2013届高考数学一轮复习讲义:1.1 集合的概念及其基本运算


一轮复习讲义

集合的概念及其基本运算

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要点梳理
1.集合与元素

忆一忆知识要点

确定性 、 互异性 、 无序性 . (1)集合元素的三个特征:
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 ∈ 或 ? 表示.

列举法 、描述法 、 图示法 、区间法 . (3)集合的表示法:
(4)常用数集:自然数集 N;正整数集 N*(或 N+);整数集 Z;有理数集 Q;实数集 R. (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限 无限集 、 空集 . 集 、

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.集合间的基本关系 (1)子集、真子集及其性质 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A?B(或 B?A). 若 A?B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x?A, 则 A B (或 B A ). ? ? A;A ? A;A?B,B?C?A ? C. n 若 A 含有 n 个元素, 则 A 的子集有 2 个, A 的非空 子集有 2n-1 个,A 的非空真子集有 2n-2 个.

(2)集合相等 若 A?B 且 B?A,则 A=B.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.集合的运算及其性质 (1)集合的并、交、补运算 并集:A∪B={x|x∈A,或 x∈B}; 交集:A∩B= {x|x∈A,且 x∈B}; 补集:?UA= {x|x∈U,且 x?A} . U 为全集,?UA 表示 A 相对于全集 U 的补集. (2)集合的运算性质 并集的性质: A∪?=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性质: A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 补集的性质: A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A.

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[难点正本

疑点清源]

1.正确理解集合的概念 正确理解集合的有关概念,特别是集合中元素的三个 特征,尤其是“确定性和互异性”在解题中要注意运 用.在解决含参数问题时,要注意检验,否则很可能 会因为不满足“互异性”而导致结论错误. 2.注意空集的特殊性 空集是不含任何元素的集合,空集是任何集合的子 集.在解题时,若未明确说明集合非空时,要考虑到 集合为空集的可能性.例如:A?B,则需考虑 A=? 和 A≠?两种可能的情况.

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3.正确区分?,{0},{?} ?是不含任何元素的集合,即空集.{0}是含有一个元 素 0 的集合,它不是空集,因为它有一个元素,这个 元素是 0.{?}是含有一个元素?的集合. ??{0}, ??{?}, ?∈{?},{0}∩{?}=?.

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集合的基本概念
例1 (1)已知 A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3},且 1∈A, 求实数 2 013a 的值; (2)x,x2-x,x3-3x 能表示一个有三个元素的集合吗? 如果能表示一个集合,说明理由;如果不能表示,则需 要添加什么条件才能使它表示一个有三个元素的集合.

(1)1∈A,则 a+2,(a+1)2,a2+3a+3 可以分别为 1,但又 要注意它们互不相同. (2)从集合元素互异性的特点分析,它们必须具备两两不等.

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(1)当 a+2=1,即 a=-1 时, (a+1)2=0,a2+3a+3=1 与 a+2 相同, ∴不符合题意.

当(a+1)2=1,即 a=0 或 a=-2 时, ①a=0 符合要求. ②a=-2 时,a2+3a+3=1 与(a+1)2 相同,不符合题意.
当 a2+3a+3=1,即 a=-2 或 a=-1. ①当 a=-2 时,a2+3a+3=(a+1)2=1,不符合题意. ②当 a=-1 时,a2+3a+3=a+2=1,不符合题意.
综上所述,a=0.∴2 013a=1.

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(2)因为当 x=0 时,x=x2-x=x3-3x=0. 所以它不一定能表示一个有三个元素的集合.
要使它表示一个有三个元素的集合,
?x≠x2-x, ? 2 3 则应有?x -x≠x -3x, ?x≠x3-3x. ?
∴x≠0 且 x≠2 且 x≠-1 且 x≠-2 时,{x,x2-x, x3-3x}能表示一个有三个元素的集合.

