2015届陕西省宝鸡市九校高三联合检测文科数学试卷


2015 届陕西省宝鸡市九校高三联合检测文科数学试卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

6.在△ABC 中,已知 ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 ,则 AC 的长为(



A. 2 B. 1 C. 2 或 1 D. 4 7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 o ? xyz 中的坐标分别是(1,0,1) , (1,1,0) , (0,1,1) , (0,0,0) , 画该四面体三视图中的主视图时,以 zox 平面为投影面,则得到主视图可以为( )

一、选择题 1.已知集合 A ? {0, 1, 2} , B ? {1 , m} .若 A ? B ? B ,则实数 m 的值是( A. 0 C. 2 B. 0 或 2 D. 0 或 1 或 2 )

2.如图,在复平面内,复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA , OB ,则复数 z1 ?z2 对应的点位于(

??? ? ??? ?



8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是

7 ,则( 4



A.第一象限

? ? ? 3.若向量 a ? (1, ?2) , b ? (2,1) , c = (?4, ?2) ,则下列说法中错误 的是( ..
A. a ? b

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限 )

?

?
A. a ? 3 C. a ? 5 B. a ? 4 D. a ? 6 )

? ? B. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90 ? ? ? C. b ∥ c
D.对同一平面内的任意向量 d ,都存在一对实数 k1 , k2 ,使得 d ? k1b + k2c

9.函数 f ( x ) 的导函数 f ?( x ) 的图像如图所示,那么 f ( x ) 的图像最有可能的是(

?x ? 0 ? 4.若关于 x , y 的不等式组 ? x ? 2 y ? 0 ,表示的平面区域是直角三角形区域,则正数 k 的值为( ? kx ? y ? 1 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 ) 5.将 f ( x) ? cos x 向右平移

) 10.已知命题 p :存在 a ? R ,曲线 x ? ay ? 1 为双曲线;命题 q :
2 2

? ? 个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 g ( ) ? ( 6 2
C.

x ?1 ? 0 的解集是 { x | 1 ? x ? 2} .给 x?2

A.

3 2

B. ?

3 2

1 2

D. ?

1 2

出下列结论中正确的有( ) ①命题“ p 且 q ”是真命题; ②命题“ p 且( ? q )”是真命题; ③命题“( ? p )或 q ”为真命题;

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④命题“( ? p )或( ? q )”是真命题. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

(Ⅰ)从 A, B, C , D 四个社团中各抽取多少人? (Ⅱ)在社团 A, D 所抽取的学生总数中,任取 2 个,求 A, D 社团中各有 1 名学生的概率. 19.在梯形 ABCD 中, AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ?

11.已知双曲线

x2 ? y 2 ? 1的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双曲线上,且满足 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 5 , 3


2 , AB ? BC ,如图把 ?ABD 沿 BD 翻
A D A D C B C

则△ PF 1F2 的面积为( A.

折,使得平面 ABD ? 平面 BCD . C. 1

A

D

5

B.

3

1 D. 2

12. 设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x] , x ? 0 , 其中 (?a, ??) 表示不超过 a ? 0 的最大整数,如 [?1.2] ? ?2 , [1.2] ? 1 , ? f ( x ? 1), x ? 0


(Ⅰ)求证: CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)若点 M 为线段 BC 中点,求点 M 到平面 ACD 的距离.

B

C B

[1] ? 1 ,若直线 k y ? x ? 1 (k ? o) 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有两个不同的交点,则 b 的取值范围是 (
A. [2, 3) 二、填空题 B. [3, ?) C. [2, 3] D. (2, 3]

20.设 M ( x, y ) 到定点 F ( 3,0) 的距离和它到直线 x ?

4 3 3 距离的比是 . (Ⅰ)求点 M ( x, y ) 的轨迹方 3 2

程; ( Ⅱ ) O 为 坐 标 原 点 , 斜 率 为 k 的 直 线 过 F 点 , 且 与 点 M 的 轨 迹 交 于 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 若

? x ? 1, x ? 1 13.已知函数 f ( x ) ? ? ,则 f (4) ? ?log 2 x, x ? 1

x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0 ,求△ AOB 的面积.
. 21 .设函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? ex ? 2 , 其中 e 为自然对数的底数 . (Ⅰ) a ? 1 时,求曲线 y ? f (x ) 在点 (Ⅱ)函数 h( x) 是 f ( x ) 的导函数,求函数 h( x) 在区间 [0,1] 上的最小值. (1, f (1))处的切线方程; 22. (本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲. 已知圆内接△ABC 中,D 为 BC 上一点,且△ADC 为正三角形,点 E 为 BC 的延长线上一点,AE 为圆 O 的切线.
2 (Ⅰ)求∠BAE 的度数;(Ⅱ)求证: CD =BD?EC

14. 已知一个三角形的三边长分别是 5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距 离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 . 15.函数 f ( x) ?

