阳明区第一高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

精选高中模拟试卷

阳明区第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 一、选择题
1. 函数 y=sin(2x+ A.x=﹣ B.x=﹣ )图象的一条对称轴方程为( C.x= D.x= ) )

姓名__________

分数__________

2. 函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=ex 关于 y 轴对称,则 f(x)=( A.e
x+1

B.ex﹣1

C.e

﹣x+1

D.e﹣x﹣1

3. 已知定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(1)=3,且 f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)<2(x∈R), 则不等式 f(x)<2x+1 的解集为( A.(1,+∞) B.(﹣∞,﹣1) ) C.(﹣1,1) D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)

4. 全称命题:?x∈R,x2>0 的否定是( A.?x∈R,x ≤0
2

) C.?x∈R,x2<0 D.?x∈R,x2≤0

B.?x∈R,x >0

2

5. 已知数列 ?an ? 是各项为正数的等比数列,点 M (2,log2 a2 ) 、 N (5,log2 a5 ) 都在直线 y ? x ? 1 上,则数列

?an ? 的前 n 项和为(
A. 2 ? 2
n


n ?1

B. 2

?2

C. 2 ? 1
n

D. 2

n ?1

?1

6. 某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为 1,顶角为 ? 的四个等腰三角形,及其底边构成的正 方形所组成,该八边形的面积为( )

A. 2sin ? ? 2 cos ? ? 2 C. 3sin ? ? 3 cos ? ? 1

B. sin ? ? 3 cos ? ? 3 D. 2sin ? ? cos ? ? 1 ,

7. 两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是球面面积的 则这两个圆锥的体积之比为( ) A.2:1 B.5:2 C.1:4 D.3:1

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8. 在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 底面是边长为 2 的正方形, 高为 4, 则点 A1 到截面 AB1D1 的距离是 ( A. B. C. D. )



9. 若函数 f(x)的定义域为 R,则“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.已知函数 f(x)满足:x≥4,则 f(x)= A. B. C. D.

;当 x<4 时 f(x)=f(x+1),则 f(2+log23)=(



11.已知三棱锥 A﹣BCO,OA、OB、OC 两两垂直且长度均为 6,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界),则 MN 的中点 P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的 体积为( )

A.

B.

或 36+

C.36﹣

D.

或 36﹣ ) C. ?

12. cos80? cos130? ? sin100? sin130? 等于( A.
3 2

B.

1 2

1 2

D. ?

3 2

二、填空题
13.【泰州中学 2018 届高三 10 月月考】设函数 f ? ? x ? 是奇函数 f ? x ? 的导函数, f ? ?1? ? 0 ,当 x ? 0 时,

xf ? ? x ? ? f ? x ? ? 0 ,则使得 f ? x ? ? 0 成立的 x 的取值范围是__________.
14.如果直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行.那么 a 等于
2



15. 【2017-2018 第一学期东台安丰中学高三第一次月考】 函数 f ? x ? ? lnx ? x 的单调递增区间为__________. 16.已知数列 的前 项和是 . . , 则数列的通项 __________

17.函数 y=lgx 的定义域为 18.复数 z=

(i 虚数单位)在复平面上对应的点到原点的距离为

三、解答题

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19. 【2017-2018 学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知二次函数 f ? x ? 为偶函数且图象经过原点, 其导函数 f ' ? x ? 的图象过点 ?1, 2? . (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)设函数 g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ,其中 m 为常数,求函数 g ? x ? 的最小值.

20.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a , (a ? R) . (Ⅰ)若当 0 ? x ? 4 时, f ( x) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 3 时,求证: f ( x ? a) ? f ( x ? a) ? f (ax) ? af ( x) .

21.设函数 f(x)=ax2+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线 x﹣6y﹣7=0 垂直, 导函数 f′(x)的最小值为﹣12. (1)求 a,b,c 的值; (2)求函数 f(x)的单调递增区间,并求函数 f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值.

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22.某小区在一次对 20 岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了 100 份问卷进行统计,得到相关的数 据如下表: 20 至 50 岁 大于 50 岁 总计 节能意识弱 节能意识强 45 9 10 55 36 45 总计 54 46 100

(1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关? (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有 350 人,估计这 350 人中,年龄大于 50 岁的有多少人? (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽 5 人,再从这 5 人中任取 2 人,求恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁的概率.