探究提高
(1) 加强对集合中元素的特征的理解,互异性常常容易忽 略,求解问题时要特别注意. (2)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

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变式训练 1
若集合 A={x|ax2-3x+2=0}的子集只有两个,则实数 a 9 0或 =________. 8
∵集合 A 的子集只有两个,∴A 中只有一个元素. 2 当 a=0 时,x= 符合要求. 3

9 当 a≠0 时,Δ=(-3) -4a×2=0,∴a= . 8 9 故 a=0 或 . 8
2

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集合间的基本关系
例2 已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B= ? ? 1 ? ? ?x|- <x≤2?. 2 ? ? ? ? (1)若 A?B,求实数 a 的取值范围; (2)若 B?A,求实数 a 的取值范围; (3)A、B 能否相等?若能,求出 a 的值;若不能,试说 明理由.

在确定集合 A 时,需对 x 的系数 a 进行讨论.利用数轴分 析,使问题得到解决.

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A 中不等式的解集应分三种情况讨论: ①若 a=0,则 A=R; ? ? 4 1? ? ? ②若 a<0,则 A=?x|a≤x<-a? ; ? ? ? ③若 a>0,则
? ? 1 4? ? ? A=?x|-a<x≤a? . ? ? ?

(1)当 a=0 时,若 A?B,此种情况不存在. 当 a<0 时,若 A?B,如图,
1 ?4 ?a>-2 则? ?-1≤2 ? a a>0或a<-8 ? ? ,∴? 1 , a>0或a≤- ? 2 ?

又 a<0,∴a<-8.

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当 a>0 时,若 A?B,如图,

1 ? 1 ?-a≥-2 则? ?4≤2 ?a

? ?a≥2或a<0 ,∴? ? ?a≥2或a<0

.

又∵a>0,∴a≥2.
综上知,当 A?B 时,a<-8 或 a≥2.

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(2)当 a=0 时,显然 B?A; 当 a<0 时,若 B?A,如图,

1 ?4 ?a≤-2 则? ?-1>2 ? a

-8≤a<0 ? ? ,∴? 1 . - <a<0 ? ? 2

1 又∵a<0,∴- <a<0. 2

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当 a>0 时,若 B?A,如图,

1 ? 1 ?-a≤-2 则? ?4≥2 ?a

? ?0<a≤2 ,∴? ? ?0<a≤2

.

又∵a>0,∴0<a≤2.
1 综上知,当 B?A 时,- <a≤2. 2

(3)当且仅当 A、B 两个集合互相包含时,A=B. 由(1)、(2)知,a=2.

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探究提高
在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是 合理运用数轴帮助分析与求解,另外,在解含有参数的不 等式(或方程)时,要对参数进行分类讨论.分类时要遵循 “不重不漏”的分类原则,然后对每一类情况都要给出问 题的解答. 分类讨论的一般步骤:①确定标准;②恰当分类;③逐类 讨论;④归纳结论.

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变式训练 2
已知集合 A={x|log2x≤2},B=(-∞,a),若 A?B,则实 数 a 的取值范围是(c,+∞),其中 c=________. 4
由 log2x≤2,得 0<x≤4, 即 A={x|0<x≤4},而 B=(-∞,a), 由于 A?B,如图所示,则 a>4,即 c=4.

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集合的基本运算
例 3 设 U=R,集合 A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m +1)x+m=0}.若(?UA)∩B=?,则 m 的值是________.

本题中的集合 A,B 均是一元二次方程的解集,其中集合 B 中的一元二次方程含有不确定的参数 m,需要对这个参 数进行分类讨论,同时需要根据(?UA)∩B=?对集合 A,B 的关系进行转化.

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A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m -1)2≥0,∴B≠?.
∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}.

①若 B={-1},则 m=1;

②若 B={-2}, 则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4, 且m =(-2)· (-2)=4,这两式不能同时成立,∴B≠{-2};
③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3, 且 m=(-1)· (-2)=2,由这两式得 m=2.

经检验知 m=1 和 m=2 符合条件. ∴m=1 或 2.故填 1 或 2. 答案 1 或 2

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探究提高
本题的主要难点有两个:一是集合 A,B 之间关系的确定;二 是对集合 B 中方程的分类求解.集合的交并补运算和集合的 包含关系存在着一些必然的联系,这些联系通过 Venn 图进行 直观的分析不难找出来,如 A∪B=A?B?A,(?UA)∩B=? ?B?A 等,在解题中碰到这种情况时要善于转化,这是破解 这类难点的一种极为有效的方法.

