福建省厦门双十中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷(Word版含解析)

2014-2015 学年福建省厦门双十中学高一(上)期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)Q 为有理数集,设集合 A={x∈Q|x>﹣1},则() A.φ?A B. ?A C . ∈A

D.{

}? A

2. (3 分)如图,U 是全集,M、P 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是()

A.M∩(?UP)

B.M∩P

C.(?UM)∩P

D.(?UM)∩(?UP)

3. (3 分)函数 f(x)= A.[1,2)∪(2,+∞) B. +∞)

的定义域为() (1,+∞) C. [1,2) D. [1,

4. (3 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a) 的两个零点分别位于区间() A.(b,c)和 (c,+∞) 内 B. (﹣∞,a)和(a,b)内 C. (a,b)和(b,c)内 D.(﹣∞,a)和(c,+∞) 内 5. (3 分)设 a=2 ,b=0.3 ,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 6. (3 分)已知函数 f(x)满足 f(x﹣1)=lgx,则不等式 f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,1) B.(1,2) C.(﹣∞,0) D.(﹣1,0) 7. (3 分)已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 g(x) ,则 g(1﹣x)的图象为()
0.3 2

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A.

B.

C.

D. 8. (3 分)若函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 是幂函数,则 f(x)一定() A.是偶函数 B. 是奇函数 C. 在 x∈(﹣∞,0)上单调递减 D.在 x∈(0,+∞)上单调递减 9. (3 分)某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量 x 要小 于 m,留出适当的空闲量,已知鱼群的年增加量 y(吨)和实际养殖量 x(吨)与空闲率(空 闲量与最大养殖量的比值叫空闲率)的乘积成正比(设比例系数 k>0) ,则鱼群年增长量的 最大值为() A. B. C. D.
2 m

10. (3 分)已知函数 f(x)满足 f(x)+1=

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区

间(﹣1,1]内,函数 g(x)=f(x)﹣logm(x+2)有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A.(0, ) B.(0, ] C.[3,+∞) D.(1,3]

二、填空题:本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分)f(x)的图象如图,则 f(x)的值域为.

12. (4 分)若 lg2=a,lg3=b,则 log43=. (用 a,b 表示)

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13. (4 分)若 B={﹣1,3,5},试写出一个集合 A=,使得 f:x→2x﹣1 是 A 到 B 的映射. 14. (4 分)计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低原来的 ,现在价格为 8100 的计算机,则 9 年后价格可将为.

15. (4 分)已知函数 f(x)= 如表: x … ﹣4 ﹣3 f(x) … ﹣0.4697 0.1667 0.30

,某同学利用计算器,算得 f(x)的部分与 x 的值

﹣2 ﹣1 ﹣0.4412 0.3889 …

0 1 ﹣0.3889

2 3 4 ﹣0.30 ﹣0.1667

… 0

请你通过观察,研究后,描述出关于 f(x)的正确的一个性质(不包括定义域)

16. (4 分)关于函数 f(x)=

(a>0,a≠1) ,有以下命题:

①函数图象关于轴对称; ②当 a>1 时,函数在(1,+∞)上为增函数; 2 ③当 0<a<1 时,函数有最大值,且最大值为 a ; 2 ④函数的值域为(a ,+∞) . 其中正确命题的序号是. (写出所有正确命题的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 52 分,解答题写出必要的文字说明,推演步骤. ) 17. (8 分)已知集合 M={x|﹣ax +2x+1=0}只有一个元素, 2 x +2x﹣1}. (1)求 A∩B; (2)设 N 是由 a 可取的所有值组成的集合,试判断 N 与 A∩B 的关系.
2

,B={y|y=﹣

18. (8 分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于教师引入概 念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生 的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x) 表示学生的接受能力,x 表示引入概念和描述问题所用的时间(单位:分钟) ,可有以下的 公式:

f(x)=

(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)一道数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟,教师能否及时在学生一直达到所需 接受能力的状态下讲授完这道难题? 19. (8 分)已知函数 f(x)=4 ﹣a?2
x x+1

