第这章随机变量的数字特征_图文

第5章 随机变量的数字特征
5.1 数学期望 5.2 方差与标准差 5.3 协方差与相关系数 *5.4 矩 *5.5 条件数学期望(条件均值)

随机变量的数字特征是能够描述随机变量基本面貌和代表 随机变量主要特征的数字。

5.1 数学期望

5.1.1 随机变量的数学期望 随机变量的数学期望代表所有随机变量取值的加权平均值,

也简称为均值。 1. 离散型随机变量的数学期望
定义1 若离散型随机变量X的分布律是

P(xi)=P{X=xi}=pi (i=1,2,3,…)

? ? 且级数 xipi 绝对收敛( ? xk pk ? ?? ),则称此级数 xipi

i

k

i

? 为X的数学期望(或均值),记为EX。即 EX ? xipi

i

说明:
离散型随机变量的数学期望等于随机变量的各个取值
与对应概率的乘积之和。
均值与X的取值x1,…xn,…的排列次序无关,故要求
? xipi 绝对收敛,若此级数不绝对收敛,则称EX不存在。
i

例1 甲、乙两射手的稳定成绩分别为

X(甲环数) 8 9 10 概率 0.3 0.1 0.6

Y(乙环数) 8 9 10

概率

0.2 0.4 0.4

试比较甲、乙两射手孰优孰劣。

解:甲的平均环数 EX ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.1 ? 10 ? 0.6 ? 9.3 乙的平均环数 EY ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.4 ? 10 ? 0.4 ? 9.2
故可认为甲略优于乙。

上述算法明确体现了加权平均的思想:若变量X取值xi的概率 p(xi)较大,则这个xi就对平均数的影响较大(或贡献较大)。概率 p(xi)具有权衡xi地位轻重的作用,称为权重系数。加权平均的思 想不同于算术平均的思想。

随机变量的数学期望代表了随机变量取值的集中位置。

例2 若X服从二项分布B(n,p),求EX。



n

n

? ? EX ? kCknpkqn?k ? kCknpkqn?k

k?0

k?1

? ? n
?k

n!

n
pkqn?k ? np

(n ? 1)!

p k ?1q n ? k

k?1 k!(n ? k)!

k?1 (k ? 1)!(n ? k)!

? ? n?1
? np
i?k?1 i?0

i

(n ? 1)! piqn?1?i !(n ? 1 ? i)!

?

n?1
np Cin?1piqn?1?i
i?0

? np(p ? q)n?1 ? np

该结果说明:具有概率p的事件A在n重伯努利试验中平均出 现np次。

例3 若X服从泊松分布P(?),求EX。



? ? ? EX

?

?
xkpk
k?0

?

?

?k k

e??

k?0 k!

?

?

?k k

e??

k?1 k !

? ? ?
?

?k

?
e?? ? ?e??

? k ?1

k?1 (k ? 1)!

k?1 (k ? 1)!

? ? ?e?? ? ?i ? ?e??e?

i?k?1

i?0 i !

??
X服从泊松分布时,EX=λ说明事件A在一个n重伯努利试验

试验中平均出现λ次。

例4 几何分布的期望

若P(X=k)=pqk-1 ( k=1,2,…), 则 EX ? 1。
p

? 证明

EX ?

? ? ?
kqk?1p ? p
k?1

1 1?q

2

?

1 p

例5

若X取值 xk ? (?1)k 对应的概率值为 P(X

2k
k ?

, x

k

k ? 1, ) ? pk

2, ?

3, 1 2k

,

k ? 1, 2, 3,

讨论其EX存在与否。

? ? 解

?
| xk
k?1

| ?pk

?

? k?1

1,该级数发散,故EX不存在。 k

? ? ?
虽然, xkpk
k?1

?

? (?1)k k?1 k

?

?(1 ? 1 2

?1? 3

1? 4

收敛,但EX不存在。

) ? ? ln 2

例6 设想这样一种博彩游戏,博彩者将本金1元压注在1到6

的某个数字上,然后掷三颗骰子,若所压的数字出现i次

(i=1,2,3)次,则下注者赢i元,否则没收1元本金,试问这样的

游戏规则对下注者是否公平?

解 设下注者的每1元注金带来的盈利是个随机变量X。

X的一切可能值为:-1, 1, 2, 3

可以用考察EX是否等于零来评价这一游戏规则对下注者

是否有利。

设掷3次骰子,恰好出现所压的数字的次数为Y,则

Y~B(3,1/6)

P(Y

?

k)

?

C 3k

? ??

1 6

k
? ??

? ??

5 6

3?k
? ??

k ? 0,1, 2, 3

而Y=0时,X=-1; Y=1时, X=1; Y=2时, X=2; Y=3时, X=3; 所以,X的分布律为

? ?1

? ???

C03

? ??

1 6

0
? ??

? ??

5 6

3
? ??

1

C13

? ??

1 6

1
? ??

? ??

5 6

2
? ??

2

C32

? ??

1 6

2
? ??

? ??

5 6

1
? ??

3?

C33

? ??

1 6

3
? ??

? ??

5 6

0
? ??

? ???

? ?1 1 2 3 ?



? ?

125

75

15

1

? ?

? 216 216 216 216 ?

EX ? ?1? 125 ? 1? 75 ? 2 ? 15 ? 3 ? 1 ? ? 17 216 216 216 216 216

由于平均赢利小于0,故这一游戏规则对下注者是不利的

(每平均玩216次,下注者将输17元)。

离散型随机变量函数的数学期望

一维离散型随机变量函数的数学期望

设X是离散型随机变量, Y=f(X)是X的函数。

X的分布律是:P(X=xi)=pi i=1,2,3,…

? ? 若 f (xi ) ? pi绝对收敛( f (xk ) pk ? ??),

i

k

则函数f(X)的数学期望存在,记为Ef(X),且有

? Ef (X) ? f (xi ) ? pi
i
二维离散型随机变量函数的数学期望

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为

P{X=xi,Y=yj}=pij (i,j=1,2,…)

? 如果 g(xi , yj ) pij收敛,则g(X,Y)的数学期望存在,记为

Eg(X,Yi, j ),且有

? Eg(X, Y) ? g(xi , yj )pij

i,j

例7 设X的分布律为

X

-1

0

1

3

P

1/8

1/4

3/8

1/4

求EX, E(-X+2) , EX2。
解 EX=(-1)?(1/8)+0?(1/4)+1?(3/8)+3?(1/4)=1 E(-X+2)=[-(-1)+2]?(1/8)+(-0+2)?(1/4)+ +(-1+2)?(3/8)+(-3+2)?(1/4) =1
EX2=(-1)2?(1/8)+02?(1/4)+12?(3/8)+32?(1/4)=22/8

2.连续型随机变量的数学期望
??
? 定义2 若随机变量X有密度函数?(x),且积分 | x | ?(x)dx ??
? 收敛,则称积分 x?(x)dx为X的数学期望,记?为? EX,即
??
??
EX ? ? x?(x)dx
??

例8 设X服从正态分布N(a,?2),求EX。



? ? ??

??

EX ? x?(x)dx ? x

??

??

1

e dx ?

(

x ?a )2 2?2

2??

令u? x?a ?
?