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变式训练 3
设全集是实数集 R, A = {x|2x2 - 7x+ 3≤0}, B = {x|x2 + a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围.
1 (1)∵A={x| ≤x≤3}, 2
当 a=-4 时,B={x|-2<x<2}, 1 ∴A∩B={x| ≤x<2},A∪B={x|-2<x≤3}. 2

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1 (2)?RA={x|x< 或 x>3}, 2 当(?RA)∩B=B 时,B??RA,即 A∩B=?.
①当 B=?,即 a≥0 时,满足 B??RA;
②当 B≠?,即 a<0 时,B={x|- -a<x< -a},
1 1 要使 B??RA,需 -a≤ ,解得- ≤a<0. 2 4 1 综上可得,实数 a 的取值范围是 a≥- . 4

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集合中的新定义问题
例4 在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 和 如下:

那么 d

(a

c)=________.

按照给出的运算法则,遵循通用的运算法则,先算括号内 的,逐步进行计算.

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根据给出的 =d

运算规则 a

c=c,即 d c=a.

(a

c)

c,再根据给出的

运算规则,d

答案

a

探究提高
本题新定义了两种运算,看似复杂,但事实上运算结果可 以通过题目中的表格得出.借助于集合定义新运算是高考 中命制创新试题的一个良好素材.

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变式训练 4
已知集合 S={0,1,2,3,4,5}, A 是 S 的一个子集, 当 x∈A 时, 若有 x-1?A, 且 x+1?A, 则称 x 为 A 的一个“孤立元素”,

6 那么 S 中无“孤立元素”的 4 个元素的子集共有________

{0,1,2,3} . 个,其中的一个是____________
由成对的相邻元素组成的四元子集都没有“孤立元 素”, 如{0,1,2,3}, {0,1,3,4}, {0,1,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,4,5}, {2,3,4,5}这样的集合,故共有 6 个.

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易错警示
忽略空集致误
(1)(5 分)若集合 P={x|x2+x-6=0},S={x|ax+1=0}, 且 S?P,则由 a 的可取值组成的集合为__________. (2)(5 分)若集合 A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m- 1},且 B?A,则由 m 的可取值组成的集合为__________.

学生答案展示

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审题视角
(1)从集合的关系看,S?P,则 S=?或 S≠?.(2)从集合元素 1 1 看,第(1)小题 S≠?时,S 中元素为-a=-3 或-a=2, ?m+1≤2m-1 ? 1 1 即 a= 或 a=- .第(2)小题 B≠?,必有?m+1≥-2 . 3 2 ?2m-1≤5 ?

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(1)P={-3,2}. 当 a=0 时, S=?, 满足 S?P; 1 当 a≠0 时,方程 ax+1=0 的解集为 x=-a, 1 1 为满足 S?P 可使-a=-3 或-a=2, ? 1 1? ? ? 1 1 ? 即 a= 或 a=- .故所求集合为 0,3,-2?. ? ? 3 2 ? ?
(2)当 m+1>2m-1,即 m<2 时,B=?,满足 B?A; 若 B≠?,且满足 B?A,如图所示, ?m+1≤2m-1, ?m≥2, ? ? 则?m+1≥-2, 即?m≥-3, ∴2≤m≤3. ?2m-1≤5, ?m≤3, ? ?
故 m<2 或 2≤m≤3,即所求集合为{m|m≤3}.
? 1 1? ? ? ? (1)?0,3,-2? ? ? ?

正确答案

(2){m|m≤3}

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批阅笔记

(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解 答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特 征.(2)在解答本题时,存在两个典型错误.一是忽略对空 集的讨论,如 S=?时,a=0;B=?时,m<2.二是易忽略 1 对字母的讨论.如-a可以为-3 或-2.因此,在解答此类 问题时,一定要注意分类讨论,避免漏解.

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方法与技巧
1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在 解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言 与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理 转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范 围时,要注意单独考察等号. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借 助 Venn 图.这是数形结合思想的又一体现.

