2014年高考数学总复习教案:第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第8课时 解三角形应用举例

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第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第 8 课时 解三角形应用举例(对应学生 用书(文)、(理)55~56 页)

考情分析 正余弦定理在应用题中的应用.

考点新知 能准确地建立数学模型,并能用正弦定 理和余弦定理解决问题.

1. (必修 5P11 习题 4 改编)若海上有 A、B、C 三个小岛,测得 A,B 两岛相距 10 海里, ∠BAC=60°,∠ABC=75°,则 B、C 间的距离是________海里. 答案:5 6 解析:由正弦定理, 知 BC AB = , sin60° sin(180°-60°-75°)

解得 BC=5 6(海里). 2. (必修 5P20 练习第 4 题改编)江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,船与炮台底部 在同一水面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 60°, 而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则两条船相距________m. 答案:10 3

解析:如图,OA 为炮台,M、N 为两条船的位置,∠AMO=45°,∠ANO=60°, OM = AOtan45 ° = 30 , ON = AOtan30 ° = 900+300-2×30×10 3× 3 × 30 = 10 3 , 由 余 弦 定 理 , 得 MN = 3

3 = 300=10 3(m). 2

3. (必修 5P18 例 1 改编)如图,要测量河对岸 A、B 两点间的距离,今沿河岸选取相距 40 m 的 C、D 两点,测得∠ACB=60°,∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 AB 的距离是__________ m.

答案:20 6 解析:由已知知△BDC 为等腰直角三角形,故 DB=40;由∠ACB=60°和∠ADB= 60°知 A、B、C、D 四点共圆,

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所以∠BAD=∠BCD=45°; 在△BDA 中,运用正弦定理可得 AB=20 6. 4. (必修 5P21 习题 2 改编)某人在 C 点测得塔顶 A 在南偏西 80°,仰角为 45°,此人沿 南偏东 40°方向前进 10 m 到 D,测得塔顶 A 的仰角为 30°,则塔高为________m. 答案:10

解析:如图,设塔高为 h,在 Rt△AOC 中,∠ACO=45° ,则 OC=OA=h. 在 Rt△AOD 中,∠ADO=30°,则 OD= 3h. 在△OCD 中,∠OCD=120°,CD=10. 由余弦定理得 OD2=OC2+CD2-2OC· CDcos∠OCD, 即( 3h)2=h2+102-2h×10×cos120°, ∴ h2-5h-50=0,解得 h=10 或 h=-5(舍).

5. 如图,一船在海上自西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 α 角,前进 mkm 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东 β 角,已知该岛周围 nkm 范围内(包括边界)有暗 礁,现该船继续东行.当 α 与 β 满足条件________时,该船没有触礁危险. 答案:mcosαcosβ>nsin(α-β) 解析:∠MAB=90°-α,∠MBC=90°-β=∠MAB+∠AMB=90°-α+∠AMB, BM m ∴ ∠AMB=α-β.由题可知, 在△ABM 中, 根据正弦定理得 = , sin(90°-α) sin(α-β) mcosα mcosαcosβ 解得 BM= .要使船没有触礁危险,需要 BMsin(90°-β)= >n,所以 sin(α-β) sin(α-β) α 与 β 满足 mcosαcosβ>nsin(α-β)时船没有触礁危险.

1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等. 2. 实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方的 角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
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(2) 方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°,西偏北 60°等. (3) 方位角: 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方位角为 α(如图 ②). (4) 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数.

[备课札记]

题型 1 测量距离问题 例 1 要测量河对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并且测得 ∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离. 解:△ACD 中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,∴ AC=CD= 3 km.在 △BCD 中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,∴ BC= 3sin75° 6+ 2 = . 2 sin60°
2 ? 6+ 2? - ? ? 2 ?

在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC· BC· cos∠ACB=( 3)2+? 2· 3· 6+ 2 cos75°=5,∴ AB= 5 km.故 A、B 之间的距离为 5 km. 2 变式训练

设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C,测出 AC 的距离为 50m,∠ACB=45°,∠CAB=105°,求 A、B 两点的距离. 解:由题意知∠ABC=30°, 由正弦定理 AC AB = , sin∠ABC sin∠ACB 50× 1 2 2 2 =50 2 m.