π 2 sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x 的最小值为 4

A

16 . 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 (??,0) ? (0, ??) 上 的 奇 函 数 , 在 (0, ??) 上 单 调 递 减 , 且 f (2) ? 0 , 若

f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值范围为
三、解答题



23. (本题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 坐 标 系 与 参 数 方 程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 圆 C 的 参 数 方 程

B

D

C

E

17 .已知 {an } 是一个单调递增的等差数列,且满足 a2 a4 ? 21 , a1 ? a5 ? 10 ,数列 {bn } 的前 n 项和为

2Sn ? 3(bn ? 1) (n ? N? ) .
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)证明数列 {bn } 是等比数列. 18.已知某校 A, B, C , D 四个社团的学生人数分别为 10,5,20,15.现为了了解社团活动开展情况,用分层抽 样的方法从 A, B, C , D 四个社团的学生当中随机抽取 10 名学生参加问卷调查.

? x ? 1 ? cos ? (? 为参数).以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. ? ? y ? sin ?
(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)射线 OM : ? ?

?
4

与圆 C 的交点为 O、P 两点,求 P 点的极坐标.

24. (本题满分 10 分)选修 4—5: 不等式选讲. (Ⅰ)设函数 f ( x)=| x ?

1 | ? | x ? a | (a ? 0) .证明: f ( x) ? 2 ; a
2 2 2

(Ⅱ)若实数 x, y , z 满足 x ? 4 y ? z ? 3 ,求证: x ? 2 y ? z ? 3

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:由 A ? B ? B 可得 B ? A ,所以 m 可取 0 或 2 考点:集合间的关系 2.D 【解析】 试题分析:由已知 OA ? (?2,?1) ,OB ? (0,1) ,所以 z1 ? ?2 ? i , z 2 ? i , z1 z 2 ? 1 ? 2i , 它所对应的点为(1,-2) ,在第四象限 考点:复数的运算 3.D 【解析】 试题分析: a ? b ? 2 ? 2 ? 0 ,故 A 正确; a ? c ? 1? (?4) ? (?2) ? (?2) ? 0 ,所以 B 正确;

1 b ? ? c ,故 C 正确;因为 b, c 是共线的,不能作为基底,故 D 错 2
考点:向量的夹角 4.B 【解析】 试题分析:由题意必有 y ? kx ? 1 与 x ? 2 y ? 0 垂直,故 k ? ( ? ) ? ?1 ? k ? 2 考点:线性规划 5.C 【解析】 试题分析:由题意 g ( x) ? cos( x ? 考点:三角函数的性质 6.C 【解析】 试 题 分 析 : 由 余 弦 定 理 得

1 2

?

? ? ? ? 1 ) ,故 g ( ) ? cos( ? ) ? sin ? 6 2 2 6 6 2

BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A 即

1 ? 3 ? AC 2 ? 2 ? 3 ?
考点:余弦定理 7.A 【解析】

3 AC ,解得 AC ? 2 或 1 2

答案第 1 页,总 11 页

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试题分析:由已知可作出示意图,以 zox 平面为投影面,则得到主视图可以为 A 选项所示 考点:三视图 8.A 【解析】 试题分析:第一次: S ? 循环,故选 A 考点:程序框图 9.A 【解析】 试题分析:由 f ?( x ) 的图像可知 f ( x ) 在(-2,0)上是单调递增的,在 (??,?2) ,(0,??) 单 调递减,故选 A 考点:函数的图象、导数 10.B 【解析】 试题分析:命题 p 为真命题,命题 q 是假命题,则 ? q 真命题, ? p 假命题,所以①错, ②正确,③错,④正确 考点:命题真假判断 11.C 【解析】 试题分析: 设 PF 由双曲线定义得 x ? y ? 2 3 ①, 又 x ? y ? 2 5 ②, 1 ? x , PF 2 ? y,
2 2 由①②可得 xy ? 2 , x ? y ? 16 ? F1 F2 2

3 5 , k ? 2 ;第二次: S ? , k ? 3 ;第三次: S ? 7, k ? 4 ,退出 2 3

,故 PF1 ? PF2 , S ?

