2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第2节参数方程课件文_图文

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第二节

参数方程

课 时 分 层 训 练

[考纲传真]

1.了解参数方程,了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直

线、圆和椭圆曲线的参数方程.

1.曲线的参数方程 一般地,在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数 t的函数
? ?x=f ?t?, ? ? ?y=g?t?

并且对于t取的每一个允许值,由这个方程组所确定的点P(x,y)

都在这条曲线上,那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程,联系x,y之间关 参变数 ,简称 参数 . 系的变数t叫作

2.直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为 数). (2)圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为 数). x2 y2 (3)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的参数方程为

? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α ? ?x=x0+rcos θ, ? ? ?y=y0+rsin θ

(t为参

(θ为参

? ?x=acos φ, ? ? ?y=bsin φ (φ为参数).

1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
? ?x=f ?t?, (1)参数方程? ? ?y=g?t?

中的x,y都是参数t的函数.(

)

(2)过M0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程为

? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α

(t为参

数).参数t的几何意义表示:直线l上以定点M0为起点,任一点M(x,y)为终点的有 → 向线段M0M的数量.( )

? ?x=2cos θ, (3)方程? ? ?y=1+2sin θ

表示以点(0,1)为圆心,以2为半径的圆.(

)

? ?x=2cos t, (4)已知椭圆的参数方程 ? ? ?y=4sin t

(t为参数),点M在椭圆上,对应参数t= )

π 3,点O为原点,则直线OM的斜率为 3.(

[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×

? ?x=-1+cos 2.(教材改编)曲线? ? ?y=2+sin θ

θ,

(θ为参数)的对称中心(

)

A.在直线y=2x上 C.在直线y=x-1上

B.在直线y=-2x上 D.在直线y=x+1上
? ?cos θ=x+1, 得? ? ?sin θ=y-2,

B

? ?x=-1+cos θ, [由? ? ?y=2+sin θ,

所以(x+1)2+(y-2)2=1. 曲线是以(-1,2)为圆心,1为半径的圆, 所以对称中心为(-1,2),在直线y=-2x上.]

? ?x=2+ 3.(教材改编)在平面直角坐标系中,曲线C: ? ?y=1+ ? 通方程为________.

2 2 t, 2 2t

(t为参数)的普

2 2 x-y-1=0 [由x=2+ 2 t,且y=1+ 2 t, 消去t,得x-y=1,即x-y-1=0.]

4.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)=-2,曲线C2的参数方程为
2 ? ?x=t , ? ? ?y=2 2t

(t为参数),则C1与C2交点的直角坐标为________.
[由ρ(cosθ+sinθ)=-2,得x+y=-2.① 消去t得y2=8x.②

(2,-4)

2 ? ?x=t , 由? ? ?y=2 2t,

? ?x=2, 联立①②得? ? ?y=-4,

即交点坐标为(2,-4).]

5.(2016· 江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为 1 ? ?x=1+2t, ? ?y= 3t 2 ?
? ?x=cos θ, (t为参数),椭圆C的参数方程为 ? ? ?y=2sin θ

(θ为参数).设直线l与

椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.

2 y [解] 椭圆C的普通方程为x2+ 4 =1.

2分
? ? ? ?

1 ? ?x=1+2t, 将直线l的参数方程 ? ?y= 3t 2 ? 7t2+16t=0,8分

3? ?2 t 2 ? 2 ? 1 ?2 y ? 2 ? ? 代入x + 4 =1,得 1+2t + 4 =1,即 ? ?

16 16 解得t1=0,t2=- 7 ,所以AB=|t1-t2|= 7 .

10分

参数方程与普通方程的互化

已知直线l的参数方程为
? ?x=4cos θ, ? ? ?y=4sin θ

? ?x=a-2t, ? ? ?y=-4t

(t为参数),圆C的参数方程为

(θ为参数).

(1)求直线l和圆C的普通方程; (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.

[解] (1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,2分 圆C的普通方程为x2+y2=16. (2)因为直线l与圆C有公共点, |-2a| 故圆C的圆心到直线l的距离d= ≤4,8分 5 解得-2 5≤a≤2 5. 10分 4分

[规律方法]

1.将参数方程化为普通方程,消参数常用代入法、加减消元法、

三角恒等变换消去参数. 2.把参数方程化为普通方程时,要注意哪一个量是参数,并且要注意参数 的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响,要保持同解变形.

[变式训练1]
? ?x=3cos φ, C:? ? ?y=2sin φ

? ?x=t, 在平面直角坐标系xOy中,若直线l: ? ? ?y=t-a

(t为参数)过椭圆

(φ为参数)的右顶点,求常数a的值.