AC· sin∠ACB 得 AB= = sin∠ABC

故 A、B 两点的距离为 50 2 m. 题型 2 测量高度问题

例 2 某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m)如图所示,垂直放置的标杆 BC
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的高度 h=4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β. (1) 该小组已测得一组 α、β 的值,算出了 tanα =1.24,tanβ =1.20,请据此算出 H 的 值; (2) 该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m),使 α 与 β 之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为 125 m,试问 d 为多少时,α -β 最大? H h H H h H 解: (1) 由 AB= , BD= , AD= 及 AB+BD=AD, 得 + = , tanα tanβ tanβ tanα tanβ tanβ htanα 4×1.24 解得 H= = =124. tanα-tanβ 1.24-1.20 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124 m. H (2) 由题设知 d=AB,得 tanα= . d H-h H h 由 AB=AD-BD= - ,得 tanβ= , d tanβ tanβ tanα-tanβ 所以 tan(α-β)= = 1+tanαtanβ h h ≤ , H(H-h) 2 H(H-h) d+ d

H(H-h) 当且仅当 d= ,即 d= H(H-h)= 125×(125-4)=55 5时,上式取 d π π 等号. 所以当 d=55 5时, tan(α-β)最大. 因为 0<β<α< , 则 0<α-β< , 所以当 d=55 5 2 2 时,α-β 最大.故所求的 d 是 55 5m.

备选变式(教师专享) 如图所示,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D,现测得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ,求塔高 AB. BC CD 解:在△BCD 中,∠CBD=π-α-β,由正弦定理得 = ,所以 BC sin∠BDC sin∠CBD CD· sin∠BDC s· sinβ = = . sin∠CBD sin(α+β) s· tanθsinβ 在 Rt△ABC 中,AB=BCtan∠ACB= . sin(α+β) 题型 3 测量角度问题 例 3 在海岸 A 处,发现北偏西 75°的方向,距离 A 2 海里的 B 处有一艘走私船,在 A 处北偏东 45°方向,距离 A ( 3-1)海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/小时的速度追 截走私船.此时,走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 向北偏西 30°方向逃窜,问缉私船 沿什么方向能最快追上走私船?

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解:由已知条件得,AB=2,AC= 3-1,∠BAC=120°, ∴ BC= AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC = 4+4-2 3+2 3-2= 6. AB BC 在△ABC 中, = , sin∠ACB sin∠BAC 解得 sin∠ACB= 2 ,∴ ∠ACB=45°, 2

∴ BC 为水平线,设经过时间 t 小时后,缉私船追上走私船,则在△BCD 中, BD=10t,CD=10 3t,∠DBC=120°, 3 2 1 BDsin∠CBD sin∠BCD= = = , CD 10 3t 2 10t× ∴ ∠BCD=30°, ∴ 缉私船沿北偏西 60°的方向能最快追上走私船. 备选变式(教师专享)

如图,渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处,且与岛屿 A 相距 12 海里,渔船 乙以 10 海里/小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从 B 处出发沿北偏 东 α 的方向追赶渔船乙,刚好用 2 h 追上,此时到达 C 处. (1) 求渔船甲的速度; (2) 求 sinα 的值. 解:(1) 依题意知,∠BAC=120°,AB=12 海里,AC=10×2=20 海里,∠BCA=α. 在 △ABC 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 BC2 = AB2 + AC2 - 2AB· AC· cos∠BAC = 122 + 202 - 2×12×20×cos120°=784,解得 BC=28 海里. BC 所以渔船甲的速度为 =14 海里/小时. 2 (2) 在△ABC 中,因为 AB=12 海里,∠BAC=120°,BC=28 海里,∠BCA=α,由 AB BC 正弦定理,得 = . sinα sin120° 3 12× 2 3 3 AB· sin120° 即 sinα= = = . BC 28 14

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1. 在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是________. 答案:钝角三角形 a2+b2-c2 解析:由正弦定理可把不等式转化为 a2+b2<c2,cosC= <0,所以三角形为 2ab 钝角三角形. 2. 已知△ABC 的三边长成公比为 2的等比数列,则其最大角的余弦值为________. 答案:- 2 4

解析:设最小边为 a,则其他两边分别为 2a,2a.由余弦定理,得最大角的余弦值为 cos a2+( 2a)2-(2a)2 2 α= =- . 4 2a×( 2a) 3. (2013· 上海一模)一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为 α(0°<α<45°),在海面上 向山顶的方向行进 m m 后, 测得山顶 C 的仰角为 90°-α, 则该山的高度为________m. (结 果化简)

1 答案: mtan2α 2 解析: 由题意知∠CAB=α, ∠CDB=90°-α, ∠CDA=90°+α, 且 AD=m, 则∠ACD AD AC m AC =90°-2α.由正弦定理得 = ,即 = ,即 AC= sin(90°-2α) sin(90°+α) cos2α cosα mcosα msinαcosα 1 ,所以山高 BC=ACsinα= = mtan2α. 2 cos2α cos2α AC BC AB2 4. 已知△ABC 中,AB 边上的高与 AB 边的长相等,则 + + 的最大值为 BC AC BC·AC ________. 答案:2 2 AC2+BC2+AB2 AC BC AB2 解析: + + = . BC AC BC·AC BC·AC 又 AC2+BC2=AB2+2AC· BC· cosC, ∴ 4S△ABC 2AB2 原式=2cosC+ =2cosC+ BC·AC BC·AC

