浙江省嘉兴市第一中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题

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命题:沈微微 周赛君 审题:钟坚毅 满分[ 150]分 ,时间[120]分钟 2013 年 11 月 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? ?x ? N | 0 ? x ? 5? , ?A B ? ?1,3,5? ,则集合 B ? ( ▲ ) A. ?2,4? B. ?0,2,4? C. ?0,1,3? D. ?2,3,4?

2 的虚部为( ▲ 1? i A. ?1 B. 1 C. ?i D. i
2.复数 z ?



3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为 63,则判断框中应填( ▲ ) A. n ? 7 B. n ? 7 C. n ? 6 D. n ? 6 4.命题“ ?x ?[1,2], x 是 ( ▲ ) A. a ? 4
2

开始

? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件

S ? 0 ,n ?1,a ? 3

S ? S ?a
B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5

n ? n ?1 a ?a?2
否 是 输出 S 结束

5.设 l , m, n 表示三条不同的直线, ? , ? 表示两个不同的平面,则下列说法 正确的是( ▲ )

A.如 l ∥ m , m ? ? ,则 l ∥ ? ; B.如 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? ; C.如 l ? ? , m ? ? , l ? m ,则 ? ? ? ; D.如 l ∥ ? , l ∥ ? , ? ? ? ? m ,则 l ∥ m . 6.若 3cos? ? 2sin ? ? 13 ,则 A. ?

3sin ? ? cos? ?( ▲ ) 3sin ? ? cos?

2 3

B. ?

3 2

C.

11 7

D.3 ) D. 4
1006

n 7.数列 ?a n ?满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 3 ? 2 ,则 a2012 ? (▲

A. 4

1005

B. 4

1005

?4

C. 2

1006

8.用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数,满足 1 不在左右两端,2,4,6 三 个偶数中,有且只有两个偶数相邻,则这样的六位数的个数为(▲ ) A. 432 B. 288 C. 216 D. 144 9.棱长为 1 的正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,点 P , P2 分别是线段 AB, BD1 (不包括 1

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端点)上的动点,且线段 P P2 平行于平面 A1 ADD1 ,则四面体 P P2 AB1 的体积的最大 1 1 值是( ▲) A.

1 24

B.

1 12

C.

1 6

D.

1 2

A.12

B.13

C.14

D.15

二、填空题(本大题共 7 小题,每题 4 分,共 28 分) 11. (2 x ? ) 的展开式中的常数项为
4

1 x



12.一个正四棱锥的所有棱长均为 2,其俯视图如右图所示,则该正 四棱锥的正视图的面积为 .
[来源:Z&xx&k.Com]

?3 x ? y ? 2 ? 0, ? 13. x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 设 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) ? x ? 0, y ? 0, ?
的最大值为 1,则

俯视图

1 1 ? 的 最小值为 a b



14.若 M 为 ?ABC 内一点,且满足 AM ? 比为 .

3 1 AB ? AC ,则 ?ABM 与 ?ABC 的面积之 4 4


15.函数 y ? ( x ? 2) x 在 a ? x ? 2 上的最小值为 ?1 ,则实数 a 的取值范围为 16.过椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 M 作圆 x 2 ? y 2 ? 2 的两条切线,点 A, B 为 切点.过 A, B 的 9 4 直线 l 与 x 轴, y 轴分别交于点 P, Q 两点, 则 ?POQ 的面积的最小值为 . 17.设 x 为实数,定义{ x }为不小于 x 的最小整数,例如{5.3}=6,{-5.3}=-5,则关于 x 的 3 方程{3 x +4}=2 x + 的全部实根之和为 . 2
三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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18. (本题满分 14 分) 已知向量 m ? (2 sin x,1) , n ? ( 3 cos x,2 cos2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n ? t . (I)若方程 f ( x) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 t 的取值范围;

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边,当 t ? 3 且 f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时, 求 a 的最小值.