﹣2.
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(Ⅰ)若 a=1,求 f(log23)的值; (Ⅱ)某同学研究的值域时的过程如下,请你判断是否正确,如果不正确,请写出正确的过 程. x 2 x x 2 2 f(x)=(2 ) ﹣2a?2 ﹣2=(2 ﹣a) ﹣a ﹣2 2 ∴f(x)的值域为[﹣a ﹣2,+∞) . 20. (8 分)函数 f(x)=x 和 g(x)=log3(x+1)的部分图象如图所示,设两函数的图象交 于点 O(0,0) ,A(x0,y0) . (Ⅰ)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)求证 x0∈( ,1) ; (Ⅱ)请通过直观感知,求出使 f(x)>g(x)+a 对任何 1<x<8 恒成立时,实数 a 的取 值范围.
2

21. (10 分)定义在(0,+∞)函数 f(x)满足:①当时 x>1,f(x)<﹣2; ②对任意 x,y∈(0,+∞) ,总有 f(xy)=f(x)+f(y)+2. (Ⅰ)求出 f(1)的值; (Ⅱ)解不等式 f(x)+f(x﹣1)>﹣4; (Ⅲ)写出一个满足上述条件的具体函数(不必说明理由,只需写出一个就可以) .

22. (10 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断 f(x)的单调性,并证明你的判断.

为偶函数.

(Ⅲ)是否存在实数 λ,使得当 x∈[ , ](m>0,n>0)时,函数 f(x)的值域为[2﹣λm, 2﹣λn],若存在,求出 λ 的取值范围,若不存在说明理由.

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2014-2015 学年福建省厦门双十中学高一(上)期中数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)Q 为有理数集,设集合 A={x∈Q|x>﹣1},则() A.φ?A B. ?A C . ∈A

D.{

}? A

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 计算题;集合. 分析: 注意到集合 A 中的元素是有理数,从而判断. 解答: 解:由题意, ??A, ?A, 故选 B. 点评: 本题考查了元素与集合的关系及集合与集合的关系,属于基础题. 2. (3 分)如图,U 是全集,M、P 是 U 的子集,则阴影部分所表示的集合是()

A.M∩(?UP)

B.M∩P

C.(?UM)∩P

D.(?UM)∩(?UP)

考点: Venn 图表达集合的关系及运算. 专题: 计算题. 分析: U 为全集,M,P 是集合 U 的子集,分析阴影部分元素满足的性质,可得答案. 解答: 解:由已知中阴影部分在集合 M 中,而不在集合 P 中 故阴影部分所表示的元素属于 M,不属于 P(属于 N 的补集) 即(CUP)∩M 故选 A. 点评: 本题考查了 Venn 图表达集合的关系及集合运算,其中正确理解阴影部分元素满足 的性质是解答本题的关键.

3. (3 分)函数 f(x)= A.[1,2)∪(2,+∞) B. +∞)

的定义域为() (1,+∞) C. [1,2) D. [1,

考点: 函数的定义域及其求法.
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专题: 计算题. 分析: 利用分式分母不为零,偶次方根非负,得到不等式组,求解即可. 解答: 解:由题意 解得 x∈[1,2)∪(2,+∝)

