高中数学《平面向量的数量积及运算律(2)》教案




题:平面向量的数量积及运算律(2)

教学目的: 1 掌握平面向量数量积运算规律; 2 能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3 掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决 一些简单问题 教学重点:平面向量数量积及运算规律 教学难点:平面向量数量积的应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律, 引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质 教学过程:
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一、复习引入: 1.两个非零向量夹角的概念 已知非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB=θ (0≤θ ≤π )叫 a 与 b 的夹角

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2.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角是 θ ,则数量| a || b |cos?叫 a 与 b 的数量积,记作 a ? b ,即有 a ? b = | a || b |cos?, (0≤θ ≤π ) 并规定 0 与任何向量的数量积为 0
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C

3. “投影”的概念:作图

定义:| b |cos?叫做向量 b 在 a 方向上的投影

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投影也是一个数量,不是向量;当?为锐角时投影为正值;当?为钝角时投影为

负值; 当?为直角时投影为 0; 当? = 0?时投影为 | b |; 当? = 180?时投影为 ?| b | 4.向量的数量积的几何意义: 数量积 a ? b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影| b |cos?的乘积 5.两个向量的数量积的性质: 设 a 、 b 为两个非零向量, e 是与 b 同向的单位向量 1? e ? a = a ? e =| a |cos?;2? a ? b ? a ? b = 0 3?当 a 与 b 同向时, a ? b = | a || b |;当 a 与 b 反向时, a ? b = ?| a || b | 特别的 a ? a = | a |2 或 | a |? a ? a 4?cos? =

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? ? ? ? a ?b ;5?| a ? b | ≤ | a || b | | a || b |

6.判断下列各题正确与否: 1?若 a = 0 ,则对任一向量 b ,有 a ? b = 0

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( √ ) ( ? ) ( ? ) ( ? ) ( ? ) ( ? ) ( ? ) ( √ )

2?若 a ? 0 ,则对任一非零向量 b ,有 a ? b ? 0 3?若 a ? 0 , a ? b = 0,则 b = 0

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4?若 a ? b = 0,则 a 、 b 至少有一个为零 5?若 a ? 0 , a ? b = a ? c ,则 b = c

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6?若 a ? b = a ? c ,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立 7?对任意向量 a 、 b 、 c ,有( a ? b )? c ? a ?( b ? c )

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? ? ? 8?对任意向量 a ,有 a 2 = | a |2
二、讲解新课: 平面向量数量积的运算律 1.交换律: a ? b = b ? a

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证:设 a , b 夹角为?,则 a ? b = | a || b |cos?, b ? a = | b || a |cos?

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∴a ? b = b ? a

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2.数乘结合律:( ? a )? b = ? ( a ? b ) = a ?( ? b ) 证:若 ? > 0,( ? a )? b = ? | a || b |cos?, ? ( a ? b ) = ? | a || b |cos?, a ?( ? b ) = ? | a || b |cos?, 若 ? < 0,( ? a )? b =| ? a || b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?) = ? | a || b |cos?,

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? ? ? ? ? ( a ? b ) = ? | a || b |cos?,

? ? ? ? ? ? ? ? a ?( ? b ) =| a || ? b |cos(???) = ? ? | a || b |(?cos?) = ? | a || b |cos?
3.分配律:( a + b )? c = a ?c + b ? c 在平面内取一点 O,作 OA = a , AB = b , OC = c ,

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∵ a + b (即 OB )在 c 方向上的投影等于 a 、 b 在 c 方向上的投影和, 即 | a + b | cos? = | a | cos?1 + | b | cos?2

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∴| c | | a + b | cos? =| c | | a | cos?1 + | c | | b | cos?2 ∴ c ?( a + b ) = c ? a + c ? b

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即:( a + b )? c =

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? ? a ?c + b ?c
说明: (1)一般地,( a ? b ) c ≠ a ( b ? c ) (2) a ? c = b ? c , c ≠ 0

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? ? a =b ?


(3)有如下常用性质: a =| a | , (a +b ) ( c + d )= a ? c + a ? d + b ? c + b ? d ( a + b ) = a +2 a ? b + b


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三、讲解范例:

例 1 已知 a 、b 都是非零向量, 且 a + 3 b 与 7 a ? 5 b 垂直,a ? 4 b 与 7 a ? 2 b 垂直,求 a 与 b 的夹角

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解:由( a + 3 b )(7 a ? 5 b ) = 0 ? 7 a 2 + 16 a ? b ?15 b 2 = 0 ( a ? 4 b )(7 a ? 2 b ) = 0 ? 7 a 2 ? 30 a ? b + 8 b 2 = 0 两式相减:2 a ? b = b

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① ②

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?2 ?2
a ?b b2 1 ? ? 2 2 | a || b | 2 | b |
∴? = 60?