23.如图,点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). (I)若∠AOB=α,求 cosα+sinα 的值; (II)设点 P 为单位圆上的一个动点,点 Q 满足 的最大值. = + .若∠AOP=2θ, 表示| |,并求| |

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24.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE 2 ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: ?EDF ? ?P ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.

【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识,意在考查逻辑推理能力.

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阳明区第一高级中学 2018-2019 学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案) 一、选择题
1. 【答案】A 【解析】解:对于函数 y=sin(2x+ ),令 2x+ =kπ+ ,k∈z,

求得 x= π,可得它的图象的对称轴方程为 x= π,k∈z, 故选:A. 【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性,属于基础题. 2. 【答案】D 【解析】解:函数 y=e 的图象关于 y 轴对称的图象的函数解析式为 y=e﹣ , 而函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 的图象关于 y 轴对称, 所以函数 f(x)的解析式为 y=e﹣( 故选 D. 3. 【答案】A 【解析】解:令 F(x)=f(x)﹣2x﹣1, 则 F′(x)=f′(x)﹣2, 又∵f(x)的导数 f′(x)在 R 上恒有 f′(x)<2, ∴F′(x)=f′(x)﹣2<0 恒成立, ∴F(x)=f(x)﹣2x﹣1 是 R 上的减函数, 又∵F(1)=f(1)﹣2﹣1=0, ∴当 x>1 时,F(x)<F(1)=0,即 f(x)﹣2x﹣1<0, 即不等式 f(x)<2x+1 的解集为(1,+∞); 故选 A. 【点评】本题考查了导数的综合应用及利用函数求解不等式的方法应用,属于中档题. 4. 【答案】D
2 【解析】解:命题:?x∈R,x >0 的否定是: 2 ?x∈R,x ≤0. x+1) x x x

=e﹣x﹣1.即 f(x)=e﹣x﹣1.

故选 D.

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【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词,或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意 量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”,而不是“都不是”.特称命题的否定是全称命题,“存在”对应“任 意”. 5. 【答案】C 【解析】解析:本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式. log 2 a2 ? 1 , log 2 a5 ? 4 ,∴ a2 ? 2 , a5 ? 16 , ∴ a1 ? 1 , q ? 2 ,数列 ?an ? 的前 n 项和为 2 ? 1 ,选 C.
n

6. 【答案】A 【解析】 试题分析:利用余弦定理求出正方形面积 S1 ? 12 ? 12 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ;利用三角形知识得出四个等 腰三角形面积 S 2 ? 4 ? 确答案为 A. 考点:余弦定理和三角形面积的求解. 【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目,掌握正余弦定理是解题的关键;首先根据三角

?

?

1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? 2 sin ? ; 故八边形面积 S ? S1 ? S 2 ? 2 sin ? ? 2 cos? ? 2 .故本题正 2

1 1 ? 1 ? 1 ? sin ? ? sin ? 求出个三角形的面积 4 S ? 2 sin ? ;接下来利用余弦定理可求出正 2 2 2 2 方形的边长的平方 1 ? 1 - 2 cos? ,进而得到正方形的面积 S1 ? 12 ? 12 - 2 cos? ? 2 ? 2 cos? ,最后得到
形面积公式 S ?

?

?

?

?

答案. 7. 【答案】D
2 【解析】解:设球的半径为 R,圆锥底面的半径为 r,则 πr =

×4πR2= .

,∴r=



∴球心到圆锥底面的距离为 ∴两个圆锥的体积比为 : 故选:D. 8. 【答案】C

= .∴圆锥的高分别为 和 =1:3.

