贵州省银河中学2010届高三下学期3月月考(数学)

贵州省银河中学 2010 届高三下学期 3 月月考 数 学
2010-3 满分 150 分。考试时间 120 分钟。 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.已知 ? 是第三象限角, | cos? |? m ,且 sin

?
2

? cos

?
2

? 0 ,则 cos
D. ?

?
2

等于( )

A.

1? m 2

B. ?

1? m 2

C.

1? m 2

1? m 2

2.已知函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x, 则f ? ? A.

?? ? ? 的值为( ) ?2?
D. 1

? 2

B. 0

C. ?1

3.设 a, b, c 是空间三条直线,? , ? 是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是 ( ) A.当 c ⊥ ? 时,若 c ⊥ ? ,则 ? ∥ ? B.当 b ? ? 时,若 b ⊥ ? ,则 ? ? ? C.当 b ? ? ,且 c 是 a 在 ? 内的射影时,若 b ? c ,则 a ? b D.当 b ? ? ,且 c ? ? 时,若 c ∥ ? ,则 b ∥ c 4.不等式 | x ? 2 | ? | x ? 3|? 5 的解集是( A. (??, ?3) B. (2, ??) ) C. (?3, 2) D. (??, ?3) ? (2, ??)

? ?x ? a ,x ?0 ? 2 ? 1 5.设函数 f ( x) ? ? ? 2 , 0 ? x ? 1 在定义域内连续,则 a ? 2b ? ( ? x ?1 x ?1 ?b , x ?1 ? ?x
A.2 B.3 C.4 D.5 )

)

6.数列 {an } 满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? an ?

1 ,则 a49 =( 4

A. 575

1 4

B. 625

C. 650

1 4

D.2500

7.如图,P 为△OAB 所在平面上一点, OA ? a , OB ? b , 且 P 在线段 AB 的垂直平分线上,向量 OP ? c ,若

??? ?

?? ? ??? ?

??

??? ?
) D.

??

?? ? ?? ?? ?? ? ?? | a |? 3, | b |? 2 ,则 c ? (a ? b ) =(
A.5 B.3 C.

5 2

3 2


8.函数 y ?| 2sin 2 x ?1| 的最小正周期是( A.

? ? B. C. ? D. 2? 4 2 ? ? ? ? ? ? ? 2) , b ? ( x , 9.向量 a ? (1, 1) , c ? a ? 2b ,且 c // a ,则实数 x 的值等于(
A.2 B.)1 C.



1 2

D.

1 4


10.复数 z1 ? a ? 2i , z 2 ? 3 ? 4i ,且 A. ?

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为( z2
C. ?

3 2

B.

3 2

8 3

D.

8 3

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.设 a =(

?

? ? ? 3 1 , sin ? ), b =( cos? , ),且 a ⊥ b ,则 tan ? = 4 3

. .

12.实数 x, y 满足 x ? 2 ? 0, y ? 1 ? 0且x ? 2 y ? 2 ? 0 ,则 u ? x ? y 的最小值为

?x ? y ? 3 ? 0 ? 13.设变量 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? ?2 ? x ? 3 ?

.

14.函数 y ? log a ( x ? 3) ?1( a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx ? ny ? 2 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则

3 2 ? 的最小值为 m n

.

15.若复数 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为 z2



16.给出下列 4 个命题:①函数 f ( x) ? x | x | ?ax ? m 是奇函数的充要条件是 m=0:

②若函数 f ( x) ? lg(ax ? 1) 的定义域是 {x | x ? 1} ,则 a ? ?1 ;③若

loga 2 ? logb 2 ,

则 a>b;④圆: x 2 ? y 2 ?10x ? 4 y ? 5 ? 0 上任意点 M 关于直线 ax ? y ? 5a ? 2 的对称 点, M ? 也在该圆上.填上所有正确命题的序号是________.

三、解答题(共 6 小题,共 76 分) 17.(13 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax ? 3x . (1)若 f ( x) 在 x ?[1,+∞ ) 上是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x=3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 x ?[1,a]上的最小值和最大值.

18.(13 分)设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? a) .
2

(1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 的切线方程; (2)当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并求 f ( x ) 的单调区间.

