人教版数学必修一函数的零点课件_图文

吴忠高级中学 余越

思考:一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y= ax2 +b x+c=0(a≠0)的图象有什么关系?
方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 .
y
2 1
-1 -2

x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 .y
2

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

.
1 2

.

.
x
-1

. -1 0
-3 -4

.

3

x
-1

1

.

0

1

.

.
2

3 2 1

.

5 4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

结论:方程的根就是相应函数图像与x轴交点的横坐标

思考:一元二次方程ax2 +bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y= ax2 +bx+c=0(a≠0)的图象有什么关系?
判别式△ =b2-4ac
方程ax2 +bx+c=0 (a>0)的根

△>0

△=0

△<0 没有实数根
y

两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
y y

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

x1

0

x2

x
0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

结论:二次函数图象与x轴交点的横坐标就是相应方程的 实数根。

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
注:零点不是一 个点,而是一个 实数。

辨析练习:函数y=x2-2x-3的零点是:( D) A (-1,0),(3,0) B x=-1; C x=3 D -1和3.

等价关系: 方程f (x)=0有实数根

函数y=f (x)的图象与x轴有交点
函数y=f (x)有零点

例1:求函数f(x)=2x-1的零点。
解:令f(x)=2x-1=0 则x=0 ∴函数f(x)=2x-1的零点为0

变式训练1:若函数f(x)=ax+2有一个零点为1,则a等于多少?

零点存在性的探索
观察一次函数f(x)=x+1的图 象 【-2,2】,f(-2) 0, f(2) 0,f(-2)f(2) 0

零点存在性的探索
观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象
(1) [-2,1], f(-2) < 0 f(1) > 0 , f(-2)· f(1) < 0 (-2,1),x=-1 , x2-2x-3=0 的一个根

y
5 4 3 2 1

-2-1 -1 o 1 2 3 4 5 x -2 (2) [2,4] f(2)< 0 f(4) > 0 f(2)· f(4) < 0 -3 (2,4)x=3 x2-2x-3=0的另一个根 -4

由此总结出:
如果函数y=f(x)在区间【a,b】上的图象是连 续不断地一条曲线,并且有f(a)f(b)<0,那么,函 数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈ (a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。

例2:判断下列函数在给定区间上是否存在零点 ①f(x)=x2-3x-18,x ∈[1,8];②:f(x)=x3-x-1,x ∈[1,2] 解:①因为 f(1)=-20<0 f(8)=22>0 即 f(1)f(8)<0 所以 函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]内存在零点 ②因为 f(1)=-1<0 f(2)=5>0 即 f(1)f(2)<0 所以函数f(x)=x3-x-1在区间[1,2]内存在零点

探究:函数图象是否必须满足连续不断这一条件

Y

函数图象是连续 不断的

Y

a
0

a
b
X 0

b

X





思考1:如果满足定理的 前两个条件,那么是否 可以确定在区间[a,b] 内 只有一个零点存在
该定理只能说 明零点存在但 不能确定零点 的个数。

思考2:如果函数在区间 (a,b)内存在零点,是 否有f(a)f(b)<0成立

Y

Y

逆定理不 成立

a
0

b

X

a

0

b

X





课堂小结
(1)函数零点的概念; (2)方程的根与函数的零点; (3)函数零点的存在性定理; (4)函数的零点判断方法 ①方程法 ②图象法 ③定理法

作业:P92 练习 2


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