? 1

??

u2

?

(?u ? a)e 2 ?du

2?? ??

? ? ?

?

??

u2

?

ue 2 du ?

a

?? u2 ?
e 2 du

2? ??

2? ??

? ? ?0 ? a ?1 ? a 2?

积分函数是奇函数, 在(-∞,+∞)内积分为0

? (其中用到 ? e?x2 dx ? ? )

0

2

所以, X服从正态分布N(a,?2)时,EX=a

例9 设X服从(a,b)内的均匀分布,求EX。 解 X的密度函数为

f

(x)

?

?? ?

b

1 ?

a

a?x?b

?? 0

其它

? ? ??

b

EX ? xf (x)dx ? x

1

dx

??

a b?a

? b2 ? a2 ? a ? b 2(b ? a) 2

可见,均匀分布的数学期望是区间(a,b)的中点。

例10 设X服从参数a>0的指数分布,求EX 解 X的密度函数为

?ae?ax x ? 0

f (x) ? ? ?

0

x?0

??

??

? ? EX ? xf (x)dx ? x ? ae?axdx

??

0

??

??

? ? ? ? xde?ax ? ?xe?ax ?? ? e?axdx 0

0

0

? ? 1 e?ax ?? ? 1 a 0a

连续型随机变量函数的数学期望

一维连续型随机变量函数的数学期望

对连续型随机变量X的函数g(X), X的密度函数为?(x) ,

??

??

若积分? | g(x) | ?(x)dx收敛,则积分? g(x)?(x)dx称为连续

型随机?变? 量X的函数g(X)的数学期望?,? 记为Eg(X), 即

??
Eg(X) ? ? g(x)?(x)dx
??
证明略。但该结论很重要,给出了计算连续型随机变量的函

数的数学期望的方法。

例11 设X服从柯西分布,证明EX不存在

证 X的密度函数为

f

(x)

?

1 ?(1 ?

x2)

? ? ??
??

|

x

|

f

(x)dx

?

?? ??

|

x

|

?

?(1

1 ?

x2

)

dx

? ? ?

??
2
0

x ?(1 ?

x2

)

dx

?

?? 0

?(1

1 ?

x2

)

d(1

?

x2

)

?

1

??
ln(1 ? x2 )

?

lim

1

ln(1 ?

x2)

?

?

?

0

? x???

所以, X服从柯西分布时,EX不存在。

例12 若X服从[0, 2?]上的均匀分布,求E(sin X)

解 X的密度函数:

?1

?(x)

?

? ?

2?

0 ? x ? 2?

?? 0 其它

? ? 由于

??

2?

| sin x | ?(x)dx ? | sin x | ?

1

dx

??

0

2?

? ? ?
? sin x ?

1

2?
dx ? (?sin x) ?

1

dx ?

2

0

2?

?

2? ?

绝对收敛,所以E(sinX)存在,且

? ? ??

2?

E(sin X) ? sin x?(x)dx ? sin x ?

1

dx ? 0

??

0

2?

二维连续型随机变量函数的数学期望

设二维连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y),如果

?? ??
? ? g(x, y) f (x, y)dxdy ?? ??
收敛,则g(X,Y)的数学期望存在,记为Eg(X,Y) ,且有

特别有

?? ??

? ? Eg(X, Y) ?

g(x, y)f (x, y)dxdy

?? ??

? ? ? ? ? EX ?

?? ??

??
xf (x, y)dxdy ?
??

?? ??

x

? ??

?? ??

f

(x,

y)dy???dx

?

??
?? xfX (x)dx

? ? ? ? ? EY ?

?? ??

??
yf (x, y)dxdy ?
??

?? ??

y

? ??

?? ??

f

(

x,

y)dx

???dy

?

??
?? yfY (y)dy

式中fX(x) 和fY(y)分别为为X和Y的密度函数。

例12 设二维连续型随机变量(X,Y)服从半圆域D上的均匀分布, 其中D={(x,y):x2+y2≤1,y≥0},求EX,EY和EX3Y。 解 (X,Y)的联合密度函数为

f(x,

y)

=

?? ?

2 π

当x2 + y2 ? 1 且 y ? 0

??0

其他



?? ? ? EX ?

x ? 2dxdy ? 2

1
dx

1?x2
xdy ? 0

D?

? ?1 0

2

21

1?x2

4

EY

?

??
D

y

?

dxdy ?

?

?

? ?dx ?1 0

ydy ? 3?

?? ? ? E(X3Y) ?

x3y ? 2dxdy ? 2 1 (x3

1?x2
ydy)dx ? 0

D

?

? ?1 0

5.1.3 数学期望的性质 性质1 一个常数c的数学期望等于这个常数,即
Ec=c 证 将常数c看成一个离散变量,它服从单点分布,即X=c,
P(X=c)=1, 由定义得 Ec=EX=c?P(X=c)=c?1=c

性质2 设c是常数,若X的数学期望EX存在,则EcX也存在,

且有 EcX=cEX

证 以连续型X为例。设X的密度函数为?(x), 而积分

??

??

? | cx | ?(x)dx ?| c | ? | x | ?(x)dx

由于EX存在?? 且收敛,故EcX??存在。故有

??

??

EcX ? ? cx?(x)dx ? c ? x?(x)dx ? cEX

??

??

性质3 若随机向量(X?Y)的数学期望(EX,EY)存在,则X+Y的数

学期望也存在,且有 E(X+Y) = EX+EY 。

证 以连续型(X?Y)为例。设联合密度函数为f(x,y),

因为EX, EY存在,则

? ? ? ? ?? ?? | x | f (x, y)dxdy, ?? ??

?? ??
| y | f (x, y)dxdy

收敛

?? ??

?? ??

?? ??

? ? ? ? | x ? y | f (x, y)dxdy ?

(| x | ? | y |)f (x, y)dxdy

?? ??

?? ??

?? ??

?? ??

? ? ? ? ?

| x | f (x, y)dxdy ?

| y | f (x, y)dxdy

?? ??

?? ??

? ? 所以,?? ?? | x ? y | f (x, y)dxdy 有界,则积分绝对收敛。 ?? ??

?? ??

? ? E(X ? Y) ?

(x ? y)f (x, y)dxdy

?? ??

?? ??

?? ??

? ? ? ? ?

xf (x, y)dxdy ?

yf (x, y)dxdy ? EX ? EY

?? ??

?? ??



类似地,若随机变量的函数f(X),g(Y)的数学期望Ef(X), Eg(Y)存在,则f(X)+g(Y)的数学期望也存在,且有
特别的 E ?f (X) ? g(Y)? ? Ef (X) ? Eg(Y)
E(X ? Y) ? EX ? EY 性质4 若E随(a机X 向? b量Y(X??Yc))的?数aE学X期?望bEEXY,?EcY存在,且
X?Y相互独立,则E(XY)也存在,且有 E(XY) = EX·EY

证 以连续型(X?Y)为例。设联合密度函数为?(x,y),

因为X, Y相互独立,则 ?(x, y) ? ?X (x)?Y (y)

?? ??

?? ??

? ? ? ? ??

| xy | ?(x, y)dxdy ?
??

??

?? (| x | ? | y |)?X (x)?Y (y)dxdy

??