故选 A 点评: 本题是基础题,考查函数定义域的求法,注意分母不为零,偶次方根非负,是解题 的关键. 4. (3 分)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b)+(x﹣b) (x﹣c)+(x﹣c) (x﹣a) 的两个零点分别位于区间() A.(b,c)和 (c,+∞) 内 B. (﹣∞,a)和(a,b)内 C. (a,b)和(b,c)内 D.(﹣∞,a)和(c,+∞) 内 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点;又 函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点,即可判断出. 解答: 解:∵a<b<c, ∴f(a)=(a﹣b) (a﹣c)>0,f(b)=(b﹣c) (b﹣a)<0,f(c)=(c﹣a) (c﹣b)>0, 由函数零点存在判定定理可知:在区间(a,b) , (b,c)内分别存在一个零点; 又函数 f(x)是二次函数,最多有两个零点, 因此函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b) , (b,c)内. 故选 C. 点评: 熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键. 5. (3 分)设 a=2 ,b=0.3 ,c=log20.3,则 a,b,c 的大小关系是() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 考点: 对数值大小的比较. 专题: 计算题. 分析: 要比较三个数字的大小,可将 a,b,c 与中间值 0,1 进行比较,从而确定大小关 系. 2 解答: 解:∵0<0.3 <1 log20.3<0 0.3 2 >1 2 0.3 ∴log20.3<0.3 <2 ,即 c<b<a 故选 B. 点评: 本题主要考查了对数值、 指数值大小的比较, 常常与中间值进行比较, 属于基础题. 6. (3 分)已知函数 f(x)满足 f(x﹣1)=lgx,则不等式 f(x)<0 的解集为() A.(﹣∞,1) B.(1,2) C.(﹣∞,0) D.(﹣1,0) 考点: 对数函数的图像与性质.
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0.3 2

专题: 函数的性质及应用. 分析: 求出函数 f(x)的解析式,然后再求不等式 f(x)<0 的解集. 解答: 解:令 x﹣1=t,∴x=t+1,t+1>0, 所以 f(t)=lg(t+1) , 函数 f(x)的解析式为:f(x)=lg(x+1) , 不等式 f(x)<0 化为 lg(x+1)<0 即:lg(x+1)<0 所以不等式的解集为: (﹣1,0) 故选 D. 点评: 本题考查其他不等式的解法,对数的运算性质,考查计算能力,是基础题. 7. (3 分)已知函数 f(x)=log2x 的反函数为 g(x) ,则 g(1﹣x)的图象为()

A.

B.

C.

D. 考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)=log2x 的反函数为 g(x)=2 ,可得 g(1﹣x)=2 用指数函数的单调性及其 x=0 时的函数值即可得出. 解答: 解:函数 f(x)=log2x 的反函数为 g(x)=2 , 则 g(1﹣x)=2
1﹣x x x 1﹣x

=

,利

=

,当 x=0 时,g(1)=1,

再利用单调性可知图象为 C. 故选:C. 点评: 本题考查了互为反函数的求法、指数函数的单调性,属于基础题. 8. (3 分)若函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 是幂函数,则 f(x)一定() A.是偶函数 B. 是奇函数 C. 在 x∈(﹣∞,0)上单调递减 D.在 x∈(0,+∞)上单调递减 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用.
2 m

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分析: 根据幂函数的定义得 m ﹣m﹣1=1 求出 m 的值,再判断出函数 f(x)的奇偶性、 单调区间,即可得到正确答案. 解答: 解:因为函数 f(x)=(m ﹣m﹣1)x 是幂函数, 2 2 所以 m ﹣m﹣1=1,即 m ﹣m﹣2=0,解得 m=2 或 m=﹣1, 即 f(x)=x 或
2 2 2 m

2



因为 f(x)=x 是偶函数,在(﹣∞,0)上递减,在(0,+∞)上递增, 是奇函数,在(﹣∞,0) , (0,+∞)上递减, 所以 f(x)一定在(﹣∞,0)上递减, 故选:C. 点评: 本题考查幂函数的定义,以及幂函数的性质,属于基础题. 9. (3 分)某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量 x 要小 于 m,留出适当的空闲量,已知鱼群的年增加量 y(吨)和实际养殖量 x(吨)与空闲率(空 闲量与最大养殖量的比值叫空闲率)的乘积成正比(设比例系数 k>0) ,则鱼群年增长量的 最大值为() A. B. C. D.

考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可得,y=kx? 解答: 解:由题意可得, y=kx? ≤ ( )=
2

, (k>0,0<x<m) ,利用基本不等式求最值.