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失误与防范
1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,是任何非 空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关 系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数集或 其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. 4.Venn 图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算 的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还 是空心. 5.要注意 A?B、A∩B=A、A∪B=B、?UA??UB、A∩ (?UB)=?这五个关系式的等价性.

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(Cantor1845-1918)

集合概念及其基本理论称 为集合论,它的创始人是德国 数学家康托尔 . 它是近、现代 数学的一个重要的基础 . 一方 面,许多重要的数学分支,如数 理逻辑、近世代数、实变函数、 泛函分析、概率统计、拓扑学 等 , 都建立在集合理论的基础 上 ; 另一方面,集合论及其所 反映的数学思想 , 在越来越广 泛的领域中得到应用.
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在一个村子中,有一位自认为手艺高超的理发师,他 对外宣称:“我不给村子里任何一个给自己刮脸的人刮 脸,但却给村子里所有不给自己刮脸的人刮脸,”有一 天,他发生了疑问:他是否应该给自己刮脸?就是罗素 1902年提出的,并于1918年将其通俗化的理发师悖论. 它的出现表示集合论本身存在着问题,进而表明整个数 学在基础上存在着问题,所以它引发了数学发展史上的 第三次危机.初看起来,它与集合论没有任何关系,如 果你想进一步了解它,请看分析: (1)对理发师悖论的理解: 现我们将村子里的人分成两类,(实际上就是两个 集合):集合A={村子中不给自己刮脸的人} ;集合 B={村子中给自己刮脸的人},很显然A与B是互为补集.
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理发师的疑问在于他不知道自己该属于哪一个集合. 1)若他属于A,则由他所宣称的第二句话可推出, 他要给自己刮脸,进而推出他属于B,这显然是不可 能的;同样道理可得到: 2)若他属于B,则他属于A,这也不可能.所以 他陷入了逻辑上的困境. (2)理发师悖论与集合论的关系: 我们知道集合的元素具有“确定性”,即一个对 象或者是集合A的元素或者不是集合A的元素,而两 者必居且只居其一.而此悖论恰恰说明理发师这个对 象在确定性上出了毛病.
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知识网络

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要点梳理
4.重要结论

忆一忆知识要点

? ? A (1) ??? A A??

?

(2) A B ? A ? A B
(3) A ( A B) ? A ? A ( A B)

(4)六个关系式的等价性 (A, B?U)
A B? A A B?B 痧 UB? U A A (? U B) ? ? (? U A) B ? U
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A? B ?

要点梳理
(5) 易混的解集 {x| y=f(x)}

忆一忆知识要点

{y| y=f(x)} {(x,y)| y=f(x)}
{x| f(x)=0} {x| f(x)<0}

定义域 值域

点集 方程的解集 不等式的解集

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题型一 集合的概念
例1.已知:A={x|y=x2-2x+1},B={y|y=x2-2x+1}, C={x|x2-2x+1=0}, D={x|(x-1)2<0}, E={(x, y)|y=x2-2x+1}, 则下面结论正确的有??????? ( B )
①A?B?C?D ③A=E
解析



D 苘C

B

A

④A=B

A=R C={1}

B={ y| y≥0} D=?
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E代表抛物线y=x2-2x+1上的点表示的集合

题型一 集合的概念

2 y (1)(10 湖北)设集合 A ? {( x , y ) | x ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } , 4 16 4 则 A∩B 的子集的 个数是 . 2

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题型二 集合的运算 例2.设A={x|x>4, x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (1)若A∩B=?,求实数a的取值范围; (2)若A∩B≠?,求实数a的取值范围;
? a ≥ ?2, ? a ≥ ?2, ?? (1) ? ? ?2 ≤ a ≤1. ?a ≤ 1 ?a ? 3 ≤ 4 所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.
-2 4

(2) a ? ?2, 或 a ? 3 ? 4, ? a ? ?2, 或 a ? 1.
所以实数a的取值范围 a ? ?2或 a ? 1.
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例2.设A={x|x>4, x<-2}, B={x|a≤x<a +3}, (3)若A∩B=B,求实数a的取值范围; (4)若 (痧 B ? R A,求实数a的取值范围. R A)
(3)∵A∩B=B,∴B?A.
-2

4

-2

4

? a ? 3 ≤ ?2或a ? 4, 即 a ≤ ?5或 a ? 4.
所以实数a的取值范围

a ≤ ?5, 或 a ? 4.