【解析】解:如图,设 A1C1∩B1D1=O1,∵B1D1⊥A1O1,B1D1⊥AA1,∴B1D1⊥平面 AA1O1, 故平面 AA1O1⊥面 AB1D1,交线为 AO1,在面 AA1O1 内过 B1 作 B1H⊥AO1 于 H, 则易知 A1H 的长即是点 A1 到截面 AB1D1 的距离,在 Rt△A1O1A 中,A1O1= AO1=3 故选:C. ,由 A1O1?A1A=h?AO1,可得 A1H= , ,

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【点评】本题主要考查了点到平面的距离,同时考查空间想象能力、推理与论证的能力,属于基础题. 9. 【答案】A 【解析】解:由奇函数的定义可知:若 f(x)为奇函数, 则任意 x 都有 f(﹣x)=﹣f(x),取 x=0,可得 f(0)=0; 而仅由 f(0)=0 不能推得 f(x)为奇函数,比如 f(x)=x , 显然满足 f(0)=0,但 f(x)为偶函数. 由充要条件的定义可得:“函数 f(x)是奇函数”是“f(0)=0””的充分不必要条件. 故选:A. 10.【答案】A 【解析】解:∵3<2+log23<4,所以 f(2+log23)=f(3+log23) 且 3+log23>4 ∴f(2+log23)=f(3+log23) = 故选 A. 11.【答案】D 【解析】 【分析】由于长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动,另一个端点 N 在△BCO 内运动(含边界), 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,故 MN 的中点 P 的轨迹与三棱 锥的面所围成的几何体的体积,利用体积分割及球体的体积公式即可. 【解答】 解: 因为长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在棱 OA 上运动, 另一个端点 N 在△BCO 内运动 (含边界) , 有空间想象能力可知 MN 的中点 P 的轨迹为以 O 为球心,以 1 为半径的球体,则 MN 的中点 P 的轨迹与 三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的 或该三棱锥减去此球体的 ,即: . 故选 D 12.【答案】D 或
2

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【解析】 试题分析:原式 ? cos80? cos130? ? sin80? sin130? ? cos ?80? ? 130?? ? cos 210? ? cos ?30? ? 180?? ? ? cos30?
?? 3 . 2

考点:余弦的两角和公式.

二、填空题
13.【答案】 ? ??, ?1? ? ? 0,1?

【解析】 14.【答案】 .

【解析】解:∵直线 3ax+y﹣1=0 与直线(1﹣2a)x+ay+1=0 平行, ∴3aa=1(1﹣2a),解得 a=﹣1 或 a= , 经检验当 a=﹣1 时,两直线重合,应舍去 故答案为: . 【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系,属基础题. 15.【答案】 ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

【解析】 16.【答案】 【解析】 当 时,
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时,



两式相减得: 令 得 ,所以

答案: 17.【答案】 {x|x>0} .

【解析】解:对数函数 y=lgx 的定义域为:{x|x>0}. 故答案为:{x|x>0}. 【点评】本题考查基本函数的定义域的求法. 18.【答案】 【解析】解:复数 z= 复数 z= 故答案为: . =﹣i(1+i)=1﹣i, .

(i 虚数单位)在复平面上对应的点(1,﹣1)到原点的距离为: .

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,复数的几何意义,考查计算能力.

三、解答题
19.【答案】(1) f ? x ? ? x ;(2) m ? 1
2

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【解析】

(2)

m , 2 2 据题意, g ? x ? ? f ? x ? ? f ' ? x ? ? m ? x ? 2 x ? m ,即 g ? x ? ? { m x 2 ? 2 x ? m, x? , 2 m m 2 m? ? 2 ①若 ? ?1 ,即 m ? ?2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, ? 上 2 2 2? ? m 2 ?m ? 2 单调递减;当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? 1? 上单调递减,在 2 ?2 ? x 2 ? 2 x ? m, x?

? ?? 上单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 g ? ?1? ? ?m ?1. ? ?1,

m m m? 2 ? ? 1 ,即 ?2 ? m ? 2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, ? 上单调递减; 2 2 2? ? m 2 ?m ? 当x? 时, g ? x ? ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? ? ? 上单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 2 ?2 ?
②若 ?1 ?
2 ?m? m g? ? ? . ?2? 4 m m 2 2 ③若 ? 1 ,即 m ? 2 ,当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? ??, 1? 上单调递 2 2 m 2 ? m? ?m ? 2 减,在 ? 1, ? 上单调递增;当 x ? 时, g ? x ? ? x ? 2 x ? m ? ? x ? 1? ? m ? 1 ,故 g ? x ? 在 ? , ? ?? 上 2 ? 2? ?2 ? 单调递增,故 g ? x ? 的最小值为 g ?1? ? m ?1 .