19. (本题满分 14 分) 某单位的联欢活动中有一种摸球游戏, 已知甲口袋中大小相同的 3 个球, 其中 2 个红球, 1 个黑球;乙口袋中有大小相同的 2 个球,其中 1 个红球,1 个白球.每次从一只口袋中摸 一个球, 确定颜色后再放回. 摸球的规则是: 先从甲口袋中摸一个球, 如果摸到的不是红球, 继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每 个口袋里摸球时, 如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球, 则该游戏者的游戏停止. 游 戏规定,如果游戏者摸到 2 个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响. (I)一个游戏者只摸 2 次就中奖的概率; (II)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为 ? ,求 ? 的 数学期望.

A
20. (本题满分 14 分)
?ABC 中, AB ? 4, AC ? 4 2, ?BAC ? 45? ,以 AC 的中线 BD

为折痕, ?ABD 沿 BD 折起, 将 构成二面角 A ? BD ? C . 在面 BCD 内作 CE ? CD ,且 CE ? 2 . (I)求证: CE ∥平面 ABD ; (II) 如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? , 求二面角 B ? AC ? E 的余弦值.
[来源:Zxxk.Com]

D
E

B

C

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21. (本题满分 15 分)
2 2 x y 已知椭圆 C : 2 ? 2 ?( ? ? )的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正 1 b 0 a a b

方形. (Ⅰ)求 椭圆 C 的方程;m] (Ⅱ)过点 Q ( 1 , 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点. 点 P(4,3) ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 , 当 k1 ? k2 最大时,求直线 l 的方程.

22. (本题满分 15 分)

1 已知函数 f ( x) ? ln( ? x) ? ax(a ? R) .
(I)当 a ? 0 时,过点 P(?1, 0) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求切线的方程; (II)讨论函数 f (x ) 在 ?0, ? ? 的单调性; ? (III)当 0 ? y ? x ? 1 时,证明: ln x ? ln y ? ln(x ? y ) ? 1 .

[来源:学+科+网]

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嘉兴市第一中学 2013 学年第一学期期中考试

高三数学(理科)

答题卷
2013 年 11 月

满分[150 ]分 ,时间[120 ]分钟 一、选择题(每小题 5 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10




密 考号______

答案 二、填空题(每小题 4 分) 11. , 12. ,





13.



14.






封 姓名_______

15.



16.




密 封 线 内 不 要 答 题

17. 三、解答题 18. (本题满分 14 分)

.

已知向量 m ? (2 sin x,1) , n ? ( 3 cos x,2 cos2 x) ,函数 f ( x) ? m ? n ? t . 线 (I)若方程 f ( x) ? 0 在 x ? [0,

?
2

] 上有解,求 t 的取值范围;



班级______

(II)在 ?ABC 中, a, b, c 分别是 A, B, C 所对的边,当 t ? 3 且 f ( A) ? ?1, b ? c ? 2 时, 求 a 的最小值.

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19. (本题满分 14 分) 某单位的联欢活动中有一种摸球游戏, 已知甲口袋中大小相同的 3 个球, 其中 2 个红球, 1 个黑球;乙口袋中有大小相同的 2 个球,其中 1 个红球,1 个白球.每次从一只口袋中摸 一个球, 确定颜色后再放回. 摸球的规则是: 先从甲口袋中摸一个球, 如果摸到的不是红球, 继续从甲口袋中摸一个球,只有当从甲口袋中摸到红球时,才可继续从乙口袋里摸球.从每 个口袋里摸球时, 如果连续两次从同一口袋中摸到的都不是红球, 则该游戏者的游戏停止. 游 戏规定,如果游戏者摸到 2 个红球,那么游戏者就中奖.现假设各次摸球均互不影响. (I)一个游戏者只摸 2 次就中奖的概率; (II)在游戏中,如果某一个游戏者不放弃所有的摸球机会,记他摸球的次数为 ? ,求 ? 的 数学期望.

20. (本题满分 14 分)
?ABC 中,AB ? 4, AC ? 4 2, ?BAC ? 45? , AC 的中线 BD 为折 以

A

痕,将 ?ABD 沿 BD 折起,构成二面角 A ? BD ? C .在面 BCD 内作
CE ? CD ,且 CE ? 2 .

