2018-2019届高三数学(文理通用)一轮复习课件:选修4-4 坐标系与参数方程-1_图文

第1讲 坐标系 最新考纲 1.理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标 系伸缩变换作用下平面图形的变化情况;2.会在极坐标 系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标 的互化;3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直 线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 知 识 梳 理 1.极坐标系 (1)极坐标系的建立:在平面上取一个定点O,叫做_____, 极点 极轴 从 O点引一条射线Ox,叫做_____ ,再选定一个长度单位、 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方 向),这样就确定了一个极坐标系. 设M是平面内一点,极点O与点M的距 极径 ,记为ρ ,以极 离OM叫做点M的_____ 轴Ox为始边,射线OM为终边的角叫 做点M的极角,记为θ .有序数对(ρ ,θ ) 叫做点M的极坐标,记作M(ρ ,θ ). (2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极 点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长 度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y), cos θ ,y= 极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为x=Ρ _______ y 2 + y2 Ρ sin θ .另一种关系为ρ 2= x x x≠0). _______ ______ ,tan θ =___( 2.直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为α,则它 的方程为:ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0和θ=π-θ0; (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; ? π ? M?b, 2 ? ? ? ?且平行于极轴:ρsin ? (3)直线过 θ =b. 3.圆的极坐标方程 若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r的圆方程为 2 ρ 2-2ρ0ρ cos(θ-θ0)+ρ2 - r =0. 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; acos θ ; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2 _______ (3)当圆心位于 ? π ? M?a, 2 ? ? ? ?,半径为 ? a:ρ=_______ 2asin θ . 诊 断 自 测 1.(2014· 江西卷)若以直角坐标系的原点为极点,x轴的非负 半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x≤1)的极 坐标方程为 ( ) π 1 A.ρ = ,0≤θ ≤ 2 cos θ +sin θ π 1 B.ρ = ,0≤θ ≤ 4 cos θ +sin θ π C.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 2 π D.ρ =cos θ +sin θ ,0≤θ ≤ 4 解析 ∵y=1-x(0≤x≤1),∴ρsin θ=1-ρcos θ(0≤ π 1 ρcos θ≤1);∴ρ= (0≤θ≤ ),故选 A. 2 sin θ+cos θ 答案 A 2.若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ +4cos θ ,以极点为原 点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角 坐标方程为________. 解析 ∵ρ=2sin θ +4cos θ , ∴ρ2=2ρsin θ +4ρcos θ . ∴x2+y2=2y+4x, 即x2+y2-2y-4x=0. 答案 x2+y2-4x-2y=0 3.(2014· 广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为 ρsin2θ=cos θ 和ρsin θ =1.以极点为平面直角坐标系的原 点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1和C2交点的直角坐标为________. 解析 由 ρsin2 θ=cos θ, 得 ρ2sin 2θ=ρcos θ, ∴y2=x, 由 ρsin θ=1,得 y=1, 2 ? ?y = x 由? ,解得 ? ?y=1 x=y=1,∴交点为(1,1). 答案 (1,1) ? π ? 4. (2014· 陕西卷)在极坐标系中, 点?2, 6 ? ? ? ?到直线ρ ? ? sin? ?θ ? π? ? - ? 6? =1 的距离是________. ? π? ? 解析 点?2, ? 化为直角坐标为( 3,1), ? 6? ? 直线 ? π? ? ρsin?θ- ? ?=1 6 ? ? 化为 ? ρ? ? ? ? 3 1 ? sin θ- cos θ?=1, 2 2 ? 3 1 1 3 1 3 y- x=1, x- y+1=0,点( 3,1)到直线 x- y+1 2 2 2 2 2 2 ? ?1 × ? ?2 ? 3 ? 3- ×1+1? 2 ? =1. ? ?1?2 ? 3?2 ? ? +? - ? ? 2? ?2? ? =0 的距离为 答案 1 π 5.在极坐标系中,圆 ρ=4sin θ 的圆心到直线 θ= (ρ∈R) 6 的距离是________. 解析 将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求 解,极坐标系中的圆 ρ=4sin θ转化为平面直角坐标系中的 一般方程为: x2+y2=4y, 即 x2+(y-2)2=4, 其圆心为(0, 2), π 3 直线 θ= 转化为平面直角坐标系中的方程为 y= x, 即 3x 6 3 -3y=0. ∴圆心(0,2)到直线 3x-3y=0 的距离为 |0-3×2| = 3. 3+9 答案 3 考点一 极坐标与直角坐标的互化 ? π ? 的极坐标?-5, 6 ? ? ? ?化成直角坐标; ? 【例 1】 (1)把点 M (2)把点 M 的直角坐标(- 3,-1)化成极坐标. 解 π 5 (1)∵x=-5cos =- 6 2 ? 5 的直角坐标是?- ? 2 π 5 3,y=-5sin =- , 6 2 ∴点 M 5? 3,- ?. 2? (2)ρ= (- 3)2+(-1)2=

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