2013年上海市虹口区高考一模数学试题及答案


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虹口区 2012 学年度第一学期高三年级数学 学科 期终教学质量监控测试卷(一模)
(时间 120 分钟,满分 150 分)
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、已知集合 A ? x x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? x x ? 1 ? 2 ,则 A ? B ? 2、已知向量 a ? (1, 2013.1

?

?

?

?



? 2) , b ? (1, 1) , m ? a ? b , n ? a ? ? b ,如果 m ? n ,则实数

??

. .

3、从甲、乙、丙、丁四个人中任选两名志愿者,则甲被选中的概率是 4、双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的 两条渐近线的夹角大小等于 3

. .

5、已知 sin? ? 3cos? ,则

cos 2? ? 1 ? sin 2?

6、在下面 的程序框图中,输出的 y 是 x 的函数,记为 y ? f ( x) ,则 f ?1 ( ) ?
否 是

1 2



开始

输入实数

输出

结束

1? i
7、关于 z 的方程 ? i

1? i

0 1 2 0

z
,则方程的解 z ? i ? 2 ? i 2013 (其中 i 是虚数单位) .

z
x ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x ? 3x ? 1
2
n??

8、若对于任意 x ? 0 ,不等式

. . . . .

9、在等比数列 ?an ?中,已知 a1a2 ? 32 , a3a4 ? 2 ,则 lim ( a1 ? a2 ? ? ? an ) ? 10、在 ?ABC 中, AB ? 2 3 , AC ? 2 且 ?B ? 30? ,则 ?ABC 的面积等于 11、已 知正实数 x 、 y 满 足 x ? 2 y ? xy ,则 2 x ? y 的最小值等于

2 ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 ,则 m ? 12、等差数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ,若 am ?1 ? am ?1 ? am

13、 设定义在 R 上的函数 f ( x) 是最小正周期为 2? 的偶函数, 当 x ? [0, ? ] 时,0 ? f ( x) ? 1,且在 [0,
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?
2

]上

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单调递减,在 [

?
2

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, ? ] 上单调递增,则函数 y ? f ( x) ? sin x 在 [? 10? , 10? ] 上的零点个数为
x ? 2 上,则 PQ 的最小值等于




14、设点 P 在曲线 y ? x 2 ? 2 上,点 Q 在曲线 y ?
二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分)

15、若 2 ? i 是关于 x 的实系数方程 x ? ax ? b ? 0 的一根,则该方程两根的模的和为(
2



A. 5

B. 2 5

C. 5

D. 10


16、已知 l1 、 l 2 、 l3 是空间三条不同的直线,下列命题中正确的是(

A. 如果 l1 ? l2 , l2 // l3 .则 l1 ? l3 . C. 如果 l1 ? l2 , l2 ? l3 .则 l1 ? l3 .

B. 如果 l1 // l2 , l2 // l3 .则 l1 、 l 2 、 l3 共面. D. 如果 l1 、 l 2 、 l3 共点.则 l1 、 l 2 、 l3 共面.

17、定义域为 R 的函数 f ( x ) ? ax 2 ? b x ? c (a ? 0) 有四个单调区间,则实数 a, b, c 满足( )

A. b 2 ? 4ac ? 0且a ? 0
18 、 数 列 {a n } 满 足 an ? ?
等于( f (2 0 1) 3 ? f (2 0 1)2

B. b2 ? 4ac ? 0
?n, 当n ? 2k ? 1 ?ak , 当n ? 2k

C. ? b ? 0
2a

D. ? b ? 0
2a

, 其 中 k ? N ? , 设 f ( n ) ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ?1 ? a2n , 则

).

A. 22012

B. 22013

C. 4 2012

D. 42013

三、解答题(满分 74 分) 19 、 (本题满分 12 分)在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于
P

arccos

10 . 5
A

D

C B

(1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积;

(2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.

20、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? sin(

?
3

? x) ? 3 sin x ? cos x ? cos2 x .

(1)求函数 f ( x) 的最小正周期,最大值及取最大值时相应的 x 值;

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(2)如果 0 ? x ?

?
2

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,求 f ( x) 的取值范 围.

21、 (本题满分 14 分)已知圆 O : x ? y ? 4 .
2 2

(1)直线 l1 : 3 x ? y ? 2 3 ? 0 与圆 O 相交于 A 、 B 两点,求 AB ; (2)如图,设 M ( x1 ,

y1 ) 、 P( x2 ,

y2 ) 是圆 O 上的两个

y M P

动点,点 M 关于 直 线 PM 1 、
x

原点的对称点为 M 1 ,点 M 关于 x 轴的对称点为 M 2 ,如果

PM 2 与 y 轴分别交于 (0, m) 和 (0, n ) ,问 m ? n 是否为
该定值;若不是,请说明理由.

