湖北省武汉市第二中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期中考试

高二理科数学试卷
命题教师: 陈莉 审题教师: 左建华
试卷满分: 150 分 考试时间: 2015 年 11 月 13 日上午 8: 00——10: 00

一、选择题: (本大题共 12 小题; 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一个选项是符合题目要求的, 把正确选项的代号填在答题卡上. ) 1. 已知命题 P : ?x ? R, 2 x2 ? 1 ? 0 , 则命题 P 的否定是( A. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R,2 x 2 ? 1 ? 0 2. 下列命题中真命题是( ) A.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? ; B.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则 ? // ? ; C.若 m ? ?, n ? ?, m, n 是异面直线, 那么 n 与 ? 相交; D.若 ? ? ? ? m, n // m , 则 n // ? 且 n // ? 3. 已知双曲线
2 2


2

B. ?x0 ? R,2x0 ? 1 ? 0 D. ?x0 ? R,2x0 ? 1 ? 0
2

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线方程为 y=± 3 x, 若顶点到渐近线的距离 2 a b


为 1, 则双曲线的方程为(

x2 y2 x2 4 y2 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 4 4 4 3 1 1 4. 若不等 式 | x ? m |? 1 成立的充 分不必 要条件为 ? x ? , 则实数 m 的取 值范围 是 3 2 x 3y ? ?1 A. 4 4
( ) A. [ ? , ]

3x y2 ? ?1 4 4

2

4 1 3 2

B. [ ? , ]

1 4 2 3

C. (??,? )

1 2

D. ( ,??)

4 3

5. 椭圆

x2 y2 + = 1的左、右焦点分别为 F1 、 F2 , 则椭圆上满足 PF 1 ? PF 2 的点 P ( 25 16
B.有 4 个 C.不一定存在 D.一定不存在



A.有 2 个

6. 三棱锥 SABC 及其三视图中的正视图和 侧视图如图所示, 则棱 S B 的长为( ) A. C.

4 2

B.

19
第 6 题图

20

D. 4 3

x2 y2 7. 方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A, 左、 右焦点分别为 F1、 F2, D 是它短轴上的 a b 一个端点, 若 3DF 1 ? DA ? 2DF 2 , 则该椭圆的离心率为( 1 1 1 A. B. C. 2 3 4 ) 1 D. 5

网 Z*X*X*

8. 已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点, Q 为圆 x2+(y-4)2=1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A. 5 B. 8 C. 17-1 D. 5+2 9. 若直线 mx+ny=4 和圆 O: x2+y2=4 没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆 交点个数为 ( A. 至多一个 ) B. 2 个 C. 1 个 D. 0 个

x2 y2 ? ?1的 9 4

10. 如图, 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 点 E, F 分别 是棱 BC, CC1 的中点, P 是侧面 BCC1 B1 内一点, 若 A1 P // 平 面 AEF , 则线段 A 1P 长度的取值范围是( A. [ 2 , 3 ] B. [ 5 , 2 ] 2 D. [1, 5 ] 2 )

C. [ 3 2 , 5 ] 4 2

第 10 题图

11. 已知双曲线

2 x 2 ? y ? 1 的左、右焦点分别为 F 、 F , O 为双曲线的中心, P 是双曲线 1 2 a2 b2

右支上的一点, △ PF1 F2 的内切圆的圆心为 I , 且⊙ I 与 x 轴相切于点 A , 过 F2 作直线

PI 的垂线, 垂足为 B , 若 e 为双曲线的离心率, 则(
A. OB ? e OA 确定 B. OA ? e OB C. OB ? OA

) D. OA 与 OB 关 系 不

12. 已知 ln a ? ln 3 ? ln c, bd ? ?3 , 则 (a ? b) ? (d ? c) 的最小值为(
2 2



A.

3 10 5

B.

16 5

C.

12 5

D.