代入①或②得: a 2 = b

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设 a 、 b 的夹角为?,则 cos? =

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例 2 求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 解:如图:

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ABCD 中, AB ? DC , AD ? BC , AC = AB ? AD
2 2

∴| AC |2= | AB ? AD |2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD 而 BD = AB ? AD ∴| BD |2= | AB ? AD |2 ? AB ? AD ? 2 AB ? AD ∴| AC |2 + | BD |2 = 2 AB ? 2 AD = | AB |2 ? | BC |2 ? | DC |2 ? | AD |2 例 3 四边形 ABCD 中, AB = a , BC = b , CD = c , DA = d ,且 a ? b =
2 2

2

2

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? ? b ? c = c ? d = d ? a ,试问四边形 ABCD 是什么图形?
分析:四边形的形状由边角关系确定,关键是由题设条件演变、推算该四 边形的边角量 解:四边形 ABCD 是矩形,这是因为:
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一方面:∵ a + b + c + d =0, ∴ a + b =-( c + d ) ,∴( a + b ) =( c + d )


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即| a | +2 a ? b +| b | =| c | +2 c ? d +| d |
2 2 2

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由于 a ? b = c ? d , ∴| a | +| b | =| c | +| d | ①
2 2 2 2

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同理有| a | +| d | =| c | +| b | ②
2 2 2 2

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由①②可得| a |=| c |, 且| b |=| d |即四边形 ABCD 两组对边分 别相等 ∴四边形 ABCD 是平行四边形
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另一方面,由 a ?b = b ?c ,有 b ( a - c )=0,而由平行四边形 ABCD 可得 a =- c ,代入上式得 b ?(2 a )=0 即 a ? b =0,∴ a ⊥ b 也即 AB⊥BC 综上所述,四边形 ABCD 是矩形
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评述:(1)在四边形中, AB , BC , CD , DA 是顺次首尾相接向量,则 其和向量是零向量,即 a + b + c + d = 0 ,应注意这一隐含条件应用; (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积, 因为数量积的定义式中含 有边、角两种关系 四、课堂练习: 1 下列叙述不正确的是( ) A B
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C

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D a ? b 是一个实数
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2 已知 | a |=6,| b |=4, a 与 b 的夹角为60°,则 ( a +2 b ) ? ( a -3 b ) 等于
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( ) A 72
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B -72
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C 36
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D -36
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? ? ? 3 ? ? 3 ? 3 | a |=3,| b |=4,向量 a + b 与 a - b 的位置关系为( ) 4 4 ? A 平行 B C 夹角为 D 不平行也不垂直 3 ? ? ? ? ? ? 2 4 已知| a |=3,| b |=4,且 a 与 b 的夹角为 150°,则( a + b ) =
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5 已知| a |=2,| b |=5, a ? b =-3,则| a + b |=______,| a - b |=
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6 设| a |=3,| b |=5,且 a +λ b 与 a -λ b 垂直,则λ =
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参考答案:1 C
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2B
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4 2 5 -1+2 3
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5

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23

35


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五、小结 通过本节学习,要求大家掌握平面向量数量积的运算规律,掌握两 个向量共线、垂直的几何判断,能利用数量积的 5 个重要性质解决相关问题 六、课后作业 1 已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是(
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A 60°
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B 30°
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C 135°
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D 45°
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? ? ? ? ? ? ? 2 已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为 , 那么向量 m = a -4 b 的模为 () 3
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A2
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B2 3
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C6
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D 12
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3 已知 a 、 b 是非零向量,则| a |=| b |是( a + b )与( a - b )垂直的(
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A 充分但不必要条件 C 充要条件
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B

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D 既不充分也不必要条件
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4 已知向量 a 、 b 的夹角为
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? ? ? ? ? ? ? ,| a |=2,| b |=1,则| a + b |?| a - b |= 3

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5 已知 a + b =2 i -8 j , a - b =-8 i +16 j ,其中 i 、 j 是直角坐标系中 x 轴、y 轴
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正方向上的单位向量,那么 a ? b =

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6 已知 a ⊥ b 、 c 与 a 、 b 的夹角均为 60 °,且 | a |=1,| b |=2,| c |=3, 则
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( a +2 b - c ) =______


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7 已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a ?b ;(2)若 a 、b 的夹角为60°,
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求| a + b |

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(3)若 a - b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角

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8 设 m 、n 是两个单位向量, 其夹角为60°, 求向量 a =2 m + n 与 b =2 n -3 m
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的夹角
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9 对于两个非零向量 a 、b ,求使| a +t b |最小时的 t 值,并求此时 b 与 a +t b 的

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夹角

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参考答案:1 D
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4

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21 5 –63
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6 11
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7 (1)王新敞
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2

(2) 3 ?

2

(3)45

8 120°
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9 90
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七、板书设计(略) 八、课后记及备用资料: 1 常用数量积运算公式:在数量积运算律中,有两个形似实数的完全平方 和(差)公式在解题中的应用较为广泛
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即( a + b ) = a +2 a ? b + b , ( a - b ) = a -2 a ? b + b
2 2

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上述两公式以及( a + b )( a - b )= a - b 这一类似于实数平方差的公 式在解题过程中可以直接应用 2 应用举例
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例 1 已知| a |=2, | b |=5,a ?b =-3, 求| a + b |, |a -b |
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解:∵| a + b | =( a + b ) = a +2 a ? b + b =2 +2?(-3)
2 2 2

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+5 =23 ∴| a + b |= 23 ,∵(| a - b |) =( a - b ) = a -2 a ? b + b
2 2 2



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?2

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=2 -2?(-3)?5 =35,





∴| a - b |= 35 . 例 2 已知| a |=8,| b |=10,| a + b |=16,求 a 与 b 的夹角θ (精确 到1°)
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b + b =| a | +2| a |? 解: ∵ (| a + b |) = ( a + b ) = a +2 a ? |
2 2 2

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?2

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? ? b |cosθ +| b |2
∴16 =8 +2?8?10cosθ +10 , ∴cosθ =
2 2 2

23 ,∴θ ≈55° 40


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