??

? ? ? ?? | x | ?X (x)dx ? ?? | y | ?Y (y)dy ? ??

? ? 所以,??

??
| xy | ?(x, y)dxdy

收敛,E(XY)存在,且有

?? ??

?? ??

?? ??

? ? ? ? E(XY) ?

??

(xy)?(x, y)dxdy ?
??

??

?? (xy)?X (x)?Y (y)dxdy

??

??

? ? ? ?? x?X (x)dx ? ?? y?Y (y)dy ? EX ? EY

性质5 如a≤X≤b,则EX存在,且a≤EX≤b。

利用数学期望的性质,可使一些随机变量的数学期望的 计算简化。 这些性质还可以推广到n个随机变量X1, X2, …, Xn
E(c1X1+c2X2+…+cnXn )=c1EX1+c2EX2+…+cnEXn 若X1, X2, …, Xn 相互独立,则
E(X1X2…Xn)= EX1EX2 …EXn

例14 在n次独立试验中,每次成功的概率为p,设Xi为“第i 次试验成功的次数”,则Xi有分布律

Xi

0

1

概率 1-p p 其中 i=1,2, …,n

n次试验中成功的次数Y=X1+X2+…+Xn ,求EY 解 因为 P(Xi=1)=p, P(Xi=0)=1-p ,
EXi=1?p+0?(1-p)=p (i=1,2,…,n)
EY=E(X1+X2+…+Xn)=EX1+EX2+…+EXn=np 由此可知,当随机变量服从参数为n,p的二项分布时,

其数学期望为二项分布的期望,即Y~B(n,p),EY=np

随机变量的数学期望由其概率分布完全决定,具有相

同分布的随机变量必定有相同的数学期望。

5.2 方差与标准差
在解决实际问题时,常常除了要了解随机变量的数学期望 外,还需了解随机变量的取值在数学期望附近波动的情况。

例15 甲、乙两个化验员分析同种样品各5次,得下表结果:

甲(X) 5.2 5.1 5.0 4.9 4.8

乙(Y) 6.0 5.5 5.0 4.5 4.0

由此求得

EX ? 5.2 ? 1 ? 5.1? 1 ? 5.0 ? 1 ? 4.9 ? 1 ? 4.8 ? 1 ? 5.0

5

5

5

5

5

EY ? 6.0 ? 1 ? 5.5 ? 1 ? 5.0 ? 1 ? 4.5 ? 1 ? 4.0 ? 1 ? 5.0

5

5

5

5

5

虽然其均值相同,但甲分析的结果发散程度(波动程度)较

小,乙的发散程度较大,说明甲的分析比乙的分析稳定。

如何表示发散程度——偏离重心EX的程度?

想法1: 5 ? | X ? EX | 的均值 ? | xi ? EX | pi

i?1

?| 5.2 ? 5 | ? 1 ? | 5.1 ? 5 | ? 1 ? | 5 ? 5 | ? 1 ? | 4.9 ? 5 | ? 1 ? | 4.8 ? 5 | ? 1

5

5

5

5

5

? 0.12

绝对值在求导数和积分计算中较麻烦,而X-EX有可能因正

负抵消而使E(X-EX)=0。

想法2:

5

? (X ? EX)2的均值 ? (x ? EX)2 p

i

i

i ?1

1

1

1

1

1

? (5.2 ? 5)2 ? ? (5.1 ? 5)2 ? ? (5 ? 5)2 ? ? (4.9 ? 5)2 ? ? (4.8 ? 5)2 ?

5

5

5

5

5

? 0.02

用平方项可避免在计算中的麻烦,反映随机变量取值的波

动程度时可采用此方法。

5.2.1 方差与标准差 定义 设X是随机变量, 若E(X-EX)2存在, 则称E(X-EX)2为X 的方差,记为DX(或VarX) , 即
DX=E(X-EX)2 对非负数DX,因其量纲是X量纲的平方,不便使用, 故在应用中引入与随机变量X量纲相同的量 D(X),并 称 为标准差或均方差,记为σ(X),即
?(X) ? E(X ? EX)2 ? D(X)
(1) 对 离 散 型 随 机 变 量 X, 若 已 知 其 分 布 律 P(X=xi)=pi, (i=1,2,…)则
? DX ? (xi ? EX)2 p(xi )
i

(2) 对连续型X,若已知密度函数??x?,则
? DX ? ?? (x ? EX)2 ?(x)dx ??
计算方差的常用公式:
DX ? EX2 ? (EX)2
证 由于EX是一个常数,故有
DX ? E(X ? EX)2 ? E[X2 ? 2X(EX) ? (EX)2 ] ? EX2 ? 2(EX)EX ? E(EX)2 ? EX2 ? 2(EX)2 ? (EX)2 ? EX2 ? (EX)2

方差小,说明随机变量所取的值密集分布在其数学期

望左右; 方差大,说明随机变量所取的值与其数学期望差异较
大(较分散)。 方差是刻划随机变量X取值波动程度的一个量。
例15 甲、乙两射手的稳定成绩分别为

X(甲环数) 8 9 10 Y(乙环数) 8 9 10

概率

0.3 0.1 0.6

概率

0.2 0.4 0.4

试计算甲、乙两射手成绩的方差和标准差。

解 甲的EX ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.1 ? 10 ? 0.6 ? 9.3

甲的DX ? (8 ? 9.3)2 ? 0.3 ? (9 ? 9.3)2 ? 0.1 ? (10 ? 9.3)2 ? 0.6

? 0.81 (环2 )

或者:EX2 ? 82 ? 0.3 ? 92 ? 0.1 ? 102 ? 0.6 ? 87.3 DX ? EX2 ? (EX)2 ? 87.3 ? 9.32 ? 0.81 (环2 ) 甲的标准差?X ? DX ? 0.90 (环) 乙的EY ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.4 ? 10 ? 0.4 ? 9.2 乙的DY ? (8 ? 9.2)2 ? 0.2 ? (9 ? 9.2)2 ? 0.4 ? (10 ? 9.2)2 ? 0.4
? 0.56 (环2 ) 或者:EY2 ? 82 ? 0.2 ? 92 ? 0.4 ? 102 ? 0.4 ? 85.2 DY ? EY2 ? (EY)2 ? 85.2 ? 9.22 ? 0.56 (环2 ) 乙的标准差?Y ? DY ? 0.75 (环)
可见,从平均成绩看,甲略优于乙;从成绩的稳定性看, 乙比甲稳定。

例16 设随机变量X服从(0~1)分布,求DX 。 解 X服从(0~1)分布,即
P{X=1}=p, P{X=0}=1-p=q EX=1·p+0·q=p EX2=12·p+02·q=p 所以 DX= EX2-(EX)2=p-p2=p(1-p)=pq

例17 设随机变量X服从(a,b)上的均匀分布,求DX。



?1

密度函数?(x)

?

? ?b

?

a

a?x?b

?? 0

其它

EX ? a ? b 2

? ? EX2 ? ?? x2?(x)dx ? b x2 ? 1 dx ? 1 (a2 ? ab ? b2 )

??

a b?a 3

DX

?

EX2

?

(EX)2

?

1 (a2 3

?

ab

?

b2 )

?

