高二数学人教A必修5练习:2.3.2 等差数列前n项和的性质与应用 Word版含解析

课时训练 10 等差数列前 n 项和的性质与应用 一、等差数列前 n 项和性质的应用 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=2,S4=10,则 S6 等于( A.12 答案:C 解析:S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列,即 2,8,S6-10 成等差数列,S6=24. 2.已知某等差数列共有 10 项,其奇数项之和为 15,偶数项之和为 30,则其公差为( A.5 答案:C 解析:由题意得 S 偶-S 奇=5d=15,∴d=3.或由解方程组 3.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-2 015, A.2 015 答案:B 解析:由等差数列前 n 项和性质可知,数列 则 所以 =2d=2,所以 d=1. +2014d=-2015+2014=-1, 是等差数列,设公差为 d, B.-2 015 C.0 =2,则 S2 015=( D.1 求得 d=3,故选 C. ) B .4 C.3 D.2 ) B.18 C.24 D.42 ) 所以 S2015=-2015. 二、等差数列前 n 项和中的最值问题 4.设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前 n 项和,则下列命题中错误的是( A.若 d<0,则数列{Sn}有最大项 B.若数列{Sn}有最大项,则 d<0 C.若数列{Sn}是递增数列,则对任意 n∈N*,均有 Sn>0 D.若对任意 n∈N*,均有 Sn>0,则数列{Sn}是递增数列 答案:C 解析:由等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ n(n-1)d= n2+ d<0. 故若 d<0,则 Sn 有最大值,A,B 正确. 又若对任意 n∈N*,Sn>0,则 a1>0,d>0,{Sn}必为递增数列,D 正确. 而对于 C 项,令 Sn=n2-2n,则数列{Sn}递增,但 S1=-1<0.C 不正确. n 知,Sn 对应的二次函数有最大值时 ) 5.(2015 河南南阳高二期中,10)已知数列{an}为等差数列,若 使得 Sn>0 的 n 的最大值为( A.21 答案:C 解析:由 <-1,可得 <0, B.20 ) C.19 D.18 <-1,且它们的前 n 项和 Sn 有最大值,则 由它们的前 n 项和 Sn 有最大值可得数列的公差 d<0,∴a10>0,a11+a10<0,a11<0, ∴a1+a19=2a10>0,a1+a20=a11+a10<0. ∴使得 Sn>0 的 n 的最大值 n=19.故选 C. 6.设数列{an}为等差数列,其前 n 项和为 Sn,已知 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93,若对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,则 k 的值为( A.22 答案:C 解析:对任意 n∈N*,都有 Sn≤Sk 成立,即 Sk 为 Sn 的最大值. 因为 a1+a4+a7=99,a2+a5+a8=93, 所以 a4=33,a5=31, 故公差 d=-2,an=a4+(n-4)d=41-2n, 则 n=1 时,a1=39, 所以 Sn= n2+ n=-n2+40n=-(n-20)2+400,即当 n=20 时 Sn 取得最大值,从而满足对任意 n∈ B.21 ) C.20 D.19 N*,都有 Sn≤Sk 成立的 k 的值为 20. 7.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2 014>0,S2 015<0,则当 n= 答案:1 007 解析:由等差数列的性质知,S2015=2015a1008<0, 所以 a1008<0. 又 S2014= =1007(a1007+a1008)>0, 时,Sn 最大. 所以 a1007+a1008>0,而 a1008<0,故 a1007>0. 因此当 n=1007 时,Sn 最大. 8.已知数列{an},an∈N*,前 n 项和 Sn= (an+2)2. (1)求证:{an}是等差数列; (2)设 bn= an-30,求数列{bn}的前 n 项和的最小值. (1)证明:由已知得 8Sn=(an+2)2, 则 8Sn-1=(an-1+2)2(n≥2), 两式相减,得 8an=(an+2)2-(an-1+2)2, 即(an+an-1)(an-an-1-4)=0. 因为 an∈N*,所以 an+an-1>0, 所以 an-an-1=4(n≥2), 故数列{an}是以 4 为公差的等差数列. (2)解:令 n=1,得 S1=a1= (a1+2)2,解得 a1=2. 由(1)知 an=2+(n-1)×4=4n-2, 所以 bn= an-30=2n-31. 由 bn=2n-31<0,得 n< , 即数列{bn}的前 15 项为负值,n≥16 时 bn>0. 设数列{bn}的前 n 项和为 Tn, 则 T15 最小,其值为 T15=15×(-29)+ ×2=-225. 三、与数列{|an|}前 n 项和有关的问题 9.已知数列{an}的通项公式 an=5-n,则当|a1|+|a2|+…+|an|=16 时,n= 答案:8 解析:由 an=5-n,可得 n<5 时,an>0; n=5 时,a5=0; n>5 时,an<0, 而 a1+a2+…+a5=10, . ∴|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an)=16. ∴20+ - =16,解得 n=8. 10.在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 5a3· a1=(2a2+2)2. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|. 解:(1)因为 5a3· a1=(2a2+2)2,所以 d2-3d-4=0,解得 d=-1 或 d=4.故 an=-n+11 或 an=4n+6. (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn. 因为 d<0,所以由(1)得 d=-1,an=-n+11. 则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|

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