定值?若是求出

O

22、 (本题满分 16 分)数列 ?a n ?的前 n 项和记为 S n ,且满足 Sn ? 2an ? 1 . (1)求数列 ?a n ?的通项公式; (2)求和 S1 ? Cn ? S 2 ? Cn ? S3 ? Cn ? ? ? S n ?1 ? Cn ;
0 1 2 n

(3)设有 m 项的数列 ?bn ? 是连续的正整数数列,并且满足:

lg 2 ? lg(1 ?

1 1 1 ) ? lg(1 ? ) ? ? ? lg(1 ? ) ? lg(log 2 am ) . b1 b2 bm

问数列 ?bn ? 最多有几项?并求这些项的和.

23 、 ( 本 题 满 分 18 分 ) 如 果 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 对 于 定 义 域 内 的 任 意 x , 存 在 实 数 a 使 得 . f ( x ? a) ? f (? x) 成立,则称此函数具有“ P(a) 性质” (1) 判断函数 y ? sin x 是否具有 “ P(a ) 性质” , 若具有 “ P(a ) 性质” 求出所有 a 的值; 若不具有 “ P(a ) 性质” , 请说明理由.
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(2)已知 y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,且当 x ? 0 时 f ( x) ? ( x ? m) ,求 y ? f ( x) 在 [0, 1] 上的最大值.
2

(3)设函数 y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,且当 ? 为 2013 个,求 m 的值.

1 1 ? x ? 时, g ( x) ? x .若 y ? g ( x) 与 y ? mx 交点个数 2 2

上海市虹口区 2013 届高三一模数学试题 参考答案
一、填空题(每小题 4 分,满分 56 分) 1、 (? 1, 1) ; 6、 ? 1 ; 2、2; 7、 1 ? 2i ;

1 ; 2 1 8、 a ? ; 5
3、 13、20; 14、

4、

? ; 3

5、 ?

1 ; 2

9、 ? 16 ;

10、 2 3 或 3 ;

11、9;

12、10;

7 2 ; 4

二、选择题(每小题 5 分,满分 20 分) 15、B; 16、A; 17、C; 18、C;

三、解答题(满分 74 分) 19、(12 分) 解: (1)取 AB 的中点 M ,记正方形 ABCD 对角线的交点为 O? ,连 PM , PO? , AC ,则 AC 过

O? .

? PA ? PB ,? PM ? AB ,又 cos?PAM ?
AO? ? 4 , PO? ? 2
1 1 64 VP ? ABCD ? S底 ? PO? ? ? (4 2 )2 ? 2 ? 3 3 3

10 , PA ? 2 5 ,得 AM ? 2 2 .??????4 分 5

? 正 四 棱 锥 P ? ABCD 的 体 积 等 于
位) .??????8 分
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64 (立方单 3

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( 2 ) 连 AO , OO? , 设 球 的 半 径 为 R , 则 OA ? R , OO? ? R ? PO? ? R ? 2 , 在 Rt?OO?A 中 有

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R 2 ? ( R ? 2) 2 ? 42 ,得 R ? 5 。????12 分
20、 (14 分)解: f ( x) ? 2 sin x(

3 1 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin(2 x ?
f ( x) 的最小正周期等于 ? .
当 2x ?

?
6

) ????????6 分

?
6

? 2k? ?

?
2

, x ? k? ?

?

(2)由 0 ? x ?

?
2

,得

?
6

? 2x ?

?

6

(k ? z) 时, f ( x) 取得最大值 2.??????10 分

6

?

7? 1 ? , ? ? sin(2 x ? ) ? 1 , 6 2 6

f ( x) 的值域为 [? 1, 2] ??????14 分

21、 (14 分)解: (1)圆心 O(0,
2

0) 到直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 的距离 d ? 3 .
2

圆的半径 r ? 2 ,? AB ? 2 r ? d ? 2 .??????4 分 (2) M ( x1 , 8分

y1 ) , P( x2 ,

2 2 x12 ? y12 ? 4 , x2 ? y2 ? 4. 则 M1 (? x1 , ? y1 ) , ?????? y2 ) , M 2 ( x1 , ? y1 ) ,

PM 1 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 m ?

x1 y2 ? x2 y1 . x2 ? x1

PM 2 : ( y2 ? y1 )( x ? x2 ) ? ( x2 ? x1 )( y ? y2 ) ,得 n ?

? x1 y2 ? x2 y1 .????12 分 x2 ? x1

?m?n ?