(4) (痧 B? R A)

所以实数a的取值范围 ?2 ≤ a ≤ 1.
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? a ≥ ?2, ?R A ? {?2 ≤ x ≤ 4},? ? ?a ? 3 ≤ 4

R

A, ? B ? ?R A.

题型三 集合间的基本关系 4. 已知全集 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , U ? R, 2 4. 已知全集 U ? R, 集合 A ? x2x ? x ? 6 ? 0 , 43. . 已知全集 U ? R, 集合 A ? x x ? x?6 ? 0 , 例 2 2 B ? x x ? 2x ? 8 ? 0 , C ? x x ? 4ax ? 3a 2 ? 0 , 2 2 2 , B? x x ? 2 x ? 8 ? 0 C ? x x ? 4 ax ? 3 a ?0 , 2 2 2 B ? x x ? 2x ? 8 ? 0 , C ? x x ? 4ax ? 3a ? 0 , (A B|)? ? aB 若 U 的取值范围. 4.解: A ? x 2C ?,求实数 x?3 , ? x | x ? ?4, 或x ? 2 , (? Ax | ? B2 )? ?x C? ,求实数 的取值范围. 4.解: .解:若 A , ,, ? 3? BB ?a x |xx ? ?4, 或 x? 2 U 4 , A ? x | ? 2 ? x ? 3 ? | x ? ? 4, 或 x ? 2 A? B C? aB 若 U( ,求实数 的取值范围. 4.解: A x)| ? ?2 x?3 , ? x | x ? ?4, 或x ? 2 ,
2

? ? ? ? ? ?
u U u
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主页 x ? 3a ,显然不成立;…………9 ①当 a ? 0 时, C ? x | a ?

? ? A B ? ?x | x ? ?4, 或x ? ?2? , ? x 4, 或 xx ?? ?2 ? , ?A A B B? ?? x| |xx? ??? 4, 或 ? 2, ? ? ? A B ? ?x | x ? ?4, 或x ? ?2? , ?u( ( A B)B )? x4| ≤ ?4 ≤ x ≤ ?2? , ? UA ? ? x | ? x ≤ ?2? , ? ?uU ( A B) ? ?x | ?4 ≤ x ≤ ?2? , ?uU ( A B) ? ?x | ?4 ≤ x ≤ ?2? , 而 . .…………7 分 ?x? |( xa ? ) ? 0? 而 . .…………7 分 CC ?? |x (x ?x a? )(a x )( ?3 )3 ?a 0 ? 而 C ? ?x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0? . .…………7 分 而 C ? ?x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0? . .…………7 分
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?u B) ? ?x | ?4 ≤ x ≤ ?2? , U (A u , ? ( A? ? B x |a ? 4x ≤ 20 ?? ?? u UC 而 . .…………7 分 x)| ? (x )( ?x 3≤ a)? ? 而 C ?B x? |( a )( xx ?≤ 3a )2? 0? . .…………7 分 ?) x? |? 4 ≤ ? ?x ?, ≤ ?2? ,? u U (A 而 C ? ?x | ( x ? a)( x ? 3a) ? 0? . .…………7 分 而 C ? ?x . .…………7 分 | ( x ? a )( x ? 3 a ) ? 0 ? ①当 a ? 0 时, C ? ?x | a ? x ? 3a? ,显然不成立;… .…………7 0? . 而 .…………7 分 Ca?? (分 x?a )(? x? 3a ?x ?. 0|时, ① 当 C |) a? ?0x ?3 a? ,显然不成立; ?x 0 时, ? ax? a? ,显然不成立; ① 当 … aa ?? 0 时, CC ?? x? |x a |? ?x 3? a?3 ① 当 ,显然不成立; ………
u