, (k>0,0<x<m) , ,

(当且仅当 x=m﹣x,即 x= 时,等号成立) 故选 B. 点评: 本题考查了实际问题转化为数学问题的能力,属于中档题. 10. (3 分)已知函数 f(x)满足 f(x)+1= ,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,若在区

间(﹣1,1]内,函数 g(x)=f(x)﹣logm(x+2)有两个零点,则实数 m 的取值范围是() A.(0, ) B.(0, ] C.[3,+∞) D.(1,3]

考点: 函数的零点与方程根的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 把函数的零点转化为两函数图象的交点,求出函数 f(x)的解析式,利用数形结 合即可得到结论.
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解答: 解:∵f(x)+1= ∴x∈(﹣1,0)时,x+1∈(0,1) , 则 f(x)+1= ∴f(x)═ ﹣1, = ,

,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,

若函数 g(x)=f(x)﹣logm(x+2)有两个零点, 则由 g(x)=f(x)﹣logm(x+2)=0 得 f(x)=logm(x+2)有两个根, 即 y=f(x)与 y=g(x)=logm(x+2)的图象有两个交点, 函数图象如图, 当 0<m<1 时,函数 y=logm(x+2)单调递减,此时不满足条件, 当 m>1 时,函数 y=logm(x+2)单调递增,若两函数有两个交点, 则满足当 x=1 时,g(1)≤1,即 logm3≤1,解得 m≥3, 故选:C

点评: 本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围, 考查了函数零点与函数图象 与 x 轴的交点之间的关系,体现了数形结合的思想,和应用图象解决问题的能力. 二、填空题:本大题 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 11. (4 分)f(x)的图象如图,则 f(x)的值域为[﹣4,3].

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的图象与图象变化. 函数的性质及应用. 利用函数的图象求函数的最大值和最小值,从而求得函数的值域. 解:由函数的图象可得,当 x=5 时,函数取得最小值为﹣4,函数的最大值为 3,
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故函数的值域为[﹣4,3], 故答案为[﹣4,3]. 点评: 本题主要考查函数的图象的特征, 利用函数的图象求函数的最大值和最小值, 属于 基础题.

12. (4 分)若 lg2=a,lg3=b,则 log43=

. (用 a,b 表示)

考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知得 log43= = = .

解答: 解:∵lg2=a,lg3=b, ∴log43= 故答案为: = . = .

点评: 本题考查对数值的求法, 是基础题, 解题时要认真审题, 注意换底公式的合理运用. 13. (4 分)若 B={﹣1,3,5},试写出一个集合 A={0,2,3},使得 f:x→2x﹣1 是 A 到 B 的映射. 考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据映射的定义, 分别令 2x﹣1=﹣3, ﹣1,3, 解得 x 的对应值, 即可得到集合 A. 解答: 解:根据映射的定义,分别令 2x﹣1=﹣1,3,5,解得 x=0,2,3, 从而得到集合 A={0,2,3}, 故答案为 {0,2,3}. 点评: 本题主要考查映射的定义,属于基础题.

14. (4 分)计算机成本不断降低,若每隔 3 年计算机价格降低原来的 ,现在价格为 8100 的计算机,则 9 年后价格可将为 300. 考点: 专题: 分析: 解答: 数列的应用. 计算题. 由题意,逐次计算出三年后,六年后,九年后的价格即可 解:由题意,现在价格为 8100 的计算机,

三年后价格 8100× . 六年年后价格 8100×( ) . 九年后价格 8100×( ) =300.
3 2

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故答案为 300. 点评: 本题属于简单应用题,根据题意依次求解,属于数列的简单应用

15. (4 分)已知函数 f(x)= 如表: x … ﹣4 ﹣3 f(x) … ﹣0.4697 0.1667 0.30

,某同学利用计算器,算得 f(x)的部分与 x 的值

﹣2 ﹣1 ﹣0.4412 0.3889 …

0 1 ﹣0.3889

2 3 4 ﹣0.30 ﹣0.1667

… 0

请你通过观察,研究后,描述出关于 f(x)的正确的一个性质在 R 上递增(不包括定义域) 考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 通过自变量 x 的增加,函数值随着增加,则函数 f(x)= 由单调性定义加以证明即可. 解答: 解:通过自变量 x 的增加,函数值随着增加, 则函数 f(x)= 在 R 上递增. 在 R 上递增.再

证明:设 m<n,则 f(m)﹣f(n)=

=
m n


m n m n

由于 m<n,则 2 <2 ,即 2 ﹣2 <0,又 2 >0,2 >0, 则 f(m)﹣f(n)<0,即有函数 f(x)= 在 R 上递增.