2BC· AC· sinC =2cosC+ =2cosC+2sinC BC·AC π =2 2sin?C+ ?, 4? ? π ∴ 当 C= 时,最大值为 2 2. 4

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1. 某人在汽车站 M 的北偏西 20° 的方向上的 A 处(如图所示),观察到 C 处有一辆汽车 ° 沿公路向 M 站行驶, 公路的走向是 M 站的北偏东 40 .开始时, 汽车到 A 处的距离为 31 km, 汽车前进 20 km 后,到 A 处的距离缩短了 10 km.问汽车还需行驶多远,才能到达汽车站 M?

解:设汽车前进 20 km 后到达 B 处,在△ABC 中,AC=31,BC=20,AB=21,由余 AC2+BC2-AB2 23 12 3 弦定理,得 cosC= = ,则 sinC= .所以 sin∠MAC=sin(120°-C)= 31 31 2AC·BC AC· sin∠MAC 35 3 sin120°cosC-cos120°sinC= .在△MAC 中,由正弦定理,得 MC= = 62 sin∠AMC 35 3 31× 62 =35,从而有 MB=MC-BC=15 km. 3 2 答:汽车还需行驶 15 km,才能到达汽车站 M. 2. 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮 船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处, 并正以 30 海里/时的航行速度沿 正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时 与轮船相遇.

(1) 若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2) 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时, 试设计航行方案(即确定航行方向和 航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解:(1) 设相遇时小艇航行的距离为 S 海里,则 S= 900t2+400-2· 30t· 20· cos(90°-30°) 2 = 900t -600t+400 = 1 2 t- ? +300 . 900? ? 3?

1 故当 t= 时,Smin=10 3 海里, 3 10 3 此时 v= =30 3 海里/时. 1 3 即小艇以 30 3海里/时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2) 设小艇与轮船在 B 处相遇,

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600 400 则 v2t2=400+900t2-2· 20· 30t· cos(90°-30°),故 v2=900- + 2 . t t ∵ 0<v≤30, 600 400 2 3 2 ∴ 900- + 2 ≤900,即 2- ≤0,解得 t≥ . t t t t 3 2 2 又 t= 时,v=30 海里/时.故 v=30 海里/时时,t 取得最小值,且最小值等于 . 3 3 此时,在△OAB 中,有 OA=OB=AB=20 海里,故可设计航行方案如下:航行方向 为北偏东 30°,航行速度为 30 海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.

3. 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点 北偏东 45°、B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60°且 与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援 船达到 D 点需要多长时间? 解:由题意知 AB=5(3+ 3)海里,∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45° DB =45°,所以∠ADB=180°-(45°+30°)=105°.在△ADB 中,由正弦定理得 sin∠DAB = AB· sin∠DAB 5(3+ 3)· sin45° AB ,所以 DB= = sin∠ADB sin∠ADB sin105° = 5(3+ 3)· sin45° =10 3海里. sin45°cos60°+cos45°sin60°

又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30°+(90°-60°)=60°,BC=20 3海里,在△DBC 1 中,由余弦定理得 CD2=BD2+BC2-2BD· BC· cos∠DBC=300+1 200-2×10 3×20 3× 2 30 =900,所以 CD=30 海里,则需要的时间 t= =1 h.所以救援船到达 D 点需要 1 h. 30

4. 如图,半圆 O 的直径为 2,A 为直径延长线上的一点,OA=2,B 为半圆上任意一 点,以 AB 为一边作等边三角形 ABC.问:点 B 在什么位置时,四边形 OACB 面积最大? 解: 设∠AOB=α, 在△AOB 中, 由余弦定理得 AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos∠AOB =12+22-2×1×2×cosα =5-4cosα, 于是,四边形 OACB 的面积为 1 3 S=S△AOB+ S△ABC= OA·OBsinα+ AB2 2 4

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1 3 = ×2×1×sinα+ (5-4cosα) 2 4 π? 5 3 5 3 =sinα- 3cosα+ =2sin? ?α-3?+ 4 . 4 π π 5π 5π 因为 0<α<π,所以当 α- = ,α= ,即∠AOB= 时, 3 2 6 6 四边形 OACB 面积最大. 1. (1) 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的 模型. (2) 利用正、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学模型的解. (3) 应用题要注意作答. 2. (1) 测量高度时,要准确理解仰、俯角的概念. (2) 分清已知和待求,分析(画出)示意图,明确在哪个三角形中应用正、余弦定理. (3) 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形.

请使用课时训练(A)第 8 课时(见活页).

[备课札记]

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