2015高考理科数学《空间几何体的结构》练习题


2015 高考理科数学《空间几何体的结构》练习题
[A 组 一、选择题 1.(2014 年临沂模拟 )如图是 一个物体的三视图,则此三视图所描述物体的直观图是( ) 基础演练·能力提升]

解析:由题意知应为 D. 答案:D 2.如图△A′B′C′是△ABC 的直观图,那么△ABC 是( )

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 解析:根据斜二测画法知△ABC 为直角三角形,B 正确. 答案 :B 3.(2013 年高考湖南卷)已知正方体的棱长为 1,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是 一个面积为 2的矩形,则该正方体的正视图的面积等于( A. 3 2 B.1 C. 2+1 2 D. 2 )

解析:由题意可知该正方体的放置如图所示,侧视图的方向垂直于面 BDD1B1,正视图的方向垂直 于面 A1C1CA,且正视图是长为 2,宽为 1 的矩形,故正视图的面积为 2,因此选 D.
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答案:D 4.(2014 年江西九校联考)如图,三棱锥 V-ABC 的底面为正三角形,侧面 VAC 与底面垂直且 VA 2 =VC,已知其正视图的面积为 ,则其俯视图的面积为( 3 )

A. C.

3 2 3 4

B. D.

3 3 3 6

解析:由题意知,该三棱锥的正视图为△VAC,作 VO⊥AC 于 O,连接 OB,设底面边长为 2a,高

VO=h,则△VAC 的面积为 ×2a ×h=ah= .又三棱锥的侧视图为 Rt△VOB,在正三角形 ABC 中,高 OB=
1 1 3 3 2 3 3a,所以侧视图的面积为 OB·VO= × 3a×h= ah= × = 2 2 2 2 3 3 答案:B 5.一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示,则该几何体的 俯视图为( )

1 2

2 3

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解析:由正视图和侧视图可知,该长方体挖掉一个小长方体后,相应位置在俯视图中应为左下角 位置,且可看见轮廓线,故选 C. 答案:C 6. 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 过对角线 BD1 的一个平面交 AA1 于 E, 交 CC1 于 F, 得四 边形 BFD1E,给出下列结论: ①四边形 BFD1E 有可能为梯形; ②四边形 BFD1E 有可能为菱形; ③四边形 BFD1E 在底面 ABCD 内的投影一定是正方形; ④四边形 BFD1E 有可能垂直于平面 BB1D1D; ⑤四边形 BFD1E 面积的最小值为 其中正确的是( A.①②③④ C.①③④⑤ ) B.②③④⑤ D.①②④⑤ 6 . 2

解析:四边形 BFD1E 为平行四边形,①显然不成立,当 E、F 分别为 AA1、CC1 的中点时,②④成 立,四边形 BFD1E 在底面的投影恒为正方形 ABCD.当 E、F 分别为 AA1、CC1 的中点时,四边形 BFD1E 的 面积最小,最小值为 答案:B 二、填空题 7.已知正四面体(所有棱长都相等的三棱锥)的俯视图如图所示,其中四边形 ABCD 是边长为 2 cm 的正方形,则这个正四面体的正视图的面积为________cm2. 6 . 2

解析:构 造一个边长为 2 cm 的正方体 ABCD-A1B1C1D1,在此正方体中作出一个正四面体 AB1CD1 , 易得该正四面体的正视图是一个底边长为 2 2 cm,高为 2 cm 的等腰三角形,从而可得正视图的面积 为 2 2 cm2. 答案:2 2 8.(2014 年东北三校联考)一个几何体的三视图如图所示,则侧视图的面积为________.
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1 解析:依题意得,几何体的侧视图的面积等于 22+ ×2× 3=4+ 3. 2 答案:4+ 3 9.如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图,则此几何体共由________块木块堆 成.

解析:根据题意可知,几何体的最底层有 4 块长方体,第 2 层有 1 块长方体,一共 5 块. 答案:5 三、解答题 10.已知:图①是截去一个角的长方体,试按图示的方向画出其三视图;图②是某几何体的三视 图,试说明该几何体的构成.

解析:图①几何体的三视图为:

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图②所示的几何体是上面为正六棱柱, 下面为倒立的正六棱锥的组合体. 11.用一个平行 于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为 1∶16,截去 的圆锥的母线长是 3 cm,求圆台的母线长. 解析:抓住轴截面,利用相似比,由底面积之比为 1∶16,设半径分别为 r、4r.

设圆台的母线长为 l,截得圆台的上、下底面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质得

3 = 3+l

r ,解得 l=9.所以,圆台的母线长为 9 cm 4r
12.(能力提升)已知正三棱锥 V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示.

(1)画出该三棱 锥的直观图; (2)求出侧视图的面积. 解析:(1)如图所示.

(2)根据三视图间的关系可得 BC=2 3, ∴侧视图中

VA=
=2 3,

?2 ? 3 42-? × ×2 3?2 ?3 2 ?

1 ∴S△VB C= ×2 3×2 3=6. 2
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[B 组

因材施教·备选练习]

1.如图, 水平放置的三棱柱的侧棱长和底边 长均为 2, 且侧棱 AA1⊥平面 A1B1C1, 正视图是正方形, 俯视 图是正三角形,该三棱柱的侧视图面积为( )

A.2 3 C.2 2

B. 3 D.4

解析:由题意可知,该三棱柱的侧视图应为矩形,如图所示.

在该矩形中,MM1=CC1=2,

CM=C1M1=

3 ·AB= 3. 2

所以侧视图的面积为 S=2 3. 答案:A 2.(2014 年东莞调研)已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示,俯视图是边长为 2 的正三角形, 则该三棱锥的侧视图可能为( )

解析:由三视图间的关系,易知其侧视图是一个底边为 3,高为 2 的直角三角形,故选 B. 答案:B 3.已知一几何体的三视图如下,正视图和侧视图都是矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任 意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何图形的 4 个顶点,这些几何图形是________.(写出所有 正确结论的编号).

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①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是等腰三角形的四面体; ⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:由三视图知,几何体是正四棱柱,所以从该几何体上任意选择 4 个顶点,它们所构成的几 何图形只可能是:①③④⑤. 答案:①③④⑤

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