故答案为:在 R 上递增 点评: 本题考查函数的性质和运用, 考查通过图象观察得到结论, 再由单调性定义证明的 方法,属于基础题.

16. (4 分)关于函数 f(x)=

(a>0,a≠1) ,有以下命题:

①函数图象关于轴对称; ②当 a>1 时,函数在(1,+∞)上为增函数; 2 ③当 0<a<1 时,函数有最大值,且最大值为 a ; 2 ④函数的值域为(a ,+∞) . 其中正确命题的序号是①②③. (写出所有正确命题的序号)

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考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①利用偶函数的概念与性质可判断①;

②令 g(x)=

=|x|+

=

,利用复合函数的单调性可判断②;

③利用 y=|x|+

≥2(当且仅当|x|=1,即 x=±1 时取“=”)及复合函数的性质可判断,当 0<

a<1 时,函数的最值,可判断③; ④利用②③的结论可判断④.

解答: 解:①,∵f(x)的定义域为{x|x≠0},且 f(﹣x)=

=

=f(x) ,

∴f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称,即函数图象关于轴对称,故①正确;

②,令 g(x)=

=|x|+

=



当 x>1 时,g′(x)=1﹣
x

>0,y=g(x)在(1,+∞)上为增函数;

当 a>1 时,函数 y=a 在(1,+∞)上为增函数,由复合函数的单调性质可得,当 a>1 时, 函数 y=f(x)在(1,+∞)上为增函数,故②正确; ③,由于 y=|x|+ ≥2(当且仅当|x|=1,即 x=±1 时取“=”) ,
x

当 0<a<1 时,函数 y=a 在(0,1) , (﹣∞,﹣1)单调递减;在(1,+∞) , (﹣1,0)上 单调递增, ∴0<a<1,x=±1 时函数有最大值,且最大值为 a ,故③正确; 2 2 ④,当 a>1 时,函数的值域为(a ,+∞) ;当 0<a<1 时,函数的值域为(0,a ],故④ 错误. 综上所述,正确命题的序号是①②③, 故答案为:①②③. 点评: 本题考查函数的性质,着重考查函数的奇偶性、对称性、复合函数的单调性及函数 的值域,考查转化思想. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 52 分,解答题写出必要的文字说明,推演步骤. ) 17. (8 分)已知集合 M={x|﹣ax +2x+1=0}只有一个元素, 2 x +2x﹣1}. (1)求 A∩B; (2)设 N 是由 a 可取的所有值组成的集合,试判断 N 与 A∩B 的关系. 考点: 交集及其运算;集合关系中的参数取值问题. 专题: 计算题.
2 2

,B={y|y=﹣

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分析: (1)由 x+1≥0,得 A={x|x≥﹣1};由 y=﹣x +2x﹣1=﹣(x﹣1) ,得 B={y|y≤0}, 由此能求出 A∩B. (2)由集合 M={x|﹣ax +2x+1=0}只有一个元素,解得 a=0,或 a=﹣1.故 N={﹣1,0},由 此得到 N?(A∩B) . 解答: 解: (1)由 x+1≥0,得 x≥﹣1, ∴A={x|x≥﹣1}; 由 y=﹣x +2x﹣1=﹣(x﹣1) ,得 y≤0, ∴B={y|y≤0}, ∴A∩B={x|﹣1≤x≤0}. 2 (2)∵集合 M={x|﹣ax +2x+1=0}只有一个元素, ∴当 a=0 时,方程 2x+1=0 只有一个实数解,符合题意; 当 a≠0 时,△ =4﹣4(﹣a)=0, 解得 a=﹣1. ∴N={﹣1,0}, ∴N?(A∩B) . 点评: 本题考查交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进 行等价转化. 18. (8 分)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生的接受能力依赖于教师引入概 念和描述问题所用的时间.讲座开始时,学生的兴趣激增;中间有一段不太长的时间,学生 的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析结果和实验表明,用 f(x) 表示学生的接受能力,x 表示引入概念和描述问题所用的时间(单位:分钟) ,可有以下的 公式:
2 2 2