? ??

a

? 2

b

2
?

??

? 1 (b ? a)2 12

例18 设随机变量X服从二项分布B(n,p),求DX和 DX。

? ? 解

EX2

?

n
k2Ckn pkqn?k
k?0

?

n
k2
k ?1

?

n!

? pkqn?k

k!(n ? k)!

? ? n
? np k ?

(n ? 1)!

n?1
? pk?1qn?k ? np (i ? 1) ?

(n ? 1)!

? piqn?1?i

k?1 (k ? 1)!(n ? k)!

i?k?1 i?0

i!(n ? 1 ? i)!

? ? n?1
? np i ?

(n ? 1)!

n ?1
? piqn?1?i ? np

(n ? 1)!

? piqn?1?i

i?0 i!(n ? 1 ? i)!

i?0 i!(n ? 1 ? i)!

?n?1
? np

(n ? 1)!

? piqn?1?i ? np(p ? q)n?1

i?1 (i ? 1)!(n ? 1 ? i)!

?n?2
? n(n ? 1)p2

(n ? 2)!

? pkqn?2?k ? np

k?i?1

k?0 k!(n ? 2 ? k)!

? n(n ? 1)p2 (p ? q)n?2 ? np ? n(n ? 1)p2 ? np ? (np)2 ? npq

DX ? EX2 ? (EX)2 ? (np)2 ? npq ? (np)2 ? npq 于是 DX ? npq

例19 设随机变量X服从泊松分布P(?),求DX。

? ? 解 EX2 ? ? k2 ?k e?? ? ? k ?k e??

k?0 k!

k?1 (k ? 1)!

? ? ? ? ? (i ? 1) ?i?1 e?? ? ? i ?i?1 e?? ? ? ?i?1 e??

i?k?1 i?0

i!

i?0 i!

i?0 i!

? ? ?
?

?i?1 e?? ? ?e?? ? ?i

i?1 (i ? 1)!

i?0 i!

? ? ? ? ?k?2 e?? ? ? ? ?2e?? ? ?k ? ? ? ?2 ? ?

k! k?i?1 k?0

k?0 k!

DX ? EX2 ? (EX)2 ? ?2 ? ? ? ?2 ? ?

例20 设随机变量X服从正态分布N(a,?2),求DX。

解 由于EX ? a,

? 得 DX ?

??
(x ? EX)2

??

1

( x ?a )2
?
e dx 2?2

2??

??
?? (x ? a)2 ??

1

( x ?a )2

令u ? x ? a

?

?

e dx 2?2 ?

2??

?2

??

2

? u2
2

2? ? u e du ??

??

? ?2
?

??

u2

(?u)de? 2 ?

?2

u2
(?u)e? 2

2? ??

2?

? ?2
?

??

u2

e? 2 d(?u)

2? ??

??

? ?2
?0?

??

u2

e? 2 du ? ?2

2? ??

? (其中利用 e dx ? ? ?x2 ? )

0

2

所以,方差DX ? ?2 , 均方差?(X) ? DX ? ?

可见,正态分布N(a,σ2)中的参数σ就是标准差,σ2是方差。

例21 几何分布的方差:若P{X=k}=qk-1p



DX

?

q。
p2

证 EX ? 1 p

k=1,2,…

?

?

? ? EX2 ? k2qk?1p ? (k2 ? k ? k)qk?1p

k?1

k?1

?

?

? ? ? pq (k2 ? k)qk?2 ? kqk?1p

k?2

k?1

=

pq

2
?1 ? q?3

?

1 p

?

2q p2

?

1 p

?

DX

?

EX2

?

(EX)2

?

q p2

例22

证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过

1 4



证 设X表示事件A在一次试验中发生的次数,即

?1, 事件A发生 X = ??0, 事件A不发生
且P?X=1?=p, P?X ? 0? ? 1 ? p ? q

由EX=p,EX2 ? 12 ? p ? 02 ? q ? p

得DX ? EX2 ? ?EX?2 ? p ? p2 ? p ?1 ? p?

?

? ??

p

?1? 2

p

2
?

??

?

1 4

(这里使用了不等式 ab ? a ? b) 2

例23 设随机变量X服从参数为a的指数分布,求DX。

? ? 解 EX2 ? ?? x2 ? ae?axdx ? ? ?? x2d(e?ax )

0

0

? ? ? - x2e?ax ?? + ?? 2xe?axdx ? ? 2 ?? xd(e?ax )

0

0

a0

? ? ? 2 xe?ax ?? ? 2

a

0a

?? e?axdx
0

?

?2 a2

e?ax

?? 0

?

2 a2

? DX

?

EX2

? ?EX?2

?

2 a2

?

1 a2

?

1 a2

分布类型

二项分布X~B(n,p)

P{X=k}=

C

k n

p

k

q

n?k

q=1-p,0≤k≤n 泊松分布X~P(λ) P{X=k}= ?k e??k=0,1,…
k!
几何分布X~G(p) P{X=k}=pqk-1

k=1,2,…;q=p-1

?1

均匀分布X~U[a,b]f

(x)

?

? ?

b

?

a

当a ? x ? b

? ?

0

当x ? a, x ? b

指数分布X~E(a)

f

(x)

?

??ae?ax ?

当x ? 0

?? 0 当x ? 0

正态分布X~N(a,σ2)
f (x) ? 1

( x ?a )2
?
e 2?2 (?? ? x ? ??)

2??

数学期望
np
λ 1 p
a?b 2
1 a
a

方差
npq
λ q p2
(b ? a)2 12
1 a2
σ2

5.2.2 方差的性质 性质1 Dc=0 (c是任意常数) 证明 Dc=E(c-Ec)2=E(c-c)2=0 (DX=0 的 充 分 必 要 条 件 是 : X 以 概 率 1 取 常 数 c; 即 P(X=c)=1。) 性质2 D(cX)=c2DX (c是任意常数) 证明 D(cX) ? E[cX ? E(cX)]2
? E(cX ? cEX)2 ? c2E(X ? EX)2 ? c2DX
性质3 D(X+c)=DX 证明 D(X ? c) ? E(X ? c ? E(X ? c))2
? E(X ? c ? EX ? c)2 ? E(X ? EX)2 ? DX

性质4 当X?Y相互独立时,D(X?Y)=DX+DY
证 D(X ? Y) ? E[(X ? Y) ? E(X ? Y)]2 ? E[(X ? EX) ? (Y ? EY)]2 ? E[(X ? EX)2 ? 2(X ? EX)(Y ? EY) ? (Y ? EY)2 ] ? E(X ? EX)2 ? 2E[(X ? EX)(Y ? EY)] ? E(Y ? EY)2 由于X,Y相互独立,E(XY) ? EX ? EY E[(X ? EX)(Y ? EY)] ? E(XY ? XEY ? YEX ? EX ? EY) ? E(XY) ? E(XEY) ? E(YEX) ? E(EX ? EY) ? EX ? EY ? EY ? EX ? EX ? EY ? EX ? EY ? 0 所以,D(X ? Y) ? E(X ? EX)2 ? E(Y ? EY)2 ? DX ? DY

性质4可推广到如下情形:

