3.1.3


第三章

三角恒等变换

二倍角公式

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三角恒等变换

一、复习和角公式:

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ? tan ?

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三角恒等变换

二、 二倍角公式 的推导

? ) ? sin ? cos? ? sin(? ?? ?? cos ? sin? sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ? sin ? sin? ? cos(? ?? ? ) ? cos ? cos? 2 2 cos 2? ? cos ? ? sin ? tan ? ? tan? ? ?) ? tan(? ? ? 1 ? tan ? ? tan? ? 2 tan ? tan2a = 1 ? tan 2 ?
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三角恒等变换

新知初探思维启动
倍角公式及其变形形式 2sinαcosα sin2α=________________ ; cos2α = - 2α 1 - 2sin __________________; 1+cos2α cos2α=_________________ ; 2
1-cos2α sin2α=_________________ ; 2

cos2α

sin2α

2α- 1 2cos = ____________ =

2tanα π tan2α=______________________________ 2 (α、2α≠ +kπ,k∈Z) ; 2 1-tan α
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三角恒等变换

想一想

sin2α=2sinα,cos2α=2cosα,tan2α=2tanα
能成立吗?
π 提示:一般情况下,sin2α≠2sinα,例如 sin 3 π ≠2sin ,只有当 α=kπ(k∈Z)时,sin2α=2sinα 6 1- 3 才成立. 只有当 cosα= 时, cos2α=2cosα 2 才成立. 只有当 α=kπ(k∈Z)时, tan2α=2tanα 才成立.
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三角恒等变换

做一做
1 sin15°cos15°的值等于( 2 1 A. 4 1 C. 16 1 B. 8 1 D. 2 )

1 1 解析:选 B.原式= ×2sin15° cos15°= × 4 4 1 sin30°= . 8
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三角恒等变换

典题例证技法归纳
题型探究 给角求值
例1
求下列各式的值:

π π π π (1)(cos -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 (2)2cos105° cos15° ;

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三角恒等变换

tan15° (3) ; 1-tan215°

1 2π (4) -cos . 2 8

π π π π 【解】 (1)(cos -sin )(cos +sin ) 12 12 12 12 π π 3 2π =cos -sin =cos = . 12 12 6 2
2

(2)2cos105° cos15° =2cos(90° +15° )cos15° =2(-sin15° )cos15° =-2sin15° cos15° 1 =-sin30° =- . 2

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三角恒等变换

tan15° 1 2tan15° 1 (3) = × = × tan30° = 2 2 2 2 1-tan 15° 1-tan 15° 3 . 6 1 1 2π 2π (4) -cos =- (2cos -1) 2 8 2 8 1 π 2 =- cos =- . 2 4 4

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三角恒等变换

变式训练
1.求下列各式的值: π π (1)sin cos ; (2)1 - 2sin2750° ; 12 12 2tan150° (3) . 1-tan2150°
π π π 2sin cos sin 12 12 6 1 解:(1)原式= = = . 2 2 4

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三角恒等变换

(2) 原 式 = cos(2×750 ° ) = cos1500 ° = cos(4×360°+60°) 1 =cos60°= . 2 (3) 原 式 = tan(2×150 ° ) = tan300 ° = tan(360°-60°) =-tan60°=- 3.

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三角恒等变换

给值(式)求值
例2 (本题满分 9 分)已知 α 为第二象限角, α α 5 α α cos +sin =- ,求:sin -cos . 2 2 2 2 2 【思路点拨】 首先对等式两边平方,求得

sinα ,再利用同角关系求 cosα ,最后利用二

倍角公式求值.