1 PF1 PF2 ? 1 2

考点: 焦点三角形面积 12.D 【解析】

答案第 2 页,总 11 页

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试题分析:直线 k y ? x ? 1 恒过(-1,0) ,作出直线 k y ? x ? 1 (k ? o) 与函数 y ? f ( x) 的图 象,易知

1 1 1 ? kCB ? ? kCA ? ,所以 b 的取值范围是 (2, 3] 3 k 2

考点:函数与方程 13.2 【解析】 试题分析: f (4) ? log 2 4 ? 2 考点:分段函数求值 14. 1 ?

? 6

【解析】

1 1 2 ? 6 ? 4 ? 12 , 阴影部分的面积为 ? ? ? 2 ? 2? , 2 2 12 ? 2? ? ?1? 故某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2 的概率是 P ? 12 6
试题分析: 由已知三角形的面积为 S ? 考点:几何概型 15. ? 2 【解析】

x ? 2 cos x 2? 试题分析: f ( x) ? sin 2x ? cos 2

2 sin(2 x?

?
4

) ,所以 f ( x) 的最小值为

? 2
考点:三角函数的性质 16. [?1, 1) ? [3, ? ?) 【解析】

答案第 3 页,总 11 页

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试题分析:作出辅助图,易知 x ? 1 ? 2 或 ? 2 ? x ? 1 ? 0 ,解得 ? 1 ? x ? 1 或 x ? 3 考点:函数的性质 17. (Ⅰ) an ? 2n ?1 (n ? N*) ; (Ⅱ) 见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 .由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又可 得 a3 ? 5 . 由 a2 a4 ? 21 , 得 (5 ? d )(5 ? d ) ? 21 , 可 得 d ? 2 . 所 以 a1 ? a3 ? 2d ? 1 . 从 而 ; ( ,得 an ? 2 n ?1 (n ? N * ) Ⅱ ) 只 需 按 照 定 义 证 明 即 可 , 由 已 知 2Sn ? 3( bn ? 1)

Sn ?

3 3 3 3 (bn ? 1),当 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (bn ? 1) ? (bn ?1 ? 1) ? (bn ? bn ?1 ) ,所以 2 2 2 2

bn ? 3bn?1 ,

bn ? 3 (n ? 2) bn?1

试题解析: (Ⅰ) 解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,则依题知 d ? 0 . 由 2a3 ? a1 ? a5 ? 10 ,又可得 a3 ? 5 . 由 a2 a4 ? 21 ,得 (5 ? d )(5 ? d ) ? 21 ,可得 d ? 2 . 所以 a1 ? a3 ? 2d ? 1.可得 an ? 2n ?1 (n ? N*) (Ⅱ)证明:由已知 2Sn ? 3(bn ? 1) ,得 S n ? 6分

3 (bn ? 1) 2 3 3 3 n ? 2 时, bn ? Sn ? Sn ?1 ? (bn ? 1) ? (bn ?1 ? 1) ? (bn ? bn ?1 ) , 2 2 2

所以 bn ? 3bn?1 ,

bn ? 3 (n ? 2) bn?1

又 2b1 ? 2S1 ? 3(b1 ?1) ,解得 b1 ? 3 所以数列 bn 是首项为 3,公比为 3 的等比数列.
答案第 4 页,总 11 页

? ?

12 分

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考点:等差数列、等比数列 18. (Ⅰ) 2,1,4,3; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: ( Ⅰ ) 从 A, B, C , D 四 个 社 团 中 分 别 抽 取

3 5 10 ?10 ? 2 , 10 ? 5 ? 20 ? 15

10 ?5 ?1, 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 ? 20 ? 4 , 10 ? 5 ? 20 ? 15

10 ? 15 ? 3 ,故从 A, B, C , D 四个社团中分别 10 ? 5 ? 20 ? 15

抽取学生人数为 2,1,4,3; (Ⅱ)设在 A 社团中抽取的 2 学生分别为 x, y ,在 D 社团中抽取 的 3 学 生 分 别 为 a, b, c , 从 社 团 A, D 所 抽 取 的 5 名 学 生 中 , 任 取 2 个 , 共 有

(x , a ) , ( x , b ) ,x ( c , )a , (b, ) a, ( c b ,c ) , ( y , a ) ,y ( b , ), y( c , ) x, 10 (y 种情况,其中符合 , ) A, D
社团中各有 1 名学生的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c),( y, a),( y, b),( y, c) 6 种; 故 A, D 社团中 各有 1 名学生的概率 P ?