18 5

二、 填空题: (本大题共有 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 把正确答案填在答题卡的相应位 置. ) 13. 已知三棱锥 S ? ABC 的体积为 1, E 是 SA 的中点, F 是 SB 的中点, 则三棱锥 F ? BEC 的体积是__________. 14. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 45? 的直线与 a 2 b2

双曲线的右支有且只有一个交点, 则此双曲线的离心率的取值范围是________.

15. 已知点 P ( x, y ) 是抛物线 y 2 ? x 上任意一点, 且点 P 在直线 ax ? y ? a ? 0 的上方, 则 实数 a 的取值范围为 16. 已知圆 M : x2 + ( y - 1)2 = 1 , 圆 N : x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 , 直线 l1、l2 分别过圆心 M、N ,且

l1 与圆 M 相交于 A、B , l 2 与圆 N 相交于 C、D , P 是椭圆
动点, 则 PA? PB ? PC ? PD的最小值为______________.

x2 y2 ? ? 1 上的任意一 3 4

三、解答题: (本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. )
2 17. (本小题满分 10 分) 设命题 p: 函数 f ( x) ? lg( ax ? x ?

1 a) 的定义域为 R, 16

命题 q: 双曲线

y2 x2 ? ? 1 的离心率 e ? (1,2) , 5 a

(1) 如果 p 是真命题, 求实数 a 的取值范围; (2) 如果命题“p 或 q”为真命题, 且命题“p 且 q”为假命题, 求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 如图, 已知长方形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1 , M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折起, 使得平面 ADM ? 平面 ABCM ,E 为 BD 的中点.

第 18 题图

(1) 求证: AD ? BM ; (2) 求直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值. 19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C1 : x + y - 6 x +5 = 0 , 过圆 C1 上一点 A(3,2) 的动直线 l 与 圆 C1 相交于另一个不同的点 B. (1) 求线段 AB 的中点 P 的轨迹 M 的方程; (2) 若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 M 只有一个交点, 求 k 的值. 20. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱柱 ABC - A1B1C1 中, 点 A1 在侧面 BB1C1C 的射影为正 方形 BB1C1C 的中心 M, 且 BB1 = 2 2 , AB = AC = 3 ,E 为 A1C1 的中点. (1) 求证: A1 B ║平面 B1CE ; (2) 求二面角 B - A1B1 - C1 的正弦值; (3) 在正方形 BB1C1C (包括边界) 内是否存在 点 F , 使得 EF ? 平面 A1 B1C1 ?若存在, 求出线段 CF 的长; 若不存在, 说明理由. B F C M B1 A A1 E C1
2 2

第 20 题图

21. (本小题满分 12 分) 已知动圆 M 过定点 F (0,1) , 且与 x 轴相切, 点 F 关于圆心 M 的 对称点为 F ' ,动点 F ' 的轨迹为 C . (1) 求曲线 C 的方程; (2) 设 A( x0 , y0 ) 是曲线 C 上的一个定点, 过点 A 作两条倾斜角互补的直线 , 分别与曲 线 C 相交于另外两点 P 、 Q .证明直线 PQ 的斜率为定值,并求出这个定值.

22.

2 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 椭 圆 C 的 方 程 为 x 2 ? y ? 1 , 定 点 N(0, 1) , 过 圆 4

M: x 2 + y 2 =

4 上任意一点作圆 M 的一条切线交椭圆 C 于 A 、 B 两点. 5 (1) 求证: OA? OB ? 0 ; (2) 求 AB 的取值范围;
(3) 若点 P、 Q 在椭圆 C 上, 直线 PQ 与 x 轴平行, 直线 PN 交椭圆于另一个不同的点 S, 问: 直线 QS 是否经过一个定点?若是, 求出这个定点的坐标; 若不是, 说明理由. y y S A B O x Q N O P x

第 22 题图

武汉二中 2015-2016 学年度上学期期中考试

高二理科数学参考答案
一、选择题: BAABD ADCBC 二、填空题 13、 CD 15、 a ?

1 4

14、 ( 2 ,??)