[解] 直线l的普通方程为x-y-a=0, x2 y2 椭圆C的普通方程为 9 + 4 =1,4分 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0), 若直线l过椭圆的右顶点(3,0), 则3-0-a=0,所以a=3. 10分

参数方程的应用
? ?x=2+t, x2 y2 已知曲线C: 4 + 9 =1,直线l:? (t为参数). ? ?y=2-2t

(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30° 的直线,交l于点A,求|PA|的最大值 与最小值. 【导学号:66482486】

[解]

? ?x=2cos θ, (1)曲线C的参数方程为? ? ?y=3sin θ

(θ为参数).

直线l的普通方程为2x+y-6=0.

4分

5 (2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d= 5 |4cosθ+3sinθ-6|, 2 5 4 d 则|PA|=sin 30° = 5 |5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=3. 22 5 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为 5 . 2 5 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为 5 . 10分 8分

[规律方法]

1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时,一般是先化为普通方

程,再根据直线与圆的位置关系来解决问题. 2.对于形如
? ?x=x0+at, ? ? ?y=y0+bt

(t为参数),当a2+b2≠1时,应先化为标准形式后

才能利用t的几何意义解题.

[变式训练2] (2017· 石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为
? ?x=4cos θ, ? ? ?y=4sin θ

π (θ为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角α=6.

(1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程; (2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|· |PB|的值.

[解]

? ?x=4cos θ, (1)由? ? ?y=4sin θ,

消去θ, 2分

得圆C的普通方程为x2+y2=16. π 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α=6, π ? ?x=1+tcos6, 所以l的参数方程为? ?y=2+tsinπ, 6 ?

3 ? ?x=1+ 2 t, 即? ?y=2+1t 2 ?

(t为参数).

4分

3 ? ?x=1+ 2 t, (2)把直线l的参数方程? ?y=2+1t 2 ?
? 得? ?1+ ?

代入x2+y2=16,

1 ?2 3? ?2 ? 2 ? ? 2 + t + = 16 , t +( 3+2)t-11=0, t 2 2 ? ? ? ?

所以t1t2=-11,8分 由参数方程的几何意义,|PA|· |PB|=|t1t2|=11. 10分

参数方程与极坐标方程的综合应用

(2016· 全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
? ?x= 3cos ? ? ?y=sin α

α,

(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐 2.

? π? 标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin?θ+4?=2 ? ?

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

x2 2 [解] (1)C1的普通方程为 3 +y =1,2分
? π? 由于曲线C2的方程为ρsin?θ+4?=2 ? ?

2,

所以ρsinθ+ρcosθ=4, 因此曲线C2的直角坐标方程为x+y-4=0. 4分

(2)由题意,可设点P的直角坐标为( 3cosα,sinα). 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,8分
? ? ? | 3cos α+sin α-4| π? 又d(α)= = 2?sin?α+3?-2?, ? ? ? ? 2

π 当且仅当α=2kπ+ 6 (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 2 ,此时P的直角
?3 1? 坐标为?2,2?. ? ?

10分

[规律方法]

1.参数方程和极坐标方程的综合题,求解的一般方法是分别化为

普通方程和直角坐标方程后求解.当然,还要结合题目本身特点,确定选择何种 方程. 2.数形结合的应用,即充分利用参数方程中参数的几何意义,或者利用ρ和 θ的几何意义,直接求解,可化繁为简.

[变式训练3] (2017· 石家庄市质检)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 2 ? ?x= 2 t , ? ?y=3+ 2t 2 ?

(t为参数),在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C

的极坐标方程为ρ=4sinθ-2cosθ. (1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程; (2)若直线l与y轴的交点为P,直线l与曲线C的交点为A,B,求|PA||PB|的值.

[解] (1)直线l的普通方程为x-y+3=0, ∵ρ2=4ρsinθ-2ρcosθ, ∴曲线C的直角坐标方程为(x+1)2+(y-2)2=5. 2 ? ?x= 2 t , (2)将直线l的参数方程 ? ?y=3+ 2t 2 ? 5,得到t2+2 2t-3=0,8分 ∴t1t2=-3, ∴|PA||PB|=|t1t2|=3. 10分 4分

(t为参数)代入曲线C:(x+1)2+(y-2)2=

[思想与方法] 1.参数方程化普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后加 1 减消元等,经常用到公式:cos θ+sin θ=1,1+tan θ=cos2θ.
2 2 2

2.利用曲线的参数方程求解两曲线间的最值问题是行之有效的好方法. 3.将参数方程化为普通方程,将极坐标方程化为直角坐标方程,然后在直 角坐标系下对问题求解,化生为熟,充分体现了转化与化归思想的应用.

[易错与防范] 1.将参数方程化为普通方程时,要注意两种方程的等价性.在消去参数的 过程中,要注意x,y的取值范围. 2.确定曲线的参数方程时,一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范 围,必要时通过限制参数的范围去掉多余的解.

3.设过点M(x0,y0)的直线l交曲线C于A,B两点,若直线的参数方程为
? ?x=x0+tcos α, ? ? ?y=y0+tsin α

(t为参数)注意以下两个结论的应用:

(1)|AB|=|t1-t2|; (2)|MA|· |MB|=|t1· t2|.


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