19.(13 分)在中央电视台所举办的北京 2008 年奥运火炬手的一期选拔节目中,假定每个选手 需要进行四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘 汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率; (2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学 期望.

4 3 2 1 , , , ,且各 5 4 3 2

20.(13 分)已知 f ( x) ? x | x ? a | ?2 (a ? R) . (1)当 a ? 1 时,解不等式

f ( x) ? 0; x?3

(2)当 x ? [0,1] 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的范围.

21.(12 分)已知双曲线 x 2 ? y 2 ? 1,过右焦点 F2 的直线与右支交于 A、B 两点. (1)证明: | AF2 | ? | BF2 |? 1; (2)设 AF2 ? ? F2 B (? ? 1) ,当直线 AB 的斜率 k ?[ 5,3] 时,求 ? 的取值范围.

???? ?

???? ?

22.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? mx2 ? nx ? 2 的图象过点(-1,-6) ,且函数

g ( x) ? f ?( x) ? 6 x 的图象的对称轴为 y 轴.
(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式及它的单调递减区间; (2) 若函数 y ? f ( x) 的极小值在区间(a-1,a+1)内,求 a 的取值范围.

贵州省银河中学 2010 届高三下学期 3 月月考 数学参考答案
一、选择题 1-5 DABDA 6-10 BCBCD

二、填空题 11. ?

9 4



12.1 ; ; 15.

13. ?

3 2

14. 4 ? 2 3 三、解答题

8 3

; 16.①,④

2 17. (1) f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 ? 0 .∵ x≥1. ∴

a?

3 1 (x ? ) , 2 x

当 x≥1 时, ∴

3 1 3 ( x ? ) 是增函数,其最小值为 (1 ? 1) ? 0 . 2 x 2
a≤0.

a<0(a=0 时也符合题意) . ∴

(2) f ?(3) ? 0 ,即 27-6a-3=0, ∴ a=4.

1 f ( x) ? x3 ? 4x 2 ? 3x 有极大值点 x ? ? ,极小值点 x ? 3 . 3 1 此时 f(x)在 x ? [ ? , 3] 上时减函数,在 x ?[3 ,+ ?) 上是增函数. 3
∴ ∴ f(x)在 x ? [1, a] 上的最小值是 f (3) ? ?18 ,最大值是 f (1) ? ?6 , (因

f (a) ? f (4) ? ?12 ) .
2 18. (1) a ? 0 时, f ( x) ? x ? ln x, f ?( x) ? 2 x ?

1 x

k ? f ?(1) ? 3, f (1) ? 1
故切线方程为: y ? 1 ? 3( x ? 1) 即 y ? 3x ? 2 . (2) f ?( x) ? 2 x ?

1 3 ,由 f ?(?1) ? 0 ,得 a ? . x?a 2

从而 f ?( x) ? 2 x ?

1 x? 3 2

?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? 3 3 x? x? 2 2

3 f ( x) 定义域为 (? , ??) 2 3 3 当 x ? ( ? , ?1) 时, f ?( x) ? 0 . ( ? , ?1) 为增区间. 2 2 1 1 同理可得 ( ?1, ? ) 为减区间, (? , ??) 为增区间. 2 2
19. (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 2,3, 4) , 则 P( A1 ) ?

4 3 2 1 , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? , P( A4 ) ? . 5 4 3 2

该选手进入第四轮才被淘汰的概率:

4 3 2 1 1 P ? P( A1 A2 A3 A4 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A4 ) ? ? ? ? ? 5 4 3 2 5
(2)由题意 ? 的所有可能取值分别是 1, 2, 3, 4,且 P(? ? 1) ? P( A1 ) ?

1 , 5

4 1 1 P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 4 5 4 3 1 1 P(? ? 3) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? 5 4 3 5 4 3 2 2 P(? ? 4) ? P( A1 A2 A3 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ? ? ? ? 5 4 3 5
∴ ? 的分布列为

?
P

1

2

3

4

1 1 1 2 5 5 5 5 1 1 1 2 14 ∴ E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 5 5 5 5 f ( x) x | x ? 1| ?2 ? 0即 ?0, 20. (1) a ? 1 时, x?3 x ?3

?x ? 1 ? ? ? x2 ? x ? 2 ?0 ? ? x ?3

?x ? 1 ? 或 ? x2 ? x ? 2 ?0 ? ? x ?3
或?