1 2

16、6

三、解答题:
2 17、 (1)若命题 p 为真命题,则 ax ? x ?

a ? 0, x ? R 恒成立 16

?a ? 0 ? ?? ?a?2 1 1-4a ? a <0 ? 16 ?
(2)若命题 q 为真命题,则 0 ? a ? 15 , p 真 q 假时, a ? 15 ;p 假 q 真时, 0 ? a ? 2 , 综上, 0 ? a ? 2或a ? 15 18、(1) ?ABM 中, AB ? 2, AM ? BM ? 2 ,

? AM ? BM 又? 平面 ADM ? 平面 ABCM , 平面 ADM ? 平面 ABCM = AM
且 BM ? 平面 ABCM

z

? BM ? 平面 ADM 又? AD ? 平面 ADM ? AD ? BM

x

y

(2)如图,以 M 点为坐标原点, MA 所在直线为 x 轴, MB 所在直线为 y 轴建立空间

直角坐标系。则 M (0,0,0),A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),D(

2 2 ,0, ), 2 2

? E 为 BD中点,? E (

2 2 2 3 2 2 2 , , ), AE ? (? , , ) 4 2 4 4 2 4

由(1)知, MB 为平面 ADM 的一个法向量, MB ? (0, 2,0)

cos ? AE, MB ??

AE ? MB AE MB

?

2 ? 2 14 2 ? 7 9 1 1 ? ? ? 2 8 2 8

? 直线 AE 与平面 ADM 所成角的正弦值为

14 。 7

19、(1)设中点 P ( x, y ) ,则因为 P 是 AB 的中点,所以 C1P ? AP

? P 点的轨迹是以 A1C 为直径的圆,即 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1
又 A、B 不重合,所以轨迹 M 中去掉点 A

? 轨迹 M 的方程为 ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 1( y ? 2)
(2)当直线 l 与圆 M 相切时, d ? 当直线 l 经过点 A 时, k ? 1 综上, k ?

3k ? 2 1? k 2

? 1 ,解得 k ?

3? 3 4

3? 3 或 k ?1. 4
z A A1 E C F x B M B1 y C1

20、(1)连接 EM,在 ?A1 BC1 中, EM // A1 B 且 EM ? 平面 B1CE ? A1B //平面 B1CE (2)如图,以 M 点为坐标原点, MB 所在直线 为 x 轴, MB1 所在直线为 y 轴, MA 1 所在 直线为 z 轴建立空间直角坐标系。 则 M (0,0,0),B(2,0,0),B1 (0,2,0),C1 (?2,0,0) 在 ?A1B1M 中, A1M ?
2 2

A1 B1 ? MB1 ? 9 ? 4 ? 5 ,

? A1 (0,0, 5) , A1B1 ? (0,2,? 5) , BB1 ? (?2,2,0) , B1C1 ? (?2,?2,0)
设平面 A1BB1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则

? 2 ?n ? A1 B1 ? 0 ? 2 y ? 5 z ? 0 ?? ) ,令 x ? 1 ,得 n ? (1,1, ? 5 ? ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? n ? BB1 ? 0
设平面 A1 B1C1 的一个法向量为 m ? ( x' , y' , z' ) ,则

? 2 ?m ? A1 B1 ? 0 ?2 y '? 5 z ' ? 0 ?? ) ,令 x ' ? ?1 ,得 m ? ( ?1,1, ? 5 ? x ? y ? 0 m ? B C ? 0 ? 1 1 ?

4 5 ? 2 ,? 二面角 B - A B - C 的正弦值为 3 5 cos ? m, n ?? ? 1 1 1 4 7 7 mn 1?1? 5 m?n ?1?1?
(3)? A 1 (0,0, 5 ),C1 (?2,0,0) ,? 中点 E ( ?1,0,

5 ) 2

设 F ( x, y,0) ,则 EF ? ( x ? 1, y,?