若X1, X2, …, Xn 相互独立,则

n
? D(X1 ? X2 ? ? Xn ) ? DXi
i?1

一般地(非独立),对n个随机变量X1, X2, …, Xn,有

n

? ? ? D(X1 ? X2 ? ? Xn ) ? DXi ? 2

cov(Xi , X j)

i?1

i? j

其中cov(Xi , X j ) ? E(Xi ? EXi )(X j ? EX j )

例24 在例18的n次重复独立试验中,设每次成功的概率 为p,Xi表示第i次试验成功的次数,X1,X2, …,Xn相互独 立,且Xi服从参数为p的(0-1)分布。求X1+X2 + …+Xn 的 方差。 解 DXi ? p(1 ? p) ? pq
利用性质4的推广
n
? ? D(X1 ? X2 ? ? Xn ) ? DXi ? npq
i?1
相比较例18的方法,这里的方法更简单。

5.3 协方差与相关系数
定义 对二维随机向量(X?Y),称函数(X-EX)(Y-EY)的数学 期望为X与Y的协方差,记为cov(X?Y),即
cov(X?Y)=E(X-EX)(Y-EY) (cov是covariance协方差的缩写。“协”——“协同”) 显然有
cov(X?Y)=cov(Y,X) DX=cov(X,X) DY=cov(Y,Y) cov(X?Y)=E(XY)-EXEY cov(aX,bY)=abcov(X,Y)

证明
cov(X, Y) ? E[(X ? EX)(Y ? EY)] ? E(XY ? XEY ? YEX ? EXEY) ? E(XY) ? EXEY ? EXEY ? EXEY ? E(XY) ? EXEY
cov(aX, bY) ? E(aXbY) ? E(aX)E(bY) ? abE(XY) ? abEXEY ? ab[E(XY) ? EXEY] ? ab cov(X, Y)

定理1 对二维随机向量(X?Y)

(1) 若X?Y相互独立,则 cov(X?Y)=0

(2) [cov(X?Y)]2≤DXDY

证明 ∵ cov(X?Y)=E(XY)-EXEY

(1)由于X,Y相互独立, E(XY)=EXEY

∴ cov(X?Y)=E(XY)-EXEY=EXEY-EXEY=0

(2)略

定义 若X与Y的方差都不等于0,记随机变量X?Y的相关

系数为ρX?Y(简记为 ρ )

? ? cov(X, Y) DX DY

相关系数只是X与Y间线性关系程度的一种量度。

定理2 对给定的二维随机向量(X?Y),ρ为X?Y的相关系数。 若X,Y相互独立,则ρ=0; -1≤ρ≤1;当且仅当X,Y之间有严格的线性关系时,等号
成立。 证明 由相关系数ρ的定义及定理1知
∴ 若X,Y?相?互c独oDvX立(X,,DYY则) ρ?=0DX0 DY ? 0 注意:
当相关系数ρ=0时,称X?Y不相关。 当X,Y独立时, ρ=0(随机变量必不相关); 但反过来, ρ=0(随机变量不相关)时, X?Y未必独立。 随机变量“X?Y独立”是比“X?Y不相关”更强的概念。

例25 二维随机向量(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ12,σ22, r的二维正态分布。证明X,Y的相关系数为ρ,且X,Y

独立的充要条件是 X,Y不相关。



cov(X, Y) ? E(X ? EX)(Y ? EY)

?? ??

? ? ?

(x ? a)(y ? b)f (x, y)dxdy

?? ??

? ??1?2

? cov(X, Y) ? ??1?2 ? ? DX DY ?1?2

由X,Y独立的充要条件是ρ=0,得X,Y不相关,且独 立性与不相关性等价。

定理3 若(X?Y)是给定的二维随机向量,则 (1) E(XY)=EX·EY+cov(X?Y) (2) D(X?Y)=DX+DY?2cov(X?Y) 特别地,对不相关的随机变量X?Y,必有
E(XY)= EX·EY D(X?Y)=DX+DY 若X1,X2,…,Xn相互独立,则必有

n

n

D(? Xi ) ? ? DXi

i?1

i?1

证 (1) 由于 cov(X, Y) ? E(XY) ? EX ? EY 所以,E(XY) ? EX ? EY ? cov(X, Y)
(2) D(X ? Y) ? E[(X ? Y) ? E(X ? Y)]2 ? E[(X ? EX) ? (Y ? EY)]2 ? E[(X ? EX)2 ? 2(X ? EX)(Y ? EY) ? (Y ? EY)2 ] ? E(X ? EX)2 ? 2E(X ? EX)(Y ? EY) ? E(Y ? EY)2 ? DX ? DY ? 2 cov(X, Y)

例25 设X的密度函数为 ?(x) = 1 e-|x|
2
(1)求X, |X|的相关系数ρ;

(2)X,|X|是否独立?

? ? 解 (1)

EX ?

??
x?(x)dx ?

??

x

?

1

e?|x|dx

奇函数
?

0

??

?? 2

? ? ? E | X |?

??
| x | ?(x)dx ?

??
|

x

|

?

1

e?|x|dx

?

2

?? x ? 1 e?xdx ? 1

??

??

2

02

cov(X,| X |) ? E[(X ? EX)(| X | ?E | X |)]

??

??

(x

?

0)(|

x

|

?1)

?

1

e?|x|dx

奇函数
?

0

??

2

? ? cov(X, | X | ) ? 0, DX D | X |

X, | X | 不相关

(2) 对任意正实数a ? 0,

P(X ? a,| X |? a) ? P(X ? a, ?a ? X ? a) ? P(?a ? X ? a)

? ? ? ?

a
?(x)dx ?

a 1 e?|x|dx ? 2 a 1 e?xdx ? 1 ? e?a

?a

?a 2

02

? ? P(X ? a) ?

a
?(x)dx ?

a 1 e?|x|dx

??

?? 2

? ? ? 0 1 exdx ? a 1 e?xdx ? 1 ? 1 (1 ? e?a ) ? 1 ? 1 e?a

?? 2

02

22

2

P(| X |? a) ? P(?a ? X ? a) ? 1 ? e?a

所以,P(X ? a,| X |? a) ? P(X ? a) ? P(| X |? a) X,| X | 不独立

X,|X|不独立,但相关系数ρ=0,即X,|X|“不相关”不能说明 它们“独立”

例26 设向量(X?Y)的联合密度函数为

f

(x,

y)

?

?8xy

? ?

0

0 ? x ? 1, 0 ? y ? x 其它

试求EX,EY,DX? DY? cov(X?Y),ρ,D(5X-3Y)。

解 (为求数学期望和方差,可先求边缘分布再作计算;

也可用联合密度直接计算。)

? ? ? ? EX ?

??

??

dx xf (x, y)dy ?

1
dx

x x ? 8xydy ? 4

??

??

0

0

5

? ? ? ? EX2 ?

??
dx

?? x2f (x, y)dy ?

1
dx

x x2 ? 8xydy ? 2

??

??

0

0

3

DX

?

EX2

?

(EX)2

?

2 3

?

? ??

4

2
?

5 ??

?

2 75

? ? ? ? EY ?

??

??

dx yf (x, y)dy ?

1
dx

x
y ? 8xydy ?

8

??

??

0

0

15

? ? ? ? EY2 ?