? A uB ? ?x | x ? ?4, 或x ? ?2? , ?2? ,
u

a0 ?时, 0 时, C?? ? ② 当 ,不成立; ………… 3a ,显然不成立; …………9 分 ?② a? C ? x | a ? x ? 3 a ① 当 ,显然不成立; ……… ? a ? 0 C ? ? 当 时, ,不成立; ……… 0 时, ?? ② 当 ,不成立; ………… aa ?? 0 时, CC ?? ② 当 ,不成立; …………10 分 a0 ?时, 0 时, ; ③当 …………10 ( A B分 C ?分 ?x | 3a ? x ? a? ,要使 C? ? ②当 a ? ,不成立; …………10 U a x ? a? ,要使 U ( A ③当 a ? 0 时, C ? ?x | 3? a? ? 0, aa ?? 0 时, ( AU (B ) ?B C 0 时, CC ?? x? |3 a ? x? ?x a? A ③ 当 ,要使 ? x | 3 a ? a ③ 当 ,要使 ? ? 4 ? U ( A?4B) ? C , ? a? ,要使 只需 ? 3a ? ?4 4, 即 ? 2 ? a ? ? . 3 a ? ? U ? 3) ? C ( A B 3 a ? x ? a ③当 a ? 0 时, C ? ?x |? ,要使 ? ? ? a? U 2 ? a ? 只需 ? ,即 . …………12 分 ? ? 2 3 a ? ? 4 4 ? ? 3 a ? ? 2 3 a ? ? 4 4 ? ? 2 ? a ? ? 3 a ? ? 4 ? 只需 ,即 .…………12 分 4 ? ? 4 4 只需 ? 2 ? a ? ? ,即 . …………12 分 分 ( ? 2, ? ). 所以实数的取值范围是 ? ? 2 ? a ? ? 只需 ,即 . …………12 3 . …………12 分 a ? ? 2 ? 3a a ?? ?2 4 4 ?? 3 ? 3 ? 3只需 a ? ?2 ,即 ? 2 ? a ? ? .3 …………12 分

? ? ?

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【1】 A={ x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},B?A, m≤3 则m的取值范围是_________.
解:若B ? ?, 即m ? 1 ? 2m ?1,?m ? 2. ? ? A成立.
?m ? 1 ≤ 2m ? 1, ? 由题意得 ??2 ≤ m ? 1, 若B ? ?, 得 2 ≤ m ≤ 3. ?5 ≥ 2m ? 1 ?

∵{m|m<2}∪{m|2≤m≤3}={m|m≤3}.
即m的取值范围是 m ≤ 3.
A -2

?

? m+1

B

? 2m- 1

?
5

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【3】已知P ={x|x2– mx – 6m2=0} , Q={x|mx–1=0},且 Q ? P , 则由实数 a 组成的集 3 , 0, 3 } { ? 合是__________. 3 3 解:(1) 当m=0时, Q ? ?, P ? ?0? . 此时有 Q ? P . 1 }, Q ? { (2)当m≠0 时, m
1 即 m 是方程 x2– mx – 6m2 = 0 的根, 4 2 ? ( 1 )2 ? m ? 1 ? 6m 2 ? 0, 即 6m ? m ? 1 ? 0.
3. 1 ? m ? ? ?m ? . 3 3
2

1 ? P, 由 Q? P , 得 m

m

m

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题型四

集合中的信息迁移题

【例4】对任意两个正整数m、n,定义某种运算⊕:
m ? n, m与n奇偶性相同 , m ? n ?? ? , ?mn, m与n奇偶性不同

则集合P=

{(a, b)|a⊕b=8,a , b∈N* }中元素的个数为
【解】 当a, b奇偶性相同时, a⊕b=a+b=1+7=2+6=3+5 =4+4. 当 a, b奇偶性不同时, a⊕b=ab=1×8, 由于(a, b)有序, 故共有元素4×2+1=9个.
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9 .

补集思想 : 对于一些比较复杂、比较抽象, 条件和结论不明确,难以从正面入手的数学问 题,在解题时要调整思路,从问题的反面入手, 探求已知与未知的关系,能起到化难为易,化 隐为显的作用,从而解决问题.这种“正难则 反”策略运用的是补集思想,即已知全集U求 子集A,若直接求A困难,可先求 再由 ?U,A 求A. 痧 U ( U A) ? A,
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题型五 用补集思想解决问题
2 x ? 4ax ? 4a ? 3 ? 0; 例 5. 已知下列三个方程 2 2 2 x ? (a ? 1) x ? a ? 0; x ? 2ax ? 2a ? 0. 至少有一 个方程有实数根.求a的取值范围.

