等价无穷小量的比较与应用_图文

微积分I
教师:陈新宏 单位:数学与计算科学学院
1

§2、5 无穷小的比较与应用
1、无穷小量 2、无穷大量 3、无穷小量的比较 4、等价无穷小量的替换
2

复习:两个重要极限

公式1、 limsin x ? 1. x x?0

特点

10 0

类型

变形 lim x sin 1 ? 1.

x??

x

2.

sin ? ??

?

上下一致

相似: lim sin x ? 0. 及 x?? x

lim x sin 1 ? 0.

x?0

x

证明:用夹逼定理或无穷小的性质

注意

要看清楚是 sin 0 or sin ?

3

公式2、

lim?? x???

1

?

1 x

?x ? ?

?

e

变形

1
lim( 1 ? x )x ? e
x?0

特点 1. 1? 形式 2.内外倒数

相似:

lim ??1 ?

1

x
? ?

?

0

x?0? x ?



1
lim (1? x) x ? 0
x??

注意

要看清楚是 1? or ?0

4

一、无穷小量

1、定义1 极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小。

例如:(1) lim(x ?1) ? 0, x?1 所以 x ?1 为 x ?1 时的无穷小量.

(2).lim 1 ? 0,

1
所以

为 n ? ? 时的无穷小量.

n?? n

n

注意 (1)无穷小量是一个变量. 不要与很小的数混淆.

(2)无穷小量必须要指明相应的极限过程。

5

2、无穷小的性质

性质1. 有限个无穷小的代数和仍为无穷小.

性质2. 有限个无穷小的乘积仍为无穷小.

性质3. 无穷小量与有界变量的乘积是无穷小.

例如, (1).lim sin 2x x?? x

? lim 1 ? sin 2x x?? x

? 0.

(2).lim x ? cos 1 ? 0.

x?0

x

(3).

lim
x??

arctan x2

x

?

lim
x??

1 x2

? arctanx

? 0.

6

例1

lim
x??

3x

4x 2?

?2 4x ?

1

?2

?

3

sin

x?



?

lim
x??

4x ? 2 3x2 ? 4x ?1

?

0

且 2 ? 3sin x ? 5

? lim 4x ? 2 ?2 ? 3sin x? ? 0
x?? 3x2 ? 4x ?1

7

练习一下
例 2 lim x3 ? 2x ? 5 ?2 ? cos x ? 3sin x?
x?? 3x5 ? 4x ?1
8

定理 1

无穷小与 极限的关系

lim y ? A ? y ? A ? ? , lim? ? 0

lim f ( x ) ? A ? f ( x ) ? A ? ? , lim ? ? 0

x? x0

x? x0

( x?? )

( x?? )

9

二、无穷大量

定义2 极限为 ?的变量称为无穷大量,简称无穷大。

记作: lim y ? ?

例如. lim 1 ? ? 所以 1 为 x ? 0 时的无穷大量.

x?0 x

x

注意 (1)无穷大量是一个变量,不要与很大的数混淆.

(2)无穷大量必须指明极限过程。

(3)无穷大量与无穷小量的关系。
10

思考题: 无穷大量有没有与无穷小量类似的性质?
11

三、无穷小量阶的比较

当 x ? 0 时, x ,3x , x2 , sin x 都是无穷小.



x2

lim
x?0

3x

?

0

sin x

lim
x?0

x2

?

?

sin x

lim
x?0

x

?1

lim x ? 1 x?0 3x 3

定义3 设?、?是在同一个极限过程中的无穷小,? ? 0.

1)若 lim ? ? 0, 则称 ? 是比? 高阶的无穷小, 记作 ? ? o?? ?;
?
2)若 lim ? ? ?, 则称 ? 是比? 低阶的无穷小;
?

3)若 lim ? ? c ? 0, 则称 ? 与 ? 是同阶无穷小;
?

4)若 lim ? ? 1, 则称 ? 与 ? 是等价无穷小, 记作? ~ ? .

?

12

例3、判断下列无穷小的阶:

(1)4x3,3x2 (x ? 0)

(2) 1 , 1 (n ? ?) n n2

(3)x2 ?16, x ? 4 (x ? 4) (4) 1 , 1 ?n ? ??.
n n?1

? ? 解:

?1?lim x?0

4x3 3x2

? 0,

所以 x ? 0 时, 4x3 ? o 3x2

1

?2?? lim n??

n 1

? ?,

?当n

?

?时,

1 n

是比

1 n2

低阶的无穷小.

n2

?3?? lim x2 ?16 ? 8, 所以 x ? 4 时,x2 ?16与 x ? 4 是同阶无穷小
x?4 x ? 4

1

?4?? lim n ? 1, ? 1 ~ 1 ?n ? ??.

x?0 1

n n?1

n ?1

注意:等价与 相等不一样
13

记住 当 x ? 0 时, 常见的等价无穷小量有

sin x ~ x

tan x ~ x

1? cosx

~

x2 2

ln?1 ? x? ~ x ex ?1 ~ x

arcsinx ~ x arctanx ~ x

14

四、等价无穷小量的替换

若?, ?1, ?, ?1均为x ? a时的无穷小量,

且? ~ ?1 , ? ~ ?1 , 则有

lim ? ? lim ?1

? x?a

? x?a 1

证明:

?

lim

? lim ? ? ?1 ? ?1

? lim ?1

? x?a

? x?a 1

?1

?

? x?a 1

此公式只适用于乘除
注意
但不适用加减
15

例4求 lim sin 5x x?0 tan 3x

? sin 5x ~ 5x

tan 3x ~ 3x

? 原式 ? lim 5x ? 5 x?0 3x 3

16

例5



lim
x?0

tan x ? sin x x3

解 ? tan x ~ x sin x ~ x

? 原式 ? lim x ? x ? 0 错误 x?0 x3

17

正确做法:

tan x ? sin x

lim

x?0

x3

? lim sin x?1? cosx?
x?0 x3 cosx

? sin x ~ x

1? cosx

~

x2 2

? 原式 ? lim

x x2 2

?1

x?0 x3 cos x 2

18

例6、已知当 x ?时0, a ? b cos x ~ ?a ?1?x2

求常数 a, b

解 由lim?a ? bcosx? ? 0 知 a ? b ? 0 即 b ? ?a

x?0



lim
x?0

a ? b cos x
?a ? 1?x2

?

lim
x?0

a?1 ? cos x? ?a ? 1?x2

? ? ? lim

a

1 2

x2

x?0 a ? 1 x 2

?

a
2?a ?

1?

?

1

知 a ? ?2 从而 b ? 2

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练习一下
cos?sin x??1
例7 求 lim x?0 3x arctanx
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提高题目

例8 已知

y

?

x2 x3

x ?1 ?1

则,x ?

为无穷小量

则,x ? 为无穷大量

21

要求
(1)知道无穷小量与无穷大量 (2)熟记简单的等价无穷小量
两条经验
(1).一条性质:无穷小量乘以有界变量还是无穷小量 (2).无穷小量的替换只能用在乘除不能用在加减
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求极限的方法总结
1 x?? 除
2 x ? x0 代入
3、两个重要公式 凑
4、三个充要条件 5、无穷小量X有界变量=无穷小量 6、夹逼定理 7、等价无穷小量的替换 8、罗比他法则(以后讲)
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作业 P54 5
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