[教案精品]新课标高中数学人教A版必修二全册教案2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质(

第三课时 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质

(一)教学目标 1.知识与技能 (1)使学生掌握直线与平面垂直,平面与平面垂直的性质定理; (2)能运用性质定理解决一些简单问题; (3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 2.过程与方法 (1)让学生在观察物体模型的基础上,进行操作确认,获得对性质定理正确性的认识;

3.情感、态度与价值观

通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑

推理能力.

(二)教学重点、难点

两个性质定理的证明.

(三)教学方法

学生依据已有知识和方法,在教师指导下,自主地完成定理的证明、问题的转化.

教学过程

教学内容

师生互动

设计意图

问题 1:判定直线和平面垂

直的方法有几种?

问题 2:若一条直线和一个

师投影问题. 学生思考、讨 复 习 巩 固

新课导入

平面垂直,可得到什么结论?若 论问题,教师点出主题

以旧带新

两条直线与同一个平面垂直

呢?

一、直线与平面垂直的性质

生:借助长方体模型 AA′、 借 助 模

定理

BB′、CC′、DD′所在直线都垂直 型教学,培

1.问题:已

于平面 ABCD,它们之间相互平 养 几 何 直

知直线 a、b 和平

行,所以结论成立.

观能力.,反

面 ? ,如果

师:怎么证明呢?由于无 证 法 证 题

探索新知 a ? ?, b ? ? ,那

法把两条直线 a、b 归入到一个 是 一 个 难

么直线 a、b 一定平行吗? 已知 a ? ?, b ? ?

平面内,故无法应用平行直线 点,采用以 的判定知识,也无法应用公理 教师为主,

求证:b∥a.

4,有这种情况下,我们采用“反 能 起 到 一

证明:假定 b 不平行于 a, 证法”

个示范作

设 b ? =0

师生边分析边板书.

用,并提高

探索新知

b′是经过 O 与直线 a 平行的

上课效率.

直线

∵a∥b′, a ??

∴b′⊥a

即经过同一点 O 的两线 b、

b′都与 ? 垂直这是不可能的,

因此 b∥a.

2.直线与平面垂直的性质

定理

垂直于同一个平面的两条

直线平行

简化为:线面垂直 ? 线线

平行

二、平面与平面平行的性质

教师投影问题,学生思考、

定理

观察、讨论,然后回答问题

1.问题

生:借助长方体模型,在

黑板所在平面与地面所在 长方体 ABCD – A′B′C′D′中,面

平面垂直,你能否在黑板上画一 A′ADD′⊥面 ABCD,A′A⊥AD,

条 直 线 与 地 面 垂 直 ? AB⊥A′A ∵ AD A?A ? A

∴A′A⊥面 ABCD

本例

故只需在黑板上作一直线 题 的 难 点

2 . 例 1 设 ? ? ? , 与两个平面的交线垂直即可.

? ? =CD,AB ? ? ,AB⊥CD,

师:证明直线和平面垂直

AB⊥CD = B 求证 AB ? ?

一般都转化为证直线和平面内

是构造辅 助线,采用 分析综合

两条交线垂直,现 AB⊥CD,需 法 能 较 好

证明:在 ? 内引直线 BE⊥

找一条直线与 AB 垂直,有条件 ? ?? 还没有用,能否利用 ? ? ? 构造一条直线与 AB 垂直

地解决这 个问题.

CD,垂足为 B,则∠ABE 是二 呢?

面 角 ? ?CD ? ? 的 平 面 角 . 由

生:在面 ? 内过 B 作 BE⊥

? ? ? 知 , AB ⊥ BE, 又 AB ⊥ CD 即可.

CD,BE 与 CD 是 ? 内的两条相

师:为什么呢?

交直线,所以 AB⊥ ?

学生分析,教师板书

3.平面与平面垂直的性质

典例分析 随堂练习

定理

两个平面垂直,则一个平面

内垂直于交线的直线与另一个

平面垂直

简记为:面面垂直 ? 线面

垂直.

例2如

师投影例 2 并读题

图,已知平面

生:平行

?,? ,? ? ? ,

师:证明线面平行一般策

直线 a 满足

略是什么?

a ? ? , a ? ? ,试判断直线 a

生:转证线线平行

与平面? 的位置关系.

师:假设内一条直线 b∥a

解:在 ? 内作垂直于 ? 与 则 b 与? 的位置关系如何?

? 交线的直线 b, 因为 a ? ? ,所以 b ? ? 因为 a ? ? ,所以 a∥b. 又因为 a ? ? ,所以 a∥? .

生:垂直 巩固所学
师:已知 b ? ?,? ? ? ,怎 知识,训练
样作直线 b? 化归能力.
生:在? 内作 b 垂直于? 、

即直线 a 与平面? 平行.

? 的交线即可.

例 3 设平面? ⊥平面 ? ,

学生写出证明过程,教师

巩固所学

点 P 作平面 ? 的垂线 a,试判断 投影.

知识,训练

直线 a 与平面? 的位置关系?

师投影例 3 并读题,师生

分类思想

证明:如图,设? ? = c, 共同分析思路,完成证题过程,

化归能力

过点 P 在平

然后教师给予评注.