??
dx

?? y2f (x, y)dy ?

1
dx

x y2 ? 8xydy ? 1

??

??

0

0

3

DY

?

EY2

? (EY)2

?

1 3

?

? ??

8 15

2
? ??

?

11 225

cov(X, Y) ? E(XY) ? EXEY

? ? ?

1
dx

x xy ? 8xydy ? 4 ? 8 ? 4 ? 4 ? 8 ?

4

0

0

5 15 9 5 15 225

? ? cov(X, Y) ?

4 225

? 2 66 ? 0.492

DX DY 2 75 ? 11 225 33

D(5X ? 3Y) ? D(5X) ? D(3Y) ? 2 cov(5X, ?3Y)

? 52 DX ? 32 DY ? 2 ? 5 ? (?3) cov(X, Y)

? 25 ? 2 ? 9 ? 11 ? 30 ? 4

75 225

225

? 43 75

例27 已知X1, X2独立,均服从正态分布N(0,?2),

Y1?aX1+bX2 , Y2?aX1-bX2 ,其中a、b是常数。

(1)求Y1, Y2的相关系数ρ;

(2)问Y1, Y2是否相关,是否独立?

(3)当Y1, Y2独立时,求(Y1, Y2)的联合密度函数。

解 一般地 X ~ N(? , a 2?2 ),

1

1

1

X ~ N(? , b2?2 )

2

2

2

X1、X2独立, Y?aX1+bX2 ,则

Y ~ N(a? ? b? , a 2?2 ? b ?2 2 )

1

2

1

2

(1) 由于X1~N(0,?2 ), X2~N(0,?2 )



EX 1

?

EX 2

?

0,

DX 1

?

DX 2

?

?2

因为X ,X 独立,所以Y

12

1

?

aX 1

?

bX 服从正态分布; 2

Y ? aX ? bX 服从正态分布

则 EX1 = EX2 = 0, DX1 = DX2 = σ2

因为X1,X2独立,所以Y1

=

aX1

+

bX

服从正态分布;
2

Y2 = aX1 - bX2服从正态分布

EY1 = E(aX1 + bX2 ) = aEX1 + bEX2 = 0;同理 EY2 = 0

DY1 ? D(aX1 ? bX2 ) ? a2DX1 ? b2DX2 ? a2?2 ? b2?2

? (a2 ? b2 )?2

同理,DY2 ? (a2 ? b2 )?2

cov(Y1, Y2 ) ? E[(Y1 ? EY1)(Y2 ? EY2 )] ? EY1Y2

? E[(aX1 ? bX2 )(aX1 ? bX2 )] ? E(a2X12 ? b2X22 )

?

a 2 EX12

?

b2

EX

2 2

?

a 2 DX1

?

b2 DX 2

?

(a2

? b2 )?2

??

cov(Y1, Y2 ) DY1 DY2

?

(a2 (a2

? ?

b2 )?2 b2 )?2

?

a2 a2

? ?

b2 b2

(2)由于Y1,Y2都服从正态分布,则Y1,Y2不相关与独立是等价 的;

当|a|=|b|时,相关系数ρ=0;Y1,Y2独立;不相关 当|a|≠|b|时,相关系数ρ≠0;Y1,Y2不独立;相关 (3)当Y1, Y2独立时,a2=b2;

Yi~N(0, (a2 + b2 )σ2 ); 即Yi~N(0, 2a2σ2 ) i = 1, 2

fY1 (s) =



1 2|

a

|

σ

- s2
e 4a2σ2 , fY2 (t)

=

1

- t2
e 4a2σ2

2π 2 | a | σ

则(Y1, Y2 )的联合密度函数为

f(s, t)

=

fY1 (s) ?

fY2 (t)

=

1

- s2 + t2
e 4a2σ2

4a 2σ 2 π

*5.4 矩
定义 设X为随机变量,c为常数,k为正整数,则E[(X-c)k] 称为X关于c点的k阶矩。 (1) 当c=0时,αk=E(Xk)称为X的k阶原点矩; (2) 当c=E(X)时,μk=E[(X-EX)k]称为X的k阶中心矩。
一阶原点矩就是期望。一阶中心矩μ1=0,二阶中心矩μ2就 是X的方差var(X)。高于四阶的矩极少使用。
应用之一:用μ3衡量分布是否有偏。 设X的概率密度函数为f(x),若f关于某点a对称,即
f(a+x)=f(a-x)
a必等于E(X),且μ3=E[(X-EX)3]=0。如果μ3>0,则称分布为 正偏或右偏。如果μ3<0,则称分布为负偏或左偏。

特别对正态分布有μ3=0,故如μ3显著异与0,则是分布

与正态有较大偏离的标志。由于μ3的因次是X的因次的三次
3
方,为抵消这一点,以X的标准差的三次方,即 去?除22 μ3,

其商

?3

? = 1

3

?2

E(X ? EX)3 ?
( 2 E(X ? EX)2 )3

2

称为X或其分布的“偏度系数”

应用之二 :用μ4衡量分布(密度)在均值附近的陡峭程度。

μ4=E[(X-EX)4],容易看出,若X取值在概率上集中在

EX附近,则μ4将倾向于小,否则就倾向于大。为抵消尺度

的影响,类似于μ3的情况,以标准差的四次方,即 去除μ4,



?2

2

? = ?4 ? E(X ? EX)4

? 2

2

( 2 E(X ? EX)2 )4

称为X或其分布的“峰2 度系数”

若X~N(μ,σ2),则β2=3,与μ和σ2无关。迁就于此,也

常定义

为峰度系数,以使正态分布有峰度系数0。

? 4

-

3

?2

2

为了便于理解峰度系数的概念,下图中画出了两条均

以μ为对称中心的对称密度曲线,且峰的高度一样,但f1在

顶峰处较陡,而f2的顶峰处较平缓。由图可知,在μ附近,

? f2的概率值大而f1的概率值小,因为

+?
-? fi (x)dx

= 1 (i

? 1, 2)

,故

f1的两翼较f2宽些, f2的μ4较大,即有较大的峰度系数β2。

*5.5 条件数学期望(条件均值)
与条件分布的定义相似,在给定了某些其他随机变量X, Z,…的值x,z …的条件下,随机变量Y的条件数学期望记 为E(Y|X=x, Z=z, … )。作为条件出现的变量只有一个时,可 记为E(Y|X=x),不会发生误解时,可简记为E(Y|x) 定义E(Y|x) 已知(X,Y)的联合密度,确定了X=x时Y的条件 密度函数f(y|x),则E(Y|x)由下式计算
?
E(Y | x) ? ? yf (y | x)dy ??
条件分布是随机变量X与Y相互依赖关系在概率上的刻 划,条件期望反映了随着X取值x的变化,Y的平均变化的情 况。例如,随着人体身高x的变化,身高为x的那些人平均体 重的变化如何等等。

例28 条件期望一个重要的例子是(X,Y)~N(μ ,μ ,σ2 ,σ2 ,r),在给

1

2

1

2

定X =x时, Y的条件分布为正态分布

N(? ? r? ??1 (x ? ? ), ?2 (1? r2 )

2

21

1

2

因为正态分布N(μ, σ2)的期望就是μ,故有

E(Y | x) ? ? ? r? ??1 (x ? ? )

2

21

1

该条件期望为x的线性函数,若r>0则E(Y|x)随x的增加而增

加,即Y“平均说来”有随x的增长而增长的趋势,即所谓正相

关;而r<0,为负相关;当r=0时,X与Y独立,E(Y|x)与x无关。

由条件数学期望的概念可得出一般的(无条件)数学期望的

一个重要公式,该公式与计算概率的全概率公式相当。

全概率公式

可以理解为:通过事

? 件A的条件概率P(PA(|BAi)可? 计算P(其Bi()无P(条A |件B )i)概率P(A)。 i

实际上P(A)就是条件概率P(A|Bi)的某种加权平均,权 即为事件Bi的概率。依此类推,变量Y的(无条件)期望, 应等于其条件期望E(Y|x)对x取加权平均,x的权与变量X

在x点的概率密度f1(x)成比例,即

?
? E(Y) ? E(Y | x)f (x)dx 1

(?)