6 3 ? 10 5

试题解析: (Ⅰ) 从 A, B, C , D 四个社团中分别抽取

10 ?10 ? 2 , 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 ? 20 ? 4 , 10 ? 5 ? 20 ? 15

10 ?5 ?1, 10 ? 5 ? 20 ? 15 10 ? 15 ? 3 10 ? 5 ? 20 ? 15

故从 A, B, C , D 四个社团中分别抽取学生人数为 2,1,4,3. (Ⅱ)设在 A 社团中抽取的 2 学生分别为 x, y , 在 D 社团中抽取的 3 学生分别为 a, b, c , 从社团 A, D 所抽取的 5 名学生中,任取 2 个,共有

( x, a),( x, b),( x, c),(a, b),(a, c), (b, c),( y, a),( y, b),( y, c),( x, y) 10 种情况,
其中符合 A, D 社团中各有 1 名学生的情况共有 ( x, a),( x, b),( x, c),( y, a),( y, b),( y, c) 6 种; 故 A, D 社团中各有 1 名学生的概率 P ? 考点:概率与统计 19. (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ)

6 3 ? 10 5

12 分

2 2

答案第 5 页,总 11 页

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【解析】 试题分析: (Ⅰ) 证明线面垂直, 利用判定定理知转化为证明线线垂直, 本题中因为 AD // BC ,

BC ? 2 AD , AD ? AB ? 2 , AB ? BC , 所 以 BD ? AB2 ? AD2 ? 2 ,

?2 ,22 ? (2 2) 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45? ?DBC ? ?ADB ? 450 , CD?
BD2 ? CD2 ? BC 2 , 所 以 C D ? B D. 因 为 平 面 ABD ? 平 面 B C D , 平 面 ABD ? 平 面

B C D? B D ,

???? ? ? | MC ?n | 1 2 所以 CD ? 平面 ABD ; (Ⅱ)通过建立坐标系,利用公式 d ? 即可解决 ? ? ? |n| 2 2
试题解析: (Ⅰ)证明:因为 AD // BC , BC ? 2 AD , AD ? AB ? 所以 BD ?

2 , AB ? BC ,

AB2 ? AD2 ? 2 , ?DBC ? ?ADB ? 450

CD ? 22 ? (2 2) 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 cos 45? ? 2 ,
BD2 ? CD2 ? BC 2 ,所以 CD ? BD .
因为平面 ABD ? 平面 BCD ,平面 ABD ? 平面 BCD ? BD , 所以 CD ? 平面 ABD . 6分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 CD ? BD .

以点 D 为原点, DB 所在的直线为 x 轴,

DC 所在直线为 y 轴,
如图建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则 A(1, 0,1) , B(2, 0, 0) , C (0, 2,0) , D(0,0,0) , M (1,1, 0) . 所以 CD ? (0, ?2,0) , AD ? (?1,0, ?1) , MC ? (?1,1,0) . 设平面 ACD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 CD ? n ? 0 且 AD ? n ? 0 , 所以 ?

??? ?

????

???? ?

?

??? ? ?

???? ?

??2 y ? 0, ? 令 x ? 1 ,得平面 ACD 的一个法向量为 n ? (1, 0, ?1) ?? x ? z ? 0.
12 分

???? ? ? | MC ?n | 1 2 所以点 M 到平面 ACD 的距离为 d ? . ? ? ? |n| 2 2
答案第 6 页,总 11 页

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考点:立体几何的综合应用 20. (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)根据题意,由已知得

x2 ? y 2 ? 1; (Ⅱ) 1 4

( x ? 3)2 ? ( y ? 0) 2 | x? 4 3 | 3

?

3 ,化简得点 M ( x, y ) 的 2

x2 ? y2 ? 1 ; 轨迹方程为 ( Ⅱ ) 设 直 线 AB 的 方 程 为 y ? k ( x ? 3) . 联 立 方 程 组 4

? x2 2 8 3k 2 12k 2 ? 4 ? ? y ?1 消元可得故 x1 ? x2 ? ,又 x1 x2 ? 4 y , x x ? ?4 1 2 1y 2 ? 0 ,所 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 ? y ? k ( x ? 3) ?