2

2

f(x)=

(1)开讲后多少分钟,学生的接受能力最强?能维持多长时间? (2)一道数学难题,需要 55 的接受能力以及 13 分钟,教师能否及时在学生一直达到所需 接受能力的状态下讲授完这道难题? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)求学生的接受能力最强其实就是要求分段函数的最大值,方法是分别求出各 段的最大值取其最大即可; (2)令 f(x)=55,分段求出 x,两个时间之差就是持续的时间,最后和 13 分钟比较大小 即可. 2 2 解答: 解: (1)当 0<x≤10 时,f(x)=﹣0.1x +2.6x+43=﹣0.1(x﹣13) +59.9,为开口 向下的二次函数,对称轴为 x=13 故 f(x)递增,最大值为 f(10)=59;当 10<x≤16 时,f(x)=59;当 30≥x>16 时,f(x) 为减函数,且 f(x)<59,因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59) ,能维 持 6 分钟时间. (2)当 0<x≤10 时,令 f(x)=55,解得 x=6 或 x=20(舍去) ,

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当 16<x≤30 时,令 f(x)=55,解得 x=17 因此学生达到(含超过)55 的接受能力的时间为 17 ﹣6=11 <13, 故老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题. 点评: 本题考查分段函数,考查分段函数图象和增减性,此题学生容易出错,原因是学生 把分段函数定义理解不清,自变量取值不同,函数解析式不同是分段函数最显著的特点. 19. (8 分)已知函数 f(x)=4 ﹣a?2 ﹣2. (Ⅰ)若 a=1,求 f(log23)的值; (Ⅱ)某同学研究的值域时的过程如下,请你判断是否正确,如果不正确,请写出正确的过 程. f(x)=(2 ) ﹣2a?2 ﹣2=(2 ﹣a) ﹣a ﹣2 2 ∴f(x)的值域为[﹣a ﹣2,+∞) . 考点: 复合函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)若 a=1,根据对数的运算法则即可求 f(log23)的值; (Ⅱ)利用换元法结合一元二次函数的性质即可求出函数的值域. x x+1 解答: 解: (Ⅰ)若 a=1,f(x)=4 ﹣2 ﹣2. 则 f(log23)= =( ) ﹣2×3﹣2=9﹣6﹣2=1;
2 x 2 x x 2 2 x x+1

(Ⅱ)不正确: x 2 x x 2 2 f(x)=(2 ) ﹣2a?2 ﹣2=(2 ﹣a) ﹣a ﹣2, x 令 t=2 ,则 t>0, 2 2 则函数等价为 y=g(t)=(t﹣a) ﹣a ﹣2, 若 a≤0,则函数在(0,+∞)上为增函数,此时 y=g(t)>g(0)=﹣2, 若 a>0,则当 t=a 时,函数取得最小值,此时 y=g(t)≥g(t)=﹣a ﹣2, 综上当 a≤0 时,函数的值域为(﹣2,+∞) , 2 当 a>0 时,函数的值域为[﹣a ﹣2,+∞) . 点评: 本题主要考查与指数函数有关的性质是运算, 利用换元法结合一元二次函数的性质 是解决本题的关键. 20. (8 分)函数 f(x)=x 和 g(x)=log3(x+1)的部分图象如图所示,设两函数的图象交 于点 O(0,0) ,A(x0,y0) . (Ⅰ)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (Ⅱ)求证 x0∈( ,1) ; (Ⅱ)请通过直观感知,求出使 f(x)>g(x)+a 对任何 1<x<8 恒成立时,实数 a 的取 值范围.
2 2

