广东省广州市执信中学高三数学上学期期中试卷理(含解析)

广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷( 理科) 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A. {1,2} B. {x|x≤1} C. {﹣1,0,1} D. R 2. (5 分)下列说法正确的是() 2 2 A. 命题“若 x =1,则 x=1”的否命题为“若 x =1,则 x≠1” 2 2 B. 命题“? x≥0,x +x﹣1<0”的否定是“? x0<0,x0 +x0﹣1≥0” C. 命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为假命题 D. 若“p∨q”为真命题,则 p,q 中至少有一个为真命题 3. (5 分)设{an}为等差数列,公差 d=﹣2,sn 为其前 n 项和,若 S10=S11,则 a1=() A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 4. (5 分)将正方体(如图 1 所示)截去两个三棱锥,得到图 2 所示的几何体,则该几何体的 左视图为() A. B. C. D. 5. (5 分)在△ABC 中,已知 AB=4 A. B. 6. (5 分)设曲线 A. 2 B. C. 或 ,则△ABC 的面积是() D. 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=() C. D. ﹣2 7. (5 分)在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且 ,则 A. (﹣2,7) =() B. (﹣6,21) ,点 Q 是 AC 的中点,若 , C. (2,﹣7) D. (6,﹣21) -1- 8. (5 分)已知函数 f(x)= ,把函数 g(x)=f(x)﹣x 的零点 按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为() A. B. an=n﹣1 C. an=n(n﹣1) D. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9. (5 分)已知复数 a+bi=i(1﹣i) (其中 a,b∈R,i 是虚数单位) ,则 a+b 的值为. 10. (5 分)若 ,则常数 T 的值为. 11. (5 分)设 x,y 满足约束条件 ,则 z=2x+y 的最大值是. 12. (5 分)已知( + ) 的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数比为 56:3,则 n=. n 13. (5 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 为椭圆 E: + =1 (a>b>0)的左顶 点,B,C 在椭圆 E 上,若四边形 OABC 为平行四边形,且∠OAB=30°,则椭圆 E 的离心率等于. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (5 分)在极坐标系中,曲线 ρ =cosθ +1 与 ρ cosθ =1 的公共点到极点的距离为. 15. (5 分) (几何证明选做题)如图,已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F,E 是 AB 延长线上 一点,且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为. -2- 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (13 分)已知函数 f(x)=( sinx+cosx)cosx﹣ . (Ⅰ)用五点作图法列表,作出函数 f(x)在 x∈[0,π ]上的图象简图; (Ⅱ)若 f( + )= ,﹣ <a<0,求 sin(2a﹣ )的值. 17. (14 分)在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,已知 AB=AC=AA1= ,BC=4,A1 在底面 ABC 的射影是线 段 BC 的中点 O. (Ⅰ)证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E,使得 OE⊥平面 BB1C1C,并求出 AE 的长; (Ⅱ)求二面角 A1﹣B1C﹣C1 的余弦值. 18. (14 分)袋中装着标有数字 1、2、3、4、5 的小球各 2 个,从袋中任取 3 个小球,每个小 球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求: (1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率; (2)随机变量 ξ 的概率分布列和数学期望. 19. (12 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x +2x 的图象上,其中 n=1,2,3,… (1)证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2)设 Tn=(1+a1)?(1+a2)…(1+an) ,求 Tn 及数列{an}的通项; (3)记 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 2 20. (13 分)已知椭圆 C1 的离心率为 e= 2 2 2 ,过 C1 的左焦点 F1 的直线 l:x﹣y+2=0 被圆 C2: (x . ﹣3) +(y﹣3) =r (r>0)截得的弦长为 2 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设 C1 的右焦点为 F2,在圆 C2 上是否存在点 P,满足|PF1|= 这样的点(不必求出点的坐标) ;若不存在,说明理由. |PF2|,若存在,指出有几个 21. (14 分)设函数 . -3- (1)当 k=1 时,判断函数 f(x)的单调性,并加以证明; (2)当 k=0 时,求证:f(x)>0 对一切 x>0 恒成立; (3)若 k<0,且 k 为常数,求证:f(x)的极小值是一个与 a 无关的常数. 广东省广州市执信中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若集合 A={x|x≥0},且 A∩B=B,则集合 B 可能是() A. {1,2} B. {x|x≤1} C. {﹣1,0,1} D. R

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