?x ? 1 ?? ?( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3) ? 0

?x ? 1 ?x ? 3

? 1 ? x ? 2 或 x ? 3 或 x ? 1 ? x ? (??, 2) ? (3, ??)
(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立. 当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? 0 即 x | x ? a | ?2 ? 0

2 2 2 , 可得 x ? ? a ? x ? x x x 2 2 令 g ( x) ? x ? ( x ? (0,1]), h( x) ? x ? ( x ? (0,1]) x x | x ? a |?
则有 g ( x)max ? a ? h( x)min . 而 g ( x) ? x ?

2 单增,故 g ( x)max ? g (1) ? ?1 , x

h?( x) ? 1 ?

2 x2 ? 2 ? ? 0 , h( x) 在 (0,1] 上单减,故 h( x)min ? h(1) ? 3 , x2 x2

所以 a ? (?1.3) 21.证明:法一,当直线 AB 斜率不存在时, | AF2 |?| BF2 |? 1, 故 | AF2 | ? | BF2 |? 1 当直线 AB 斜率存在时,设 AB : y ? k ( x ? 2)

? x2 ? y2 ? 1 ? 由? 得 (k 2 ?1) x2 ? 2 2k 2 x ? 2k 2 ?1 ? 0 ? ? y ? k ( x ? 2)

? 2 ?k ? 1 ? 0 ? ? 2 2k 2 ? 0 得 k 2 ? 1 , 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 由? 2 ? k ?1 ? 2k 2 ? 1 ?0 ? 2 ? k ?1
则 | AF2 | ? | BF2 |? (ex1 ? a) ? (ex2 ? a) ? ( 2x1 ?1)( 2x2 ?1)

? 2x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ?1
? 2 ?1 ? 1 k ?1
2

所以 | AF2 | ? | BF2 |? 1. 法二:如图 不妨设 | AF2 |? m, | AF2 |? n, m ? n . 则 | AA1 |?

2 2 2 m, | BB1 |? n, | PF2 |? , 2 2 2



| BF2 | | NF2 | 得 ? | AB | | MA |

2 2 ? n n 2 2 ? 即 2mn ? m ? n m?n 2 2 m? n 2 2
由 2mn ? m ? n ? 2 mn ,得 mn ? 1 ∵ m?n ∴ mn ? 1 . 当 AB ?

x 轴时, mn ? 1

(2) AF2 ? ? F2 B ? ?

???? ?

???? ?

? 2 ? x1 ? ? ( x2 ? 2) ? ? ? y1 ? ?? y2

设 AB : x ? ty ? 2 ,代入双曲线得

(t 2 ?1) y2 ? 2 2ty ? 1 ? 0 ,
? 2 2t y ?y ? ? (1 ? ? ) y2 ? ? 1 2 1? t2 从而 ? ? y y ? 1 ? ?? y 2 1 2 2 ? t 2 ?1 ?
(1 ? ? ) 2

(1) (2)

(1)2 得 (2)

?

8t 2 8 8 ? ? ? ? 2 ? 2 1 ? 1? t ( )2 ? 1 k ? 1 ? t ? 5 ? k 2 ? 9? ?

?? 2 ? 3? ? 1 ? 0 3? 5 ? ?? 2 ? ? ?[ , 2 ? 3] . 2 ? ? 4 ? ? 1 ? 0 ? ?
22.(1)点(-1,-6)代入,得 m ? n ? ?3

g(x)= f ?( x) +6x=3x2+2mx+n+6x=3x2+(2m+6)x+n

?

2m ? 6 ? 0 ,得 m ? ?3 ,n=0. 2?3

f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)<0,得 0<x<2,
故 f(x)的单调递减区间是(0,2) (2) x=2 时, y=f(x)有极小值 f (2) ? ?6 a-1<-6,且 a+1>-6 得-7<a<-5.


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