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综上所述,当 m ? ?2 时, g ? x ? 的最小值为 ? m ? 1 ;当 ?2 ? m ? 2 时, g ? x ? 的最小值为

g ? x ? 的最小值为 m ? 1 .
20.【答案】

m2 ;当 m ? 2 时, 4

【解析】【解析】(Ⅰ) x ? a ? f ( x) ? 2 得, a ? 2 ? x ? a ? 2 由题意得 ?

(Ⅱ)? 0 ? a ? 3 ,? ?1 ? a ? 1 ? 2 ,? a ? 1 ? 2 ,

?a ? 2 ? 0 ,故 2 ? a ? 2 ,所以 a ? 2 …… 5 分 ?4 ? a ? 2

f ? ax ? ? af ? x ? ? ax ? a ? a x ? a ? ax ? a ? ax ? a 2 ? ? ax ? a ? ? ax ? a 2 ? a 2 ? a ? a a ? 1 ? 2a

?

?

? f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ? x ? 2 a ? x ? ? x ? 2a ? ? x ? 2a ? 2a ,

? f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ? f ? ax ? ? af ? x ? .……
21.【答案】 【解析】解:(1)∵f(x)为奇函数,

10 分

3 3 ∴f(﹣x)=﹣f(x),即﹣ax ﹣bx+c=﹣ax ﹣bx﹣c,∴c=0. 2 ∵f′(x)=3ax +b 的最小值为﹣12,∴b=﹣12.

又直线 x﹣6y﹣7=0 的斜率为 ,则 f′(1)=3a+b=﹣6,得 a=2, ∴a=2,b=﹣12,c=0;
3 2 (2)由(1)知 f(x)=2x ﹣12x,∴f′(x)=6x ﹣12=6(x+

)(x﹣

), ( ,+∞) + 增

列表如下: x f′(x) f(x)

(﹣∞,﹣ ) + 增 )=﹣8

﹣ 0 极大 ,f(3)=18,

(﹣ ) ﹣ 减 )和(

, 0 极小 ,+∞). )=﹣8 .

所以函数 f(x)的单调增区间是(﹣∞,﹣ ∵f(﹣1)=10,f(

∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是 f(3)=18,最小值是 f( 22.【答案】

【解析】解(1)因为 20 至 50 岁的 54 人有 9 人节能意识强,大于 50 岁的 46 人有 36 人节能意识强, 相差较大,所以节能意识强弱与年龄有关



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(2)由数据可估计在节能意识强的人中,年龄大于 50 岁的概率约为 ∴年龄大于 50 岁的约有 (人) (人),

(3)抽取节能意识强的 5 人中,年龄在 20 至 50 岁的

年龄大于 50 岁的 5﹣1=4 人,记这 5 人分别为 a,B1,B2,B3,B4. 从这 5 人中任取 2 人,共有 10 种不同取法:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4),(B1,B2), (B1,B3),(B1,B4),(B2,B3),(B2,B4),(B3,B4), 设 A 表示随机事件“这 5 人中任取 2 人,恰有 1 人年龄在 20 至 50 岁”, 则 A 中的基本事件有 4 种:(a,B1),(a,B2),(a,B3),(a,B4) 故所求概率为 23.【答案】 【解析】 解:(Ⅰ)点 A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点,B(﹣ , ). 可得 sinα= ,cosα= ,∴cosα+sinα= . = =(1+cos2θ,sin2θ), =2|cosθ|,因为 ,

(Ⅱ)因为 P(cos2θ,sin2θ),A(1,0)所以 所以 所以 | = =2|cosθ|∈ . , =

|的最大值

【点评】本题考查三角函数的定义的应用,三角函数最值的求法,考查计算能力. 24.【答案】 【解析】(Ⅰ)∵ DE 2 ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………2 分 又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?EDF ? ?P ,又 ?DEF ? ?PEA ,∴ ?EDF ∽ ?EPA ,

EA EP ? ,∴ EA ? ED ? EF ? EP ,又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP . EF ED 27 9 ∵ DE 2 ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ,∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ,∴ BE ? 3 ,解得 EP ? . 4 2 15 ∴ BP ? EP ? EB ? .∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA2 ? PB ? PC 4


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∴ PA 2 ?

15 27 9 15 3 ? ( ? ) ,解得 PA ? .……………………10 分 4 4 2 4

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