2018年学习正余弦函数的奇偶性与单调性PPT教材课件_图文

X 学习目标: 1.理解正、余弦函数的奇偶性、 单调性的意义; 2.会求简单函数的奇偶性、 单调性; 重点:正、余弦函数的性质 难点:正、余弦函数的性质. 复习:正弦、余弦函数的图象和性质 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x y=sinx (x?R) 定义域 x?R 域 y?[ - 1, 1 ] ? 2? 3? 4? y=cosx (x?R) y 1 -4? -3? -2? -? 值 o -1 5? 6? x 一、函数的奇偶性 奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数。 奇函数的图象关于原点对称。 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x y=sinx (x?R) 设(x,y)是正弦曲线y=sinx(x∈R)上任意一点,即(x,sinx)是正弦 曲线上的一点,它关于原点的对称点是(-x,-y)即(-x,-sinx)。 由诱导公式sin(-x)=-sinx可知,这个对称点就是(-x,sin(-x))。 它显然也在正弦曲线上, 所以正弦曲线关于原点对称,正弦函数是奇函数。 偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个 x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数。 偶函数的图象关于y轴对称。 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x y=cosx (x?R) 设(x,y)是余弦曲线y=cosx(x∈R)上任意一点,即(x,cosx)是 余弦曲线上的一点,它关于y轴的对称点是(-x,y)即(x,cosx)。由诱导公式cos(-x)=cosx可知,这个对称点就 是(-x,cos(-x))。它显然也在余弦曲线上, 所以余弦曲线关于y轴对称,余弦函数是偶函数。 正弦、余弦函数的奇偶性 y 1 -4? -3? -2? -? o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称 cos(-x)= cosx (x?R) y 1 -4? -3? -2? -? y=cosx (x?R) 是偶函数 o -1 ? 2? 3? 4? 5? 6? x 例1:判断函数奇偶性 (1) y=-sin3x x∈ R (2) y=|sinx|+|cosx| x∈R (3) y=1+sinx x∈R 解:(1)f(-x)=-sin[3(-x)]=-(-sin3x)=-f(x), 且f(x)的定义域关于原点对称,所以此函数是奇函数。 (2)f(-x)=|sin(-x)|+|cos(-x)|=|sinx|+|cosx|=f(x) 且f(x)的定义域关于原点对称,所以此函数是偶函数。 (3)f(-x)=1+sin(-x)=1-sinx f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) 所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。 二、正弦函数的单调性 y 1 -3? ? 5? 2 -2? ? 3? 2 -? ? ? 2 o -1 ? 2 ? 3? 2 2? 5? 2 x 3? 7? 2 4? x sinx ? ? 2 … 0 0 … ? 2 … ? 0 … 3? 2 -1 1 -1 y=sinx (x?R) ? ? ?? ? ?, +2k ?],k?Z 其值从-1增至1 增区间为 [[? +2k , ] 2 2 2 2 3 ? ? ? 3? ? , +2k 减区间为 [[ +2k , ] ?],k?Z 其值从 1减至-1 2 2 2 余弦函数的单调性 y 1 -3? 5? ? 2 -2? 3? ? 2 -? ? ? 2 o -1 ? 2 ? 3? 2 2? 5? 2 x 3? 7? 2 4? x cosx -? -1 … ? ? 2 … 0 1 … ? 2 … ? -1 0 0 y=cosx (x?R) 增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z ? + ?], k?Z 减区间为 [2k?, 2k, 其值从-1增至1 其值从 1减至-1 例2.求下列函数的单调区间: y=3sin(2x解: 2k? ? ? ? 4 ) 3? k? Z k? ? ? x ? k? ? 8 8 ? ? 3? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? k? Z 2 4 2 3? 7? k? ? ? x ? k? ? 8 8 2 ? 2x ? ? 4 ? 2 k? ? ? 2 k? Z ? k? Z ? , k? ? 所以: 单调增区间为 单调减区间为 3? ] k? Z 8 8 3? 7? [k? ? , k? ? ] k? Z 8 8 [k? ? 例3 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (1) sin( ? ? ) – sin( ? 18 ? ? ? ? 10 ) 解:? ? 2 ? ? 10 ? ? 18 ? sin( ? 5 ? 2 又 y=sinx 在[? ) ? 10 ) < sin(? ? 18 即:sin(? 18 ) – sin(? 10 )>0 17? cos( ? 17? )=cos 4 4 , ] 上是增函数 2 2 ? ? ? ? (2) cos(? 23? ) - cos(? 解: cos( ? 23? )=cos 23? 5 5 ? 0? ? ) - cos(? 从而 cos(? 23 5 ? ? 17? ) 4 =cos ? cos 3? 5 4 ? ? <

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