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考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 计算题;作图题;函数的性质及应用. 2 分析: (Ⅰ)由图象特征可知,C1 是 g(x)=log3(x+1)的图象,C2 对应 f(x)=x ; 2 (Ⅱ)令 F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣log3(x+1) ,利用函数的零点判定定理证明; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,F(1)=1﹣log32>0,且由图象可知,a<1﹣log32. 解答: 解: (Ⅰ)C1 是 g(x)=log3(x+1)的图象, 2 C2 对应 f(x)=x ; 2 (Ⅱ)证明:令 F(x)=f(x)﹣g(x)=x ﹣log3(x+1) , ∵F( )= ﹣log3( +1)=log32﹣ <0, F(1)=1﹣log32>0, 故存在 x0∈( ,1) ,使 F(x0)=0, 即 x0 是函数 f(x)=x 和 g(x)=log3(x+1)的图象的交点; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,F(1)=1﹣log32>0, 且由图象可知, a<1﹣log32. 点评: 本题考查了幂函数与对数函数的区别及函数图象的应用,属于中档题. 21. (10 分)定义在(0,+∞)函数 f(x)满足:①当时 x>1,f(x)<﹣2; ②对任意 x,y∈(0,+∞) ,总有 f(xy)=f(x)+f(y)+2. (Ⅰ)求出 f(1)的值; (Ⅱ)解不等式 f(x)+f(x﹣1)>﹣4; (Ⅲ)写出一个满足上述条件的具体函数(不必说明理由,只需写出一个就可以) . 考点: 抽象函数及其应用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1)+2,从而解得; (Ⅱ)令 y= ,x>1,则有 f(1)=f(x)+f(y)+2,从而可推出 f(y)>﹣2,则 f(x) +f(x﹣1)>﹣4 可化为即 f(x(x﹣1) )>﹣2,从而解得;
2

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(Ⅲ)f(x)=

x﹣2.

解答: 解: (Ⅰ)令 x=y=1,则 f(1)=f(1)+f(1)+2; 则 f(1)=﹣2; (Ⅱ)令 y= ,x>1,则有 f(1)=f(x)+f(y)+2, 则 f(y)=﹣4﹣f(x) , 又∵x>1 时,f(x)<﹣2; ∴f(y)>﹣2, f(x)+f(x﹣1)>﹣4 可化为 f(x(x﹣1) )﹣2>﹣4, 即 f(x(x﹣1) )>﹣2,





解得,1<x< (Ⅲ)f(x)=

; x﹣2.

点评: 本题考查了抽象函数的性质判断与应用,属于中档题.

22. (10 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)判断 f(x)的单调性,并证明你的判断.

为偶函数.

(Ⅲ)是否存在实数 λ,使得当 x∈[ , ](m>0,n>0)时,函数 f(x)的值域为[2﹣λm, 2﹣λn],若存在,求出 λ 的取值范围,若不存在说明理由. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数奇偶性的定义即可求实数 a 的值; (Ⅱ)根据函数单调性的定义即可证明 f(x)的单调性. (Ⅲ)根据函数的单调性将条件关系转化为一元二次方程根的取值范围即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= = 为偶函数,

∴f(﹣x)= 即﹣(a+1)=a+1, 解得 a=﹣1.

=



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(Ⅱ)当 a=﹣1 时,f(x)=



则函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数,在(﹣∞,0)为减函数. 证明:设 0<x1<x2,则 f(x1)﹣f(x2) = = = .

∵0<x1<x2, ∴x1+x2>0,x1﹣x2<0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2) . 故函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 同理可证在(﹣∞,0)为减函数. (Ⅲ)∵函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数 ∴若存在实数 λ,使得当 x∈[ , ](m>0,n>0)时,函数 f(x)的值域为[2﹣λm,2﹣λn],

则满足




2



即 m,n 是方程 x ﹣λx+1=0 的两个不等的正根.

则满足





,解得 λ>2,

故存在 λ>2,使得结论成立. 点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及一元二次方程根与系数之间的关系, 综合考查函数的性质.

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