(I)求证: CE ∥平面 ABD ;

D
E

B

C

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(II)如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? ,求二面角 B ? AC ? E 的余弦值.

21. (本题满分 15 分) 已知椭圆 C :
2 2 x y ? 2 ?( ? ? )的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的 1 b 0 a 2 a b

正方形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;m] (Ⅱ)过点 Q ( 1 , 0 ) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A , B 两点. 点 P(4,3) ,记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1 , k2 , 当 k1 ? k2 最大时,求直线 l 的方程.

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22. (本题满分 15 分)

1 已知函数 f ( x) ? ln( ? x) ? ax(a ? R) .
(I)当 a ? 0 时,过点 P(?1, 0) 作曲线 y ? f (x) 的切线,求切线的方程;

[来源:学.科.网]

? (II)讨论函数 f (x ) 在 ?0, ? ? 的单调性;
(III)当 0 ? y ? x ? 1 时,证明: ln x ? ln y ? ln(x ? y ) ? 1 .

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一、选择题(每小题 5 分)

二、填空题(每小题 4 分)

三、解答题 18. (满分 14 分) 解:(1) t ? [0,3]

[来源:学科网]

(2) a 的最小值为 1 19. (满分 14 分) 解:从甲口袋中摸一个球,摸到的球是红色球的概率为 的球是红色球的概率为

2 ;从乙口袋中摸一个球,摸到 3

1 . 2 (1)一个游戏者只摸 2 次就中奖,说明他第一次从甲口袋摸到的是红球,第二次从乙 2 1 1 口袋中摸到的也是红球,所以其概率为 ? ? ; 3 2 3
(2) ? 可取 2,3, 4 .用 A 表示“从甲口袋中摸 1 个球 ,摸到的是红球” ,用 A 表示“从

2 1 甲口袋中摸 1 个球,摸到的不是红球” ,则 P( A) ? , P( A) ? ;用 B 表示“从乙口袋中摸 1 3 3
个球,摸到的是红球” 用 B 表示“从乙口袋中摸 1 个球,摸到的不是红球” 则 , ,

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1 1 P( B) ? , P( B) ? . 2 2 2 1 1 1 4 P(? ? 2) ? P( A ? B) ? P( A ? A) ? ? ? ? ? ; 3 2 3 3 9 1 1 1 4 P(? ? 3) ? P( A ? B ? B) ? P( A ? B ? B) ? P( A ? A ? B) ? ? ? ? ; 6 6 9 9 1 1 1 P(? ? 4) ? P( A ? A ? B ? B) ? P( A ? A ? B ? B) ? ? ? . 18 18 9 ? 所以 ? 的分布列为: 2 3 4 P 4 4 1 9 9 9

4 4 1 8 E? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? . 9 9 9 3 20. (满分 14 分)
解: (1)由 AB ? 4, AC ? 4 2, ?BAC ? 45? 得 BC ? 4 ,所以 ?ABC 为等腰直角三角形, 由 D 为 AC 的中点得 B D ? A C ,以 AC 的中线 BD 为折痕翻折后仍有 BD ? CD ,因为 A CE ? CD ,所以 CE ∥ BD ,又 CE ? 平面 ABD , BD ? 平 面 ABD ,所以 CE ∥平面 ABD . (2) 如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? , A ? 由 D B D 得 AD ? 平面 BDC ,因此 AD ? CE ,又 CE ? CD ,所以
CE ? 平面 ACD ,从而 CE ? AC .由题意 AD ? DC ? 2 2 ,

G

所 以 R t? A D C , AC ? 4 . 设 BC 中 点 为 F , 因 为 中
A B ? B C 4 ,所以 BF ? AC ,且 BF ? 2 3 ,设 AE 中点 ?