12k 2 ? 4 ?4k 2 1 4 3 2 ? 2 ? 0 , 可 得 k2 ? , 所 以 x1 ? x 2? , x x1? 2 , 由 2 2 4k ? 1 4 k ? 1 3 3

| AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2
原点 O 到直线 AB 的距离 d ?

k (0 ? 3) ? 0 k ?1
2

?

k 3 k ?1
2

? 1 ,所以 S?AOB ?

1 AB ? d ? 1 2

试题解析: (Ⅰ)由已知得

( x ? 3) 2 ? ( y ? 0) 2 |x? 4 3 | 3

?

3 2

x2 ? y 2 ? 1. 化简得点 M ( x, y ) 的轨迹方程为 4

6分

? x2 2 ? ? y ?1 (Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 3) .联立方程组 ? 4 ? y ? k ( x ? 3) ?
消去 y 并整理得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0 故 x1 ? x2 ?

8 3k 2 12k 2 ? 4 , x x ? 1 2 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1

y1 y2 ? k ( x1 ? 3)?k ( x2 ? 3) ? k 2[ x1x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 3] ?
又 x1 x2 ? 4 y1 y2 ? 0
答案第 7 页,总 11 页

?k 2 4k 2 ? 1

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12k 2 ? 4 ?4k 2 1 4 3 2 ? 2 ? 0 ,可得 k 2 ? ,所以 x1 ? x2 ? 所以 , x1 x2 ? 2 2 4k ? 1 4 k ? 1 3 3
由 | AB |? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 原点 O 到直线 AB 的距离 d ? 所以 S ?AOB ?

k (0 ? 3) ? 0 k 2 ?1

?

k 3 k 2 ?1
12 分

?1

1 AB ? d ? 1 2

考点:轨迹方程及圆锥曲线定值问题 21. (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ) a ? 1 时,f ( x) ? e x ? x2 ? ex ? 2 因 f ?( x) ? ex ? 2 x ? e , 所以 f ?(1) ? ?2 ,

f (1) ? e1 ? 12 ? e ?1 ? 2 ? ?3 ,故曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为
y ? 3 ? ?2( x ? 1)


2 x ? y? 1 ? 0

; (





f ( x) ? ex ? ax2 ? ex ? 2



(1)当 a ? h( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? e ,h?( x) ? ex ? 2a ,

1 x 时,∵ x ? [0,1] ,1 ? e ? e , 2

x ∴ 2a ? e 恒 成 立 , 即 h?( x) ? e x ? 2a ? 0 , h( x) 在 [0,1] 上 单 调 递 增 , 所 以

e x x 时 , ∵ x ? [0,1] , 1 ? e ? e ,∴ 2a ? e 恒成立,即 2 1 e (3) 当 ? a ? 时, h?( x) ? ex ? 2a ? 0 , h( x) 在 [0,1] 上单调递减,所以 h( x) ? h(1) ? ?2a . 2 2
( 2 )当 a ? h( x)? h( 0?) ?1.e

h?( x) ? ex ? 2a ? 0 得 x ? ln(2a) h( x) 在 [0, ln 2a] 上单调递减,在 [ln 2a, 1] 上单调递增,所
以 h( x) ? h(ln 2a) ? 2a ? 2a ln 2a ? e 注,本题改编与 2014 年四川高考题
x 2 试题解析: (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x) ? e ? x ? ex ? 2

∵ f ?( x) ? e ? 2 x ? e ,
x

∴ f (1) ? e ? 1 ? e ?1 ? 2 ? ?3 , f ?(1) ? ?2
1 2

∴曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

y ? 3 ? ?2( x ? 1) 即 2 x ? y? 1 ? 0
(Ⅱ) f ( x) ? e ? ax ? ex ? 2 ,
x 2

6分

h( x) ? f ?( x) ? e x ? 2ax ? e , h?( x) ? ex ? 2a
答案第 8 页,总 11 页

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(1)当 a ?

