A2x+B2y+C2=0
1 1 1 1

②l1⊥l2 ? A1A2+B1B2=0 ③l1与l2相交 ? A1B2-A2B1≠0 ④l1与l2重合? A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0。

(或A1C2-A2C1 ≠0)

6.若点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上,则 有Ax0+By0+C=0;若点P(x0,y0)不在直线 Ax+By+C=0上,则有Ax0+By0+C≠0, 此时到直线的距离: Ax0 ? By 0 ? C d? 2 2 A ?B
平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0之间的 距离为 C1 ? C 2 在运用公式时,一 d? 2 2 定要把x、y前面的 A ?B 系数化成相等。

7.直线系方程 (1)与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为 Ax+By+m=0
(2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程为 Bx-Ay+m=0 (3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为: A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0 (λ∈R)(除l2外)。

8.对称问题:一点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0 的对称点B的坐标的求法。
设B(x,y) 利用垂直和AB中点在直线上 y ?b B ? ? ? ? x?a A ? ?A a ? x ? B b ? y ? C ? 0 ? 2 ? 2

例1、直线 x cos? ? 3 y ? 2 ? 0 的倾斜角的取 值范围是_________。 解:直线的斜率为: 练习1:直线ax+y+1=0与连接A(2,3)、B(-3,2) 的线段相交,则a的取值范围是( D ) A.[-1,2] B.[2,+∞)∪(-∞,-1) C. [-2,1] D. [1,+∞)∪(-∞,-2)
,

3 3 3 k ?? cos? ? ? ?k? 3 3 3

? ? ? ?5 ? ?? ? ?0, ? ? ? ? , ? ? ? 6 ? ?6 ?

解:直线ax+y+1=0过定点C(0,-1),当直线处在AC与 BC之间时,必与线段AB相交,应满足

3 ?1 或 ?a ? 2

2 ?1 ?a ? ?3

即 a ? ?2或

a ?1

例2.已知 ?ABC 的两个顶点 A(?1,5)和 B(0,?1) , 又知 ?C 的平分线所在的直线方程为 2x ? 3y ? 6 ? 0 ,求BC边所在的直线方程.
x1 ? 1 y1 ? 5 y1 ? 5 3 则2? ?3? ? 6 ? 0且 ?? 2 2 x1 ? 1 2 31 1 1 ' 31 解得, x1 ? ,y1 ? ? ,? A ( ,? ) 13 13 13 13

A' ( x1 , y1 ) 解:设A点关于直线 2 x ? 3 y ? 6 ? 0的对称点为

因为角平分线是角的两边的对称轴 ' A 点在直线BC上,k ? k ' ? 12 所以 BC BA 所以直线BC的方程为y ? 12 x ? 1 31
31

例3: 一条直线被两直线 l1 :4x+y+6=0, l 2 : 3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好为坐标原 点,求这条直线的方程.
解法一: 由题意可设所求直线方程为 y=kx, 分别与 l1 , l 2 的方程联立得两交点的横坐标
?6 分别为 k ? 4
6 与 3 ? 5k
?6 ,令 k ? 4

6 + 3 ? 5k

=0

得k ? ?

1 6.

从而所求直线方程为 x+6y=0.

解法二:设所求直线与 l1 , l 2 的交点分别为 A,B. 设 A( x0 , y 0 ) ,∵AB 关 于 原 点 对 称 ,∴ B(? x0 ,? y 0 ) , 又 ∵A,B 分 别 在 直 线
l1 , l 2 上,∴4x0+y0+6=0 且-3x0+5y0-6=0,两

式相加得 x0+6y0=0.即点 A 在直线 x+6y=0 上, 又直线 x+6y=0 过原点,故所求的直线方程 为 x+6y=0.

例4、已知直线 (a ? 2) y ? (3a ? 1) x ? 1
(1)求证:无论a为何值,直线总过第一象限。 (2)为使这条直线不过第二象限,求a的取值范围。


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