5 ) 2

? EF ? 平面 A1 B1C1 ,? EF // m
x ?1 y 即 ? ? ?1 1 ? 5 1 ? x? ? 2 ? 4 ,? F ( 1 ,- 5 ,0) ? 5 2 4 4 ?y ? ? 4 ? 5
1 3 ,0 ) 4 4

且 F 在正方形 BB1C1C 内, CF ? ( , 所以存在点 F 满足条件, CF 长度为 21、(1)设 F'( x, y) ,则 F、F ' 的中点 M ( , 又圆 M 过点 F ,且与 x 轴相切

10 4

x y ?1 ) 2 2
yx P

x 2 y ?1 y ?1 2 ,化简得 x ? 4 y 即为所求。 ?( ) ?( ? 1) 2 ? 2 2 2
(2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,直线 AP 的斜率为 A

k (k ? 0) ,则直线 AQ 的斜率为 - k .
O 直线 AP 的方程为 y -

Q x

x0 = k ( x - x0 ) 4

2



? x2 ? 4 y ? 2 ? x1 ? ? x0 ? 4k x0 ? y? ? k ( x ? x0 ) ? 4 ?
以 - k 替换 k ,得 x2 = - x0 - 4k

所以直线 PQ 的斜率为 k PQ

x12 x2 2 4 4 = x1 + x2 = - x0 + 4k - x0 - 4k = - x0 为定 = x1 - x2 4 4 2

值。 22、 (1)当圆 M 的切线斜率不存在时, A(

2 2 2 2 , ), B( , )或 5 5 5 5

A(-

2 2 2 2 , ), B(,) .此时有 OA? OB ? 0 5 5 5 5

当圆 M 的切线斜率存在时,设圆 M 的一条切线方程为 y ? kx ? m ,



m 1? k 2

?

4 2 2 ,化简得 5m ? 4 ? 4k 5

? y ? kx ? m ? ? (4 ? k 2 ) x 2 ? 2km x? m 2 ? 4 ? 0 由 ? 2 y2 x ? ?1 ? 4 ?

? x1 ? x2 ?

? 2km m2 ? 4 , x ? x ? 1 2 4? k2 4? k2

x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2
( 1? k ) ? =
2

m2 ? 4 ? 2km ? km ? ? m2 2 2 4?k 4?k
即证 OA? OB ? 0

=

5m 2 ? 4k 2 ? 4 ?0 , 4? k2

(2) 当圆 M 的切线斜率不存在时,

A(

2 2 2 2 2 2 2 2 , ), B( , ) 或 A(, ), B(,) ,此时有 5 5 5 5 5 5 5 5

AB =

4 5 5
当圆 M 的切线斜率存在时,由(1)知

AB ? ( 1 ? k 2 )(x1 ? x2 ) 2 ? ( 1 ? k 2 )[

4k 2 m 2 4m 2 ? 16 ? ] (4 ? k 2 ) 2 4? k2

=

16 9 16 k 4 ? 17k 2 ? 16 16 9k 2 (1 ? ) ? 4 ? ( 1 ? )= 2 4 2 16 5 2 5 k ? 8k ? 16 5 k ? 8k ? 16 k ?8? 2 k

?k 2 ?

16 9 9 ? 8 ,? ? (0, ] 2 16 k 16 k2 ? 2 ?8 k
4 5 , 5] 5

即得 AB ? (

4 5 , 5] 5

综上所述, AB ? [

(3)设 P( x0 , y0 ), S ( x1 , y1 ) ,直线 QS 交 y 轴于点 T (0, yT ) ,则 Q(? x0 , y0 ) 直线 PS 的方程为 y ? y0 ?

y0 ? y1 ( x ? x0 ) x0 ? x1


令 x ? 0 ,得 y N =

x0 y1 - x1 y0 x y +x y ;同理,可得 yT = 0 1 1 0 x0 - x1 x0 + x1

则有 y N yT ?

( x0 y1 ) 2 ? ( x1 y0 ) 2 2 2 x0 ? x1
2 2 2 2

又 x0 + 又 yN = 1 ,

2

y0 2 y2 4x ( 1 - x1 ) ? 4 x1 ( 1 - x0 ) = 1, x12 + 1 = 1 ,? y N yT ? 0 ?4 2 2 4 4 x0 ? x1
。 ? yT ? 4 . 所以直线 QS 过定点(0,4)

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