1 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2

即 h?( x) ? e x ? 2a ? 0 , h( x) 在 [0,1] 上单调递增, 所以 h( x) ? h(0) ? 1 ? e . (2)当 a ?

e 时,∵ x ? [0,1] , 1 ? e x ? e ,∴ 2a ? e x 恒成立, 2

即 h?( x) ? e x ? 2a ? 0 , h( x) 在 [0,1] 上单调递减, 所以 h( x) ? h(1) ? ?2a . (3)当

1 e ? a ? 时, h?( x) ? ex ? 2a ? 0 得 x ? ln(2a) 2 2

h( x) 在 [0, ln 2a] 上单调递减,在 [ln 2a, 1] 上单调递增,
所以 h( x) ? h(ln 2a) ? 2a ? 2a ln 2a ? e 12 分

考点:函数与导数的综合应用 22. (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)在△EAB 与△ECA 中,因为 AE 为圆 O 的切线,所以∠EBA =∠EAC,∠EAB = ∠ECA,因为△ACD 为等边三角形,所以 ?EAB ? ?ECA ? 120o ; (Ⅱ)容易证明△ABD∽△ EAC , 所以

AD EC ? ,即 AD ? CA ? BD ? EC , 因为△ACD 为等边三角形,所以 AD=AC=CD, BD CA

2 所以 CD =BD?EC

试题解析:证明:(Ⅰ)在△EAB 与△ECA 中 因为 AE 为圆 O 的切线,所以∠EBA =∠EAC 又∠E 公用,所以∠EAB =∠ECA 因为△ACD 为等边三角形,所以 ?EAB ? ?ECA ? 120 (Ⅱ)因为 AE 为圆 O 的切线,所以∠ABD=∠CAE 因为△ACD 为等边三角形,所以∠ADC =∠ACD, 所以∠ADB=∠ECA,所以△ABD∽△EAC 所以
o

5分

AD EC CA ? BD?EC ? ,即 AD? BD CA
10 分

因为△ACD 为等边三角形,所以 AD=AC=CD,
2 所以 CD =BD?EC

考点:平面几何的证明 23. (Ⅰ) ? ? 2cos ? ; (Ⅱ) ( 2,

?
4

)

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【解析】
2 试题分析: (Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x ?1) ? y2 ? 1 ,利用 x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,可得

圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? ; (Ⅱ)把 ? ? 所以 P 点的极坐标为 ( 2,

?
4

代入 ? ? 2cos ? 得 ? ? 2 cos

?
4

? 2

?
4

)

2 试题解析: (Ⅰ)圆 C 的普通方程是(x ?1) ? y2 ? 1 ,又 x ? ? cos? , y ? ? sin ?

所以圆 C 的极坐标方程是 ? ? 2cos ? (Ⅱ)因为射线 OM : ? ? 联立方程组 ?

5分

?
4

的普通方程为 y ? x, x ? 0

? y ? x, x ? 0
2 2 ?(x ? 1) ? y ? 1

2 消去 y 并整理得 x ? x ? 0

解得 x ? 1 或 x ? 0 ,所以 P 点的坐标为 (1, 1) 所以 P 点的极坐标为 ( 2, 解法 2:把 ? ?

?
4

)

10 分

?
4

代入 ? ? 2cos ? 得 ? ? 2 cos

?
4

? 2
10 分

所以 P 点的极坐标为 ( 2,

?
4

)

考点:参数方程 24. (Ⅰ) 见解析; (Ⅱ) 见解析 【解析】 试

a?0 , 及 均 值 不 1 1 1 f ( x) =| x ? | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a ) | ? ? a ? 2 , 所 以 f ( x ? ) a a a
题 分 析 : ( Ⅰ ) 由







;( Ⅱ ) 2

? x2 ? 4 y 2 ? z 2 ? 3 ,由柯西不等式得: [ x2 ? (2 y)2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z)2
(当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号)整理得: ( x ? 2 y ? z) 2 ? 9 ,即 1 1 1 5 5

x ? 2y ? z ? 3
试题解析: (Ⅰ)由 a ? 0 , 有 f ( x) =| x ? 所以 f ( x) ? 2 (Ⅱ)? x ? 4 y ? z ? 3 ,由柯西不等式得:
2 2 2

1 1 1 | ? | x ? a | ? |(x ? ) ? ( x ? a ) | ? ? a ? 2 a a a
5分

[ x2 ? (2 y)2 + z 2 ](12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 2 y ? z)2
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(当且仅当

x 2y z 6 3 ? ? 即 x ? z ? ,y ? 时取“ ? ”号) 1 1 1 5 5
10 分

整理得: ( x ? 2 y ? z) 2 ? 9 ,即 x ? 2 y ? z ? 3 考点:不等式证明

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