高二数学人教A必修5练习:第二章 习题课(2) Word版含解析

习题课(2) 课时目标 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式; 2.掌握数列求和的几种基本方法. n?a1+an? n?n-1? 1.等差数列的前 n 项和公式:Sn= =na1+ d. 2 2 2.等比数列前 n 项和公式: (1)当 q=1 时,Sn=na1; a1?1-qn? a1-anq (2)当 q≠1 时,Sn= = . 1-q 1-q ?S1 n=1 ? 3.数列{an}的前 n 项和 Sn=a1+a2+a3+…+an,则 an=? . ?Sn-Sn-1n≥2 ? 4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式: 1 1 1 (1) = - ; n n?n+1? n+1 1 1 1 1 (2) = ( - ); ?2n-1??2n+1? 2 2n-1 2n+1 1 (3) = n+1- n. n+ n+1 一、选择题 1 1.数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 an= ,则 S5 等于( ) n?n+1? 5 1 1 A.1 B. C. D. 6 6 30 答案 B 1 1 1 解析 ∵an= = - , n?n+1? n n+1 1 1 1 1 1 ∴S5=(1- )+( - )+…+( - ) 2 2 3 5 6 1 5 =1- = . 6 6 1 2.数列{an}的通项公式 an= ,若前 n 项的和为 10,则项数为( n+ n+1 A.11 B.99 C.120 D.121 答案 C 1 解析 ∵an= = n+1- n, n+ n+1 ∴Sn= n+1-1=10,∴n=120. 1 1 1 1 3.数列 1 ,2 ,3 ,4 ,…的前 n 项和为( 2 4 8 16 1 1 1 1 A. (n2+n+2)- nB. n(n+1)+1- n-1 2 2 2 2 1 1 1 1 C. (n2-n+2)- n D. n(n+1)+2(1- n) 2 2 2 2 答案 A ) ) 1 1 1 1 1 +2 +3 +…+(n+ n) 2 4 8 2 1 1 1 =(1+2+…+n)+( + +…+ n) 2 4 2 1 1 ?1- n? 2 n?n+1? 2 = + 2 1 1- 2 1 2 1 = (n +n)+1- n 2 2 1 2 1 = (n +n+2)- n. 2 2 解析 a1+a2+a3+…+an 4.已知数列{an}的通项 an=2n+1,由 bn= 所确定的数列{bn}的前 n n 项之和是( ) 1 1 1 A.n(n+2) B. n(n+4)C. n(n+5) D. n(n+7) 2 2 2 答案 C n 解析 a1+a2+…+an= (2n+4)=n2+2n. 2 n?n+5? ∴bn=n+2,∴bn 的前 n 项和 Sn= . 2 n-1 5.已知 Sn=1-2+3-4+…+(-1) n,则 S17+S33+S50 等于( ) A.0 B.1 C.-1 D.2 答案 B 解析 S17=(1-2)+(3-4)+…+(15-16)+17=9, S33=(1-2)+(3-4)+…+(31-32)+33=17, S50=(1-2)+(3-4)+…+(49-50)=-25, 所以 S17+S33+S50=1. 6.数列{an}满足 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 那么 an 等于( ) - A.2n-1 B.2n 1-1C.2n+1 D.4n-1 答案 A - - 解析 由于 an-an-1=1×2n 1=2n 1, 那么 an=a1+(a2-a1)+…+(an-an-1) - =1+2+…+2n 1=2n-1. 二、填空题 7. 一个数列{an}, 其中 a1=3, a2=6, an+2=an+1-an, 那么这个数列的第 5 项是________. 答案 -6 2an 8.在数列{an}中,an+1= ,对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 2+an 2 答案 n 2an 1 1 1 解析 ∵an+1= ,∴ = + . 2+an an+1 an 2 ?1? 1 ∴?a ?是等差数列且公差 d= . 2 ? n? 1 1 1 1 n-1 n ∴ = +(n-1)× = + = , an a1 2 2 2 2 2 ∴an= . n 9.在 100 内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数之和是________. 答案 1 473 33×?3+99? 100 内所有能被 3 整除的数的和为:S1=3+6+…+99= =1 683. 2 100 内所有能被 21 整除的数的和为:S2=21+42+63+84=210. ∴100 内能被 3 整除不能被 7 整除的所有正整数之和为 S1-S2=1 683-210=1 473. 1 10.数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 a1=1,an+1= Sn (n≥1),则 an=____________. 3 解析 1, n=1 ? ? 答案 ?1 ?4?n-2 ? ?3? , n≥2 ?3· 1 1 an+1= Sn,an+2= Sn+1, 3 3 1 1 ∴an+2-an+1= (Sn+1-Sn)= an+1, 3 3 4 ∴an+2= an+1 (n≥1). 3 解析 1, ? ? 1 1 ∵a2= S1= ,∴an=?1 ?4?n-2 3 3 ? ?3? , ?3· n=1 n≥2 . 三、解答题 11.已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 解 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ? ?a1+2d=7, 因为 a3=7,a5+a7=26,所以? ?2a1+10d=26, ? ? ?a1=3, n?n-1? 解得? 所以 an=3+2(n-

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