高等代数期末卷及答案

沈阳农业大学理学院第一学期期末考试

《高等代数》试卷(1)

题号













得分 一、 填空(共 35 分,每题 5 分)

1.设 f (x) ? x4 ? x2 ? 4x ? 9 ,则 f (?3) ? 69_..



总分

得分

2.当 t ? _2,-2.时, f (x) ? x3 ? 3x ? t 有重因式。

3.令 f (x) , g(x) 是两个多项式,且 f (x3 ) ? xg(x3 ) 被 x2 ? x ?1整除,则

f (1) ? 0_, g(1) ? _0.

3 1 02

?1 0 6 2

4.行列式

? 23。

1 0 11

?3 ?2 0 1

?4 1 0?

5.矩阵的积

?1

? ?

2

0 1

3 0

?1?

2

? ?

? ? ? ? ?

?1 2 1

1 0 3

3 1

? ? ?

?

4

? ?

?9

? ?

9

?2 9

?1?

11

? ?



?1

?5

6.

? ?

0

0 3

0

?1
?

1

? ?

?

? ? ?

5 0

0 1

0

? ?

? ?1?

?? 0 2 1 ??

? ?

0

?2

3

? ?

?

?

7.

???2xx11??2xx22??22xx33??2xx44

?0 ?0

的一般解为

?? x1 ? x2 ? 4x3 ? 3x4 ? 0

? ??

x1

? 2x3

?

5 3

x4

?

? ??

x2

?

?2x3

?

4 3

x4

,

x3 ,

x4

任意取值。

班级:学号:姓名: 装订线

二、(10 分)令 f (x) , g(x) 是两个多项式。求证 ( f (x), g(x)) ? 1当且仅当 得分

( f (x) ? g(x), f (x)g(x)) ?1。

证:必要性.设 ( f (x) ? g(x), f (x)g(x)) ? 1。(1%)

令 p(x) 为 f (x) ? g(x), f (x)g(x) 的不可约公因式,(1%)则由 p(x) | f (x)g(x) 知

p(x) | f (x) 或 p(x) | g(x) 。(1%)

不妨设 p(x) | f (x) ,再由 p(x) | ( f (x) ? g(x)) 得 p(x) | g(x) 。故 p(x) |1 矛盾。(2%)

充分性.由 ( f (x) ? g(x), f (x)g(x)) ?1知存在多项式 u(x), v(x) 使

u(x)( f (x) ? g(x)) ? v(x) f (x)g(x) ?1 ,(2%)

从而 u(x) f (x) ? g(x)(u(x) ? v(x) f (x)) ? 1,(2%)

故 ( f (x), g(x)) ? 1。(1%)

三、(16 分) a, b 取何值时,线性方程组
有唯一解、没有解、有无穷解?在有解情况下求其解。 解:

得分

?a b 2 1 ? ?a b 2 1 ?

? ?

a

2b ?1

3

1

? ?

?

? ?

0

b ?1

1

0

? ?

?? a b b ? 3 2b ?1?? ?? 0 0 b ?1 2b ? 2?? (5%)

?a 2?b 0 1 ?

?

? ???

0 0

b ?1 0

1 b ?1

0 2b ?

2

? ???

当 a(b2

?1)

?

0

时,有唯一解:

x1

?

5?b a(b ?1)

,x2

?

?2 , b+1

x3

?

2b ? 2;(4%) b ?1

当 b ?1时,有无穷解: x3 ? 0, x2 ? 1? ax1, x1 任意取值;



a

?

0, b

?

5

时,有无穷解:

x1

?

k,

x2

?

?

1 3

,

x3

?

4 3

,k

任意取值;(3%)

当 b ? ?1或 a ? 0 且 b ? ?1且 b ? 5 时,无解。(4%)

四、(10 分)设 a1, a2 ,..., an 都是非零实数,证明

得分

证:对

n

用数学归纳法。当

n=1

时,

D1

?

1?

a1

?

a1 (1 ?

1 a1

)

,结论成立(2%);

假设 n-1 时成立。则 n 时

1? a1 1

1 ... 1 1 1? a1 1

1 ... 1 0

1 1? a2 1 ... 1 1 1 1? a2 1 ... 1 0

Dn = 1

1 1? a3 ... 1 1 ? 1

1 1? a3 ... 1 0

.. .. .. ... .. .. .. .. .. ... .. ..

1

1

1 ... 1 1 1

1

1 ... 1 an

= a1a2...an?1 ? an Dn?1 (4%)

? 现由归纳假设

Dn?1

?

a1a2 ...an ?1

? ?1? ?

n?1 i ?1

1 ai

? ? ?



? Dn

= a1a2...an?1

?

an Dn?1 = a1a2...an?1

?

a1a2 ...an ?1an

? ?1? ?

n?1 i ?1

1 ai

? ? ?

? = a1a2...an?1an

? ?1? ?

n i ?1

1 ai

? ? ,(3%) ?

故由归纳原理结论成立。(1%)

五、(10 分)证明 f (x) ? x4 ?1 在有理数域上不可约。
得分
证:令 x ? y ?1得(1%)

g( y) ? f (x) ? y4 ? 4 y3 ? 6 y2 ? 4 y ? 2 。(3%)
取素数 p=2 满足
2 | 2, 2 | 4, 2 | 6, 2 | 4, 且 2 不整除 1,4 不整除 2.(2%)

再据艾茵斯坦茵判别法知 g( y) ? y4 ? 4 y3 ? 6 y2 ? 4 y ? 2 在有理数域上不可约,(2%)

从而 f (x) ? x4 ?1 在有理数域上不可约(2%)

六、(9 分)令 A 为数域 F 上秩为 r 的 m ? n 矩阵, r ? 0 。求证:存在秩

得分

为 r 的 m ? r 矩阵 F 和秩为 r 的 r ? n 矩阵 G ,使得 A ? FG 。

证: A 为数域 F 上秩为 r 的 m ? n 矩阵, r ? 0 ,则存在 m ? m 可逆阵 P 和 n ? n 可逆阵 Q 使

进而令

A

?

P

? ? ?

Ir 0

0 0

? ? ?

Q

.(3%)

F

?

P

? ? ?

Ir 0

? ?

,

G

?

?

?

Ir

就得 A ? FG (2%)
.

0?Q (4%)

七、(10 分)设 A , B 是 n ? n 矩阵,且 A? B , A ? B 可逆。求证 2n? 2n 矩阵

得分

P

?

? ? ?

A B

B A

? ? ?

可逆,且求

P

?1



证:

A B A?B B A?B B

| P |?

?

?

?| A ? B || A ? B |? 0,

B A B? A A 0 A?B

故 P 可逆(5%)



P?1

?

? ? ?

X T

Y S

? ? ?



?A

? ?

B

B?? X

A??

? ?

T

Y S

? ? ?

?

? ? ?

In 0

0 In

? ? ?

.(1%)

进而

? AX

?? AY

? ?

BX

? BT ? BS ? AT

? In ?0 ?0

(1%),解得

? ?

X

?

? ?

Y

?

? ?

1 2

??(

A

?

B)

?1

1 2

??(

A

?

B)?1

? ( A ? B)?1 ?? ? ( A ? B)?1 ??

(3%)

?? BY ? AS ? In

?

T ?Y

??

S?X


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