证明: 假设三个方程均无实数根,则有
?? 3 ? a ? ? 1 , ?(4a ) ? 4( ?4a ? 3) ? 0, ? 2 2 ? ? 2 2 1 ,? ? a ? ? 1, 或 a ? ( a ? 1) ? 4 a ? 0, ? ? 3 2 ? ? ?2 ? a ? 0. ?(2a ) ? 4( ?2a ) ? 0. ? ?
2

? 3 ? a ? ?1. 2

?

a | ? 3 ? a ? ?1 在R中的补集为 a | a ≤ ? 3 或a ≥ ?1 , 2 2

?

?

?

所以,至少有一个方程有实数根时, a的取值 范围为 a ≤ ? 3 , 或a ≥ ?1.
2
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题型五 用补集思想解决问题
? 5 ? 0的解集为M, 已知关于x的不等式 ax 3? M 【1】 2 x ?a
且5 ? M, 求实数 a 的取值范围.

· 3 ? 5 ? 0, 解:∵3 ? M,∴a 32 ? a

∴a ? 9或a ? 5 . 3

· 5 ? 5 ≥ 0, ∴ ∵5 ? M,∴a 1 ≤ a ? 25. 2 5 ?a

?1 ≤ a ? 5 或9 ? a ? 25. 3 5 ) (9, 25). 即实数a的取值范围是 [1, 3
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【2】已知A={x|x2+x+a≤0},B={x|x2-x+2a-1<0}, C={x|a≤x≤4a-9},且A、B、C中至少有一个不是空集,求a 的取值范围.

解析:这个问题的反面即是三个集合全为空集,即 : ? ?1-4a<0 ? 5 ?1-4(2a-1)≤0? ≤a<3, 8 ? ? ?a>4a-9 5 从而所求 a 的取值范围为:a≥3 或 a<8.
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2015-1-11

走进高考
为 E 的第 k 个子集,其中 k ? 2 1 ? 2 2
i ?1 i ?1

【1】 (10 湖南文 15) 若规定 E= {a1, a2 ,..., a10} 的子集 {ai1 ai2 ,..., ain }

?

? 2in ?1

,则

(1) {a1 , a3} 是 E 的第_________ 5 个子集; (2)E 的第 211 个子集是________________________ . 1 2 5 7 8

{a , a , a , a , a }
3?1 4?1

2 ? 1, 2 ? 2, 2 ? 8, 2 ? 8, 5?1 6?1 7 ?1 8?1 2 ? 16, 2 ? 32, 2 ? 64, 2 ? 128, 且 1 ? 4 ? 16 ? 64 ? 128 ? 211,
?i1 ? 1, i2 ? 2, i3 ? 5, i4 ? 7, i5 ? 8.
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1?1

2?1

走进高考
【2】 (10 四川 16)设 S 为复数集 C 的非空子集.若对任意

都有 x ? y,x ? y,xy ? S , 则称 S 为封闭集. 下列命题: x, y ? S , ① 集合 S={a+bi|( a,b 为整数, i 为虚数单位)}为封闭集; ② 若 S 为封闭集,则一定有 0 ? S ; ③封闭集一定是无限集; ④若 S 为封闭集, 则满足 S ? T ? C 的任意集合 T 也是封闭集. 其中真命题是

①②

(写出所有真命题的序号)

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走进高考
解:直接验证可知①正确. 当 S 为封闭集时,因为 x-y∈S,取 x=y,得 0∈S,②正确 对于集合 S={0},显然满足素有条件,但 S 是有限集,③错误 取 S={0}, T={0,1}, 满足 S ? T ? C ,但由于 0-1=-1?T, 故 T 不是封闭集,④错误

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解题是一种实践性技能 , 就象游泳、 滑雪、弹钢琴一样,只能通过模仿和实 践来学到它! ——波利亚


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