(浙江专版)19版高考数学一轮复习第七章立体几何学案

第七章 立体几何 第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 1.简单几何体 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 侧棱 形状 互相平行且相等 平行且相等 平行四边形 多边形 相交于一点,但不一定 相等 三角形 互相平行 延长线交于一点侧面 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等, 垂直于底面 全等的矩形 矩形 相交于一点 全等的等腰三角 形 扇形 延长线交于一点 轴截面 侧面展开图 全等的等腰梯形 扇环 圆 2.直观图 (1)画法:常用斜二测画法. (2)规则: ①原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直, 直观图中, x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135°), z′轴与 x′轴和 y′轴所在平面垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段 1 在直观图中保持原长度不变,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图,分别是从几何体的正前方、正左方、 正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正,高平齐,宽相等. ②画法规则:正侧一样高,正俯一样长,侧俯一样宽;看不到的线画虚线. [小题体验] 1.若一个三棱柱的三视图如图所示,其俯视图为正三角形,则这个三棱柱的高和底面边 长分别为( ) A.2,2 3 C.4,2 B.2 2,2 D.2,4 解析:选 D 由三视图可知,正三棱柱的高为 2,底面正三角形的高为 2 3,故底面边 长为 4,故选 D. 2.(教材习题改编)如图,长方体 ABCD ?A′B′C′D′被截去一部分,其中 EH∥A′D′, 则剩下的几何体是________,截去的几何体是______. 答案:五棱柱 三棱柱 1.台体可以看成是由锥体截得的,易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 3.对于简单组合体,若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分界线,在三视图 中,易忽视实虚线的画法. [小题纠偏] 1.如图,能推断这个几何体可能是三棱台的是( A.A1B1=2,AB=3,B1C1=3,BC=4 ) 2 3 B.A1B1=1, AB=2,B1C1= ,BC=3,A1C1=2,AC=3 2 3 C.A1B1=1,AB=2,B1C1= ,BC=3,A1C1=2,AC=4 2 D.AB=A1B1,BC=B1C1,CA=C1A1 解析:选 C 根据棱台是由棱锥截成的,可知 A1B1 B1C1 A1C1 = = ,故 A,B 不正确,C 正确; AB BC AC D 项中满足这个条件的是一个三棱柱,不是三棱台,故 D 不正确. 2.用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是( ) 解析:选 B 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆,所以内圆是虚线,故选 B. 3.(教材习题改编)利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图一定是三角形; ②正方形的直观图一定是菱形; ③等腰梯形的直观图可以是平行四边形; ④菱形的直观图一定是菱形. 以上结论正确的个数是________. 解析:由斜二测画法的规则可知①正确;②错误,是一般的平行四边形;③错误,等腰 梯形的直观图不可能是平行四边形;而菱形的直观图也不一定是菱形,④也错误. 答案:1 考点一 空间几何体的结构特征 基础送分型考点——自主练透 [题组练透] 1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( A.圆柱 C.球体 B.圆锥 D.圆柱、圆锥、球体的组合体 ) 解析:选 C 截面是任意的且都是圆面,则该几何体为球体. 2.给出下列几个命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②底面为正 多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱;③棱台的上、下底面可以不相似, 3 但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 ) 解析:选 B ①不一定,只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②正确;③错误,棱 台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定 相等. 3.给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ③在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ④存在每个面都是直角三角形的四面体. 其中正确命题的序号是________. 解析:①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边 形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三个侧 面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个过相对侧 棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如图,正方体 ABCD?A1B1C1D1 中的三棱锥 C1?ABC,四个面都是直角三角形. 答案:②③④ [谨记通法] 解决与空间几何体结构特征有关问题的 3 个技巧 (1)把握几何体的结构特征,要多观察实物,提高空间想象能力; (2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型; (3)通过反例对结构特征进行辨析. 考点二 空间几何体的三视图 重点保分型考点——师生共研 [典例引领] 1.(2018·东北四市联考)如图,在正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,P 是线段 CD 的中点,则三 棱锥 P?A1B1A 的侧视图为( ) 4 解析:选 D 如图,画出原正方体的侧视图,显然对于三棱锥 P?A1B1A,B(C)点均消失了, 其余各点均在,从而其侧视图为 D. 2. (2018·杭州模拟)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示, 俯视图是边长为 2 的正三 角形,那么该三棱锥的侧视图可

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