??

证明 (X,Y)的联合密度函数记作f(x,y),则X, Y的(边缘)密

度函数分别为

?

? f (x) ? f (x, y)dy X

由定义

??

?
? f (y) ? f (x, y)dx Y ??

?

?

?

E(Y) ? ?

? yf (y)dy ? Y

?

yf (x, y)dxdy

??

?? ??

? ? ?

?? ???

? ??

yf

(

x,

y)dy

??dx

?

? 由于E(Y | x) ?

yf (x, y)dy

??

,所以有

?
yf (x, y)dy ? E(Y | x)f (x)

? f (x)

??

1

1

带入E(Y)式,(*)式得证。

若记g(x)=E(Y|x),则(*)式可写为

?

? E(Y) ? g(x)f (x)dx 1

(**)

??

根据随机变量函数期望的定义,上式右边就是E(g(X))。从

g(x)的定义,g(X)= E(Y|x)|x=X,简写为E(Y|X)。于是由(**)得

E(Y)=E(E(Y|X))

(***)

上式表明随机变量Y的期望等于其条件期望的期望。

求E(Y|X)时,先设X等于一个固定值x(x无随机性),由

此算出E(Y|x),其表达式含x,再把x换成X即得。

在许多情况下,直接计算E(Y)比较困难,而在限定 变量X之值后,计算E(Y|x)则比较容易。因此可分两步走: 先算出E(Y|x),再借助X的概率分布,通过E(Y|x )算出 E(Y)。
直观地说,把求E(Y)看成在大范围内求平均,限定X 之值后,即从这个大范围内界定了一个较小的部分,现 对这个较小的部分求平均,然后再对大范围求平均。例 如要求全校学生的平均身高,可先求出每个班的平均身 高,然后再对各班的平均值求一次平均。考虑到各班人 数的不同,作后一次平均时,应以各班人数为权进行加 权平均,这个权相当于(*)中的f1(x)。

如果X为n维连续型随机向量(X1, X2,…, Xn),其概率 密度为f(x1, x2, …,xn),则有

?

?

? ? E(Y) ?

E(Y | x , x , , x )f (x , x , , x )dx dx

1

2

n

1

2

n

1

n

??

??

式中E(Y|x1, x2, …,xn)就是在X1=x1, X2=x2, …, Xn=xn条件 下, Y的条件期望。

若X、Y为离散型随机变量,如设X是一维离散型随

机变量,其分布为P(X=ai)=pi (i=1,2, …)



?

? E(Y) ? p E(Y | a )

i

i

i ?1

例29 (求职面试问题) 设在求职过程中收到了三个面试通 知。为简化计算,假定每个公司都有三类不同的空缺职位: 一般的、好的、极好的。对应的工资分别为2.5万元、3万 元和4万元,估计可得到这些职位的概率分别为0.4、0.3和 0.2;得不到任何职位的概率为0.1。由于每家公司都要求 在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位,面试者应采 用何种策略来应对呢? 解 先考虑极端情况:假定一家公司聘任求职者担任极好 的职位,当然无需再去下一家公司面试了。若一家公司不 聘任,求职者必然要到下一家公司去面试。而针对其他情 况作任何决定都是要冒风险的。有效的办法是:采取使期 望收益得最大值的行动。

求职者可用的数据如下表:





一般: 2.5万元 好的: 3万元 极好: 4万元 没有工作:0

概率
0.4 0.3 0.2 0.1

设去第i个公司应聘的收益为Xi(i=1,2,3)。当用期望值准则对 第一次面试作决策时就碰到了困难,因为假设第一次面试落聘, 但有可能在以后的面试中会获得职位,因而这个结果(落聘)是带 有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来的决 策做出之前,当前决策的结果是不能估算的,有一种避开这个困 难的方法,那就是先分析未来的决策,称这种方法为逆推解法。

首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次(即第三次)面 试,则可以确定公司提供工资的期望值为
E(X3)=2.5×0.4+3×0.3+4×0.2+0×0.1=2.7(万元) 知道了第三次面试的期望值,就能倒推,以决定第二次 面试应采取的行动。已知肯定会接受极好的职位;若没有极 好的职位肯定去进行第三次面试;若提供一般的工作,那么 就必须在接受这一工作(期望值2.5万元)和不接受这一工作而 去碰第三次面试的运气(期望值2.7万元)这两者间做出选择, 由于后者具有较大的期望值,故这就是应采取的行动。 另外,若第二家公司能提供一个好职位,而其期望值较高 (3万元),故应接受这一工作且放弃第三次面试。

总之,第二次面试的决策应当是:接受极好的或好的职 位,拒绝一般的职位。第二次面试的期望值可由下表数据求 出:

第二次面试结果 一般:进行第三次面试 好的:接受 极好:接受 没有工作:进行第三次面试

工作期望值 2.7万元 3万元 4万元 2.7万元

概率 0.4 0.3 0.2 0.1

?

? 由 E(Y) ? p E(Y | a ) 知其期望值为

i

i

i ?1
E(X2)=0.4×E(X2|2.5)+0.3×E(X2|3)+0.2×E(X2|4)+0.1×E(X2| 0)

=2.7×0.4+3×0.3+4×0.2+2.7×0.1=3.05 (万元)

现在可以回到第一次面试,如果提供一般职位,所面临的 选择是接受(期望工资为2.5万元)或拒绝(进行下一次面试,期望 工资为3.05万元),后者期望值较高,就应采取拒绝一般的工作, 对于好的职位,因其期望工资3万元低于下一次面试的期望工 资3.05万元,故也应放弃好的职位。
因此,第一次面试时应采取的行动是:只接受极好的职位, 否则就进行下一次面试。
现在,这个面试问题的总的应对策略就清楚了:第一次面 试只接受极好的职位,否则进行第二次面试;第二次面试可接 受好的或极好的职位,否则进行第三次面试;第三 次面试则接受能提供的任何职位。

与这个策略相应的期望值,可用下列数据求出:

第一次面试结果

工资期望值 概率

一般: 进行第二次面试

3.05万元

0.4

好的: 进行第二次面试

3.05万元

0.3

极好: 接受

4万元

0.2

没有工作:进行第二次面试

3.05万元

0.l

E(X1)=0.4×E(X1|2.5)+0.3×E(X1|3)+ +0.2×E(X1|4)+0.1×E(X1|0) =3.05×0.4+3.05×0.3+4×0.2+3.05×0.1=3.24(万元 )

综上所述,求职时收到三份面试通知与只收到一份面试

通知相比较,不仅提高了就业的机会,而且也提高了工资的

期望值。

书面作业:P93~P95
5-2 5-4 5-6 5-12 5-17 5-19

习题选讲:

2、 当 x ? 1时

??
xk ?