及思维的

面? 内作直

师:利用“同一法”证明

灵活性.

线 b⊥c,根

问题主要是在按一般途径不易

据平面与平

完成问题的情形下,所采用的

面垂直的性

一种数学方法,这里要求做到

质定理有

两点.一是作出符合题意的直线

b?? .

不易想到,二是证直线 b 与直

因为过一点有且只有一条 线 a 重合,相对容易一些,本 直线与平面 ? 垂直,所以直线 a 题注意要分类讨论,其结论也

与直线 b 垂合,因此 a ? ? .

可作性质用.

1.判断下列命题是否正确, 学生独立完成

正确的在括号内画“√”错误的

巩固、所学

画“×”.

知识

(1)a.垂直于同一条直线

的两个平面互相平行. ( √ )

b.垂直于同一个平面的两

条直线互相平行. ( √ )

c.一条直线在平面内,另

一条直线与这个平面垂直,则这

两条直线互相垂直. ( √ )

(2)已知直线 a,b 和平面

? ,且 a⊥b,a⊥? ,则 b 与?

的位置关系是

.

答案:b∥? 或 b ? ? . 2.(1)下列命题中错.误.的

是( A ) A.如果平面? ⊥平面 ? ,

那么平面 ? 内所有直线垂直于 平面 ? .

B.如果平面? ⊥平面 ? ,

那么平面 ? 内一定存在直线平 行于平面 ? .

C.如果平面? 不垂直平面 ? ,那么平面? 内一定不存在直

线垂直于平面 ? .

D.如果平面? ⊥平面 ? ,

平面 ? ⊥平面 ? ,? ? ? l ,那

么l ?? .

(2)已知两个平面垂直,

下列命题( B )

①一个平面内已积压直线

必垂直于另一平面内的任意一

条直线.

②一个平面内的已知直线

必垂直于另一个平面的无数条

直线.

③一个平面内的任意一条

直线必垂直于另一个平面.

④过一个平面内任意一点

作交线的垂线,则此垂线必垂直

于另一个平面.

其中正确命题的个数是( )

A.3 B.2 C.1 D.0

3.设直线 a,b 分别在正方

体 ABCD – A′B′C′D′中两个不同

的面所在平面内,欲使 a∥b,a,

b 应满足什么条件?

答案:不相交,不异面

4.已知平面? , ? ,直线

a,且? ? ? ,? ? ? AB ,a∥

? ,a⊥AB,试判断直线 a 与直 线 ? 的位置关系.

答案:平行、相交或在平面

?内

回顾、

1.直线和平面垂直的性质

反思、归纳

归纳总结

2.平面和平面垂直的性质

学生归纳总结,教材再补 知 识 提 高

3.面面垂直 线面垂直 充完善.

自我整合

线线垂直

知识的能

力.

课后作业

2.3 第三课时 习案

学生独立完成

固化知识 提升能力

备选例题

例 1 把直角三角板 ABC 的直角边 BC 放置桌面,另一条直角边 AC

与桌面所在的平面? 垂直,a 是? 内一条直线,若斜边 AB 与 a 垂直,

则 BC 是否与 a 垂直?

【解析】

AC a?

? ?

?

? ? ?

?

a? a? AC

AC AB
AB

?

? ? ? A??

a ? 平面ABC ? ? BC ? 平面ABC?? ? a ? BC

【评析】若 BC 与? 垂直,同理可得 AB 与? 也垂直,其实质是三垂线定理及逆定理,

证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法:“线线垂直→线面垂直→线线垂直” . 例 2 求证:如果两个平面都垂直于第三个平面,则它们的交线垂直于第三个平面.已
知 ? ⊥r, ? ⊥r,? ∩ ? = l,求证:l⊥r. 【分析】根据直线和平面垂直的判定定理可在 r 内构造两相交直线分别与平面? 、? 垂
直.或由面面垂直的性质易在? 、 ? 内作出平面 r 的垂线,再设法证明 l 与其平行即可. 【证明】法一:如图,设? ∩r = a ,? ∩r = b,在 r 内任取一点 P.过
点 P 在 r 内作直线 m⊥a,n⊥b. ∵ ? ⊥r, ? ⊥r, ∴m⊥a,n⊥ ? (面面垂直的性质). 又 ? ∩ ? = l, ∴l⊥m,l⊥n.又 m∩n = P,m,n ? r ∴l⊥r. 法二:如图,设? ∩r = a, ? ∩r = b,在? 内作 m⊥a,在 ? 内作 n⊥b. ∵ ? ⊥r, ? ⊥r, ∴m⊥r,n⊥r. ∴m∥n,又 n ? ? ,m ? ? , ∴m∥ ? ,又? ∩ ? = l,m ? ? , ∴m∥l, 又 m⊥r,∴l⊥r. 【评析】充分利用面面垂直的性质构造线面垂直是解决本题的关键.证法一充分利用面
面垂直、线面垂直、线线垂直相互转化;证法二涉及垂直关系与平行关系之间的转化.此题 是线线、面面垂直转化的典型题,通过一题多解,对沟通知识和方法,开拓解题思路是有益 的.


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