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三角恒等变换

α α 5 【解】 由 cos +sin =- 平方得 2 2 2 α α 5 1+2sin cos = ,……………………2 分 2 2 4 1 即 sinα= ,cosα=- 4 ∴cos -sin =- 2 2
2α 2α

15 .…………4 分 4 6分

15 . 4

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三角恒等变换

α α α α ∴(cos -sin )(cos +sin ) 2 2 2 2 =- 15 α α 3 . ∴cos -sin = 4 2 2 2 9分

α α 3 ∴sin -cos =- . 2 2 2
名师微博

α α cos 与 sin 的位置不要搞错哟! 2 2

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互动探究

2.在例2条件不变的情况下,求sin2α+cos2α
的值.
解: sin2α + cos2α = 2sinαcosα + 1 - 2sin2α = 7- 15 . 8

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化简与证明
例3 化简cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+
1+cos(2θ+30°) 原式= + 2

sin(θ+180°)· cos(θ-180°).
【解】

1-cos(2θ-30°) 1 1 + sin2 θ = 1 + [cos(2θ 2 2 2 1 +30°)-cos(2θ-30°)]+ sin2θ 2

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1 = 1+ (cos2θ cos30°- sin2θ sin30°-cos2 2 1 θ cos30°-sin2θ sin30°)+ sin2θ 2 1 =1+(-sin2θ sin30°)+ sin2θ =1. 2

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变式训练
1 3.化简:sin αsin β+cos αcos β- cos2αcos2β. 2 解:法一:原式=sin2αsin2β+(1-sin2α)cos2β
2 2 2 2

1 - cos2αcos2β =cos2β- sin2α(cos2β- sin2β)- 2 1 cos2αcos2β 2 1 =cos β-sin αcos2β- cos2αcos2β 2
2 2

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1 =cos β-cos2β(sin α+ cos2α) 2
2 2

1+cos2β 1 2 = -cos2β[sin α+ (1-2sin2α)] 2 2 1+cos2β 1 1 = - cos2β= . 2 2 2

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1-cos2α 1-cos2β 法 二 : 原 式 = · + 2 2 1+cos2α 1+cos2β 1 1 · - cos2αcos2β = (1 + 2 2 2 4 1 cos2αcos2β - cos2α - cos2β) + (1 + 4 1 1 cos2αcos2β+cos2α+cos2β)- cos2αcos2β= 2 4 1 1 + = . 4 2

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备选例题
π 1.(2011· 高考福建卷)若 α∈(0, ),且 sin2α+ 2 1 cos2α= ,则 tanα 的值等于( 4 2 A. 2 C. 2 ) 3 B. 3 D. 3

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解析:选 D. 由二倍角公式可得 sin2α + 1 - 1 2sin α= ,即 4
2

3 3 π 2 -sin α=- ,sin α= ,又因为 α∈(0, ), 4 4 2
2

3 π 所以 sinα= ,即 α= ,所以 tanα= 3. 2 3 π π 1 π 2.已知 sin( +α)sin( -α)= ,且 α∈( ,π), 4 4 6 2
则 sin4α=__________.

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π π π 解析:( +α)+( -α)= , 4 4 2 π π ∴sin( -α)=cos( +α). 4 4 π π 1 ∵sin( +α)sin( -α)= , 4 4 6 π π 1 ∴2sin( +α)cos( +α)= . 4 4 3 1 ∴cos2α= . 3

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π 又∵α∈( ,π), 2 ∴2α∈(π,2π). ∴sin2α=- 1-cos22α =- 1 2 2 2 1-( ) =- . 3 3

∴sin4α=2sin2αcos2α 2 2 1 4 2 =2× (- )× =- . 3 3 9 4 2 答案:- 9

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π 5 π cos2x 3.已知 sin( -x)= ,0<x< ,求 4 13 4 π cos( +x) 4 的值.
π sin( +2x) 2 解:原式= π cos( +x) 4 π π 2sin( +x)· cos( +x) 4 4 π = =2sin( +x). π 4 cos( +x) 4
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π π 5 π ∵sin( -x)=cos( +x)= ,且 0<x< , 4 4 13 4 π π π ∴ +x∈( , ), 4 4 2 π ∴sin( +x)= 4 π 12 1-cos ( +x)= . 4 13
2

12 24 ∴原式=2× = . 13 13

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课堂小结:
1.知识: sin 2? ? 2sin ? cos ?

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? =2cos 2 ? ? 1 =1-2sin 2 ? 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ?
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2.思想方法:


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