1

k ?0

1? x

??
k ?1

kxk ?1

?

?? 1 ?1?

x

??' ?

?

1
?1? x?2

??
k ?2

k(k

? 1) x k ?2

?

?1

? ?

?1

?

x

?2

?' ? ?

?

2
?1? x?3

? ? ? ? E?

?
? kpqk
k ?0

?

?
pq kqk?1
k ?1

?

pq

1 1? q

2

?

q p

?

?

?

? ? ? E?2 ? k2pqk ? (k2 ? k)pqk ? kpqk

k?0

k ?1

k ?1

? ? ? (k2 ? k)pqk ? q

k?2

p

? ? pq2 ? k(k ?1)qk?2 ? q ? pq2 2 ? q ? 2q2 ? q

k?2

p

(1? q)3 p p2 p

? D?

?

q2 p2

?

q p

3、

? E? ? ?? x 1e? x dx ? 0 ?? 2

? ? E?2 ? ?? x2 1e? x dx ? ?? x2e?xdx

?? 2

0

? ? ?x2e?x ?? ? ?? 2xe?xdx

0

0

? ? 2 ?? xe?xdx ? 2 0

?D? ? 2

5、
g(t) ? E(? ? t)2 ? E? 2 ? 2tE? ? t 2
? ?t ? E? ?2 ? E? 2 ? (E? )2 ? ?t ? E? ?2 ? D?
?当t ? E?时,g(t)取最小值D?

? 7、 E(2? ) ? ?? 2xe?xdx 0

? ? 2(?xe?x

?? 0

?

?? e?xdx)
0

?2

? E(e?3? ) ? ?? e?3xe?xdx 0
?? ?? e?4xdx 0
?1 4

8、
E? ?

? 1

?

?

a

x

e

?

?

x?? ?2
2? 2

dx

2? ? ??

?

? 1

?

?

e

x

ln

a

e

?

?

x?? ?2
2? 2

dx

2? ? ??

1 ?? ? ?x ? ? ?2 2? 2x ln a ?

? ?

2? ?

??

exp

?? ?

2? 2

?

2? 2

?dx ?

?

exp????

?

ln

a

?

?2
2

ln

2

a ????

1
2? ?

? ? ??
? exp

????

?? ??

x ? (? ? ? 2 ln a) 2? 2

2 ???dx ??

?

exp????

?

ln

a

?

?2
2

ln

2

a ????

?

?2
a?e 2

ln2

a

E? 2 ?

? 1

?

?

a

2

x

e

?

?

x?? ?2
2? 2

dx

2? ? ??

? ?

1
2? ?

?? ? exp ??
?? ?

?x ? ? ?2
2? 2

?

4? 2x ln 2? 2

a

? ?dx

?

? ? ? exp 2? ln a ? 2? 2 ln 2 a ? a e 2? 2? 2 ln2 a

? ? D? ? E? 2 ?

E?

? a e ? a e 2

2? 2? 2 ln2 a

2? ? 2 ln2 a

? a e (e 2? ? 2 ln2 a ? 2 ln2 a ?1)

12、 因为
cov(?,?) ? E?? ? E?E? D(? ??) ? D? ? D? ? 2cov(?,?) r?? ? 0 ? cov(? ,?) ? 0
所以结论成立。

??
? ? 13、 2 2 Asin( x ? y)dxdy ? 1 00

?2A ?1

A? 1 2

? ? E? ? E? ? 1

?
2

?
2

x

sin(

x

?

y)dxdy

?

?

20 0

4

? ? E? 2 ? E? 2 ? 1

?
2

?
2 x2 sin( x ? y)dxdy

20 0

?2 ?
? ? ?2 82

D? ? D? ? E?2 ? ?E??2

?2 ? ? ? ?2
16 2

? ? E?? ? 1

? 2

? 2

xy sin(x

?

y)dxdy

?

?

?1

20 0

2

?

?2

cov(?, ?) ? E?? ? E?E? ? ?1?

2 16

?

?2

??

cov(?, ?)

?

?1? 2 16

D? ? D? ?2 ? ? ? 2

16 2

14、 (? ,?)的密度函数为:

?

(

x,

y)

?

?1 ??0

(x, y) ? A 其它

? ? ? E? ?

1
dx

2 (1? x )

1

xdy ?

00

3

? ? E? ?

1
dx

2(1?x) ydy ? 2

00

3

2
A
1

? ? E?? ?

1
dx

2(1?x) xydy ? 1

00

6

? ? E? 2 ?

1
dx

2(1?x) x2dy ? 1

00

6

? ? E? 2 ?

1
dx

2(1?x) y 2dy ? 2

00

3

D? ? 1
18

D? ? 2
9

cov(? ,?) ? E?? ? E?E? ? ? 1
18

r ? cov(? ,?) ? ? 1 D? D? 2

15、P{?

?

1}

?

2 n

P{? ? 2} ? n ? 2 2 ? 2(n ? 2) n n ? 1 n(n ? 1)

P{? ? k} ? n ? 2 n ? 3 n ? 4

n?k

2

n n ? 1 n ? 2 n ? (k ? 2) n ? (k ? 1)

?

利用

? 2(n ? k) n(n ? 1)
12 ? 22 ??? n2 ? 1 n(n ?1)(2n ?1) 6

13 ? 23 ??? n3 ? 1 n2 (n ?1)2 4



?n?1 2(n ? k) n ?1

E? ? k

?

k?1 n(n ?1) 3

?n?1 2(n ? k) n(n ?1)

E?2 ? k2

?

k?1 n(n ?1)

6

?n ? 2? (n ?1)
? D? ? E?2 ? E? ? 18

19、设X1、X2表示两台自动记录仪的无故障工作时 间。

由题意? ? ?1 ? ?2

??
? p? ( y) ? ?? p?1 ( y ? x) p?2 (x)dx

? ? ?

y 5e?5( y?x) 5e?5xdx ? 25e?5 y

y
dx

0

0

? 25 ye?5 y

y?0

当y ? 0时, p? ( y) ? 0

? E? ? ?? y(25 ye?5y )dy ? 2

0

5

? E? 2 ? ?? y2 (25 ye?5y )dy ? 6

0

25

? D? ? 2
25

21、E(? ? ?) ? E? ? E? ? 0
? ? ? ? ~ N(0,1)

D(? ? ?) ? D? ? D? ? 1

? ? ??
E( ? ? ? ) ? x

1

e dx ? ?x2 2

2

2 ??

? x2

xe dx ? 2

??

2?

2? 0

?

? E( ? ? ? 2 ) ?

??
x2

1

e dx ?x2 2

??

2?

? ? 2

x e dx ? 1 ??

2

? x2
2

2? 0

? D( ? ? ? ) ? 1? 2 ?


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