2 2 2 2 2 x2 y1 ? x12 y2 x2 (4 ? x12 ) ? x12 (4 ? x2 ) ? ? 4 ??????14 分 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1

[

22、 (16 分)解: (1)由 Sn ? 2an ? 1 得 Sn ?1 ? 2an ?1 ? 1 ,相减得 an ?1 ? 2an ?1 ? 2an ,即 an ?1 ? 2an . 又 S1 ? 2a1 ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,?数列 ?a n ?是以 1 为首项 2 为公比的等比数列,? an ? 2 ??????????????????5 分 (2)由(1)知 S n ? 2 ? 1 .
n n ?1



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1 1 ? S3 ? Cn2 ? ? ? S n?1 ? Cnn ? (21 ? 1) ? Cn0 ? (22 ? 1) ? Cn ? (23 ? 1) ? Cn2 ? ? (2n?1 ? 1) ? Cnn ? S1 ? Cn0 ? S 2 ? Cn 0 1 2 n 0 1 2 n ? 2(Cn ? 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n Cn ) ? (Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? 2(1 ? 2) n ? 2n ? 2 ? 3n ? 2n

??????????????????10 分 (3)由已知得 2 ?

b1 ? 1 b2 ? 1 b ?1 ? ??? m ? m ?1 . b1 b2 bm 2(bm ? 1) ? m ? 1 .?? b1

又 ?bn ? 是连续的正整数数列,? bn ? bn ?1 ? 1 .?上式化为 又 bm ? b1 ? (m ? 1) ,消 bm 得 mb1 ? 3b1 ? 2m ? 0 .

m?

3b1 6 ? ? 3? ,由于 m ? N ,? b1 ? 2 ,? b1 ? 3 时, m 的最大值为 9. b1 ? 2 b1 ? 2

此时数列的所有 项的和为 3 ? 4 ? 5 ? ? ? 11 ? 63 ????????16 分

23 、( 18 分 ) 解 :( 1 ) 由 s i n x? ( a) ? s i n ? x( ) 得 sin(x ? a) ? ? sin x , 根 据 诱 导 公 式 得 ,其中 a ? 2k? ? ? (k ? Z ) . a ? 2k? ? ? (k ? Z ) .? y ? sin x 具有“ P(a) 性质” ??????4 分 (2)? y ? f ( x) 具有“ P (0) 性质” ,? f ( x) ? f (? x) . 设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 ,? f ( x) ? f (? x) ? (? x ? m) ? ( x ? m)
2
2 ? ?( x ? m) ? f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? m)

2

x?0 x?0

????????6 分
2

当 m ? 0 时,? y ? f ( x) 在 [0, 1] 递增,? x ? 1 时 ymax ? (1 ? m) 当0 ? m ?

1 2 2 时,? y ? f ( x) 在 [0, m] 上递减,在 [m, 1] 上递增,且 f (0) ? m ? f (1) ? (1 ? m) , ? x ? 1 2
2

时 ymax ? (1 ? m) 当m?

1 2 2 时,? y ? f ( x) 在 [0, m] 上递减,在 [m, 1] 上递增,且 f (0) ? m ? f (1) ? (1 ? m) ,? x ? 0 时 2

ymax ? m2

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综上所述:当 m ?

1 1 2 2 时, ymax ? f (1) ? (1 ? m) ;当 m ? 时, ymax ? f (0) ? m 2 2

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????????????11 分 (3)? y ? g ( x) 具有“ P(?1) 性质” ,? g (1 ? x) ? g (? x) , g (?1 ? x) ? g (? x) ,

? g ( x ? 2) ? g (1 ? 1 ? x) ? g (?1 ? x) ? g ( x) ,从而得到 y ? g ( x) 是以 2 为周期的函数。
又设

网 Z,X,X,K]

1 3 1 1 ? x ? ,则 ? ? 1 ? x ? , 2 2 2 2

g ( x) ? g ( x ? 2) ? g (?1 ? x ? 1) ? g (? x ? 1) ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? g ( x ? 1) .

1 1 , ? x ? n ? ( n? z ) 2 2 1 1 1 1 当 n ? 2k ( k ? z ) , 2k ? ? x ? 2k ? 则 ? ? x ? 2 k ? , 2 2 2 2
再设 n ?

g ( x ) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? x ? n ;

1 1 1 3 ? x ? 2k ? 1 ? 则 ? x ? 2k ? , g ( x) ? g ( x ? 2k ) ? x ? 2k ? 1 ? x ? n ; 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 对 于 , n ? ? x ? n ? ( n ? z ), 都 有 g ( x) ? x ? n , 而 n ? 1 ? ? x ? 1 ? n ? 1 ? , 2 2 2 2
当 n ? 2k ? 1( k ? z ) , 2k ? 1 ?

? g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? (n ? 1) ? x ? n ? g ( x) ,? y ? g ( x) 是周期为 1 的函数.
①当 m ? 0 时,要使得 y ? mx 与 y ? g ( x) 有 2013 个交点,只要 y ? mx 与 y ? g ( x) 在 [0, 1006 ) 有 2012 个交 点,而在 [1006 , 1007 ] 有一个交点.? y ? mx 过 ( ②当 m ? 0 时,同 理可得 m ? ? ③当 m ? 0 时,不合题意. 综上所述 m ? ?

2013 , 2

1 1 ) ,从而得 m ? 2 2013

1 2013

1 ??????????18 分 2013

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