F D
E

为 G , FG ∥ CE , C ?A 得 FG ? AC , 则 由 E C 所以 ?BFG 为二面角 B ? AC ? E 的平面角,连结 BG ,在 ?BCE 中,因 为 BC ? 4, CE ? 2, ?BCE ? 135? , 所 以 BE ? 26 . 在
Rt DCE 中 ?

B

C

DE ? (2 2)2 ? ( 2)2 ? 10
. 在
2









Rt ?ADE





AE ? (2 2)2 ? ( 10) 2 ? 3 2
1 B G? 2
2

?ABE 中 ,
z

1 A ?B 2
2

2

1 B E ? 4

3 3 ,所以在 ?BFG 中, ?A E 2

A

1 33 12 ? ? 2 2 ?? 6 cos ?BFG ? 3 2 2?2 3 ? 2
B? A ?C 的余弦值为 ? E

. 因 此 二 面 角

6 . 3 解法二:如果二面角 A ? BD ? C 的大小为 90? ,由

F D
E

B
x

C

y

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AD ? BD 得 AD ? 平面 BDC ,又由(1)知 BD ?CD ,所以以 D 为坐标原点, DB, DC , DA 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.又 CE ? CD ,所以 CE ? 平面 ACD ,又 CE ? 平面
ACE ,所以平面 ACE ? 平面 ACD .

设 AC 中点为 F ,连结 DF ,则 DF ? AC ,且 DF ? 2 ,从而 DF ? 平面 ACE .由(1)可

BD 知, ? CD ? AD ? 2 2 , 所以 B(2 2,0,0) , (0,2 2,0) ,A(0,0,2 2) , 因此 F (0, 2, 2) , C

???? ??? ? ??? ? 即平面 ACE 的法向量为 DF ? (0, 2, 2) ,又 AB ? (2 2,0, ?2 2) , AC ? (0,2 2, ?2 2) ,
? ??? ? ? ???? ? 设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 n ? AB ? 0, n ? AC ? 0 ,所以 x ? y ? z ,所以可以取
? ???? ? ???? ? 6 ,结合图形 n ? (1,1,1) ,设 n 与 DF 的夹角为 ? ,由 n ? DF ? 2 2 ? 3 ? 2 ? cos ? 得 cos ? ? 3 6 可知二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 ? . 3
21. (本题满分 15 分) 解:解: (Ⅰ)由已知得 b ? c ? 2 . 又 a? ? ? ,所以椭圆 C 的方程为 b c 4
2 2 2

???????2 分

x2 y2 ? ? 1 . ???????5 分 4 2

(Ⅱ)①当直线 l 的斜率为 0 时,则 k1 ? k 2 ?

3 3 3 ? ? ; ???????7 分 4?2 4?2 4

y ②当直线 l 的斜率不为 0 时, A( x1, y1 ) ,B(x2 , y2 ) , 设 直线 l 的方程为 x ? m ?1,
将 x ? m ?1代入 y 则 y ? y2 ? 1

x2 y2 ? ? 1 ,整理得 (2 2 ? y ? m )2 2 ? 0 ? y m 3 . 4 2
???????9 分

?3 ?m 2 , y1 y2 ? 2 . 2 m ?2 m ?2

y y 1 又 x ?m 1 ?1, x ?m 2 ? , 1 2
所以, k1 ? k2 ?

( ? 1 ( ? 2) 3 y)3 y 3 ? y1 3 ? y2 ? ? 3m (?y 4 ? x1 4 ? x2 ( ? y)3 m ) 1 2

93 ?) y ?y y?y (1 2 12 ? ? 93 y y?212 ? (1 2 m m?) y y

3m2 ? 2m? 5 3 4m?1 ? ? ? 2 . 4m2 ? 6 4 8m ?12
m 令 t ?4 ?1,则 k?k ? ?2 1 2

???????11 分

3 2 t 3 2 ? ? ? 1 4 t ?t? 5 4 (t ? 25 ) ? 2 2 2 t

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所以当且仅当 t ? 5 ,即 m ? 1 时,取等号. 由①②得,直线 l 的方程为 x?y? ?0. 1 ???????14 分


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