【K12教育学习资料】高中数学第四章导数及其应用4.3导数在研究函数中的应用4.3.2函数的极大值和

教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 4.3.2 1 1.函数 f(x)=x+ 在 x>0 时有 函数的极大值和极小值 基础达标 限时20分钟 ( B.极大值 D.极值不存在 ). x A.极小值 C.既有极大值又有极小值 1 解析 ∵f′(x)=1- 2,由 f′(x)>0, x 得 x>1 或 x<-1,又∵x>0,∴x>1. 由? ? ?f ?x>0. ? x <0, 得 0<x<1,即在(0,1)内 f′(x)<0, 在(1,+∞)内 f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)有极小值 f(1),但无极大值. 答案 A 2.函数 y=1+3x-x 有 A.极小值-1,极大值 1 C.极小值-2,极大值 2 2 3 ( B.极小值-2,极大值 3 D.极小值-1,极大值 3 ). 解析 y′=3-3x ,令 y′=0,解得 x=±1.x<-1 或 x>1 时,y′<0;-1<x<1 时, y′>0.可得 f(1)=3 是极大值,f(-1)=-1 是极小值. 答案 D 3.函数 f(x)的定义域为(a,b),导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如图所示, 则函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ( ). A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 解析 f(x)的极小值点左边有 f′(x)<0,极小值点右边有 f′(x)>0,因此 f′(x)的 图象在原点 O 左侧第一个与 x 轴的交点符合条件,且只有 1 个极小值点,故选 A. 答案 A 4.已知函数 y=aln x+bx +x 在 x=1 和 x=2 处有极值,则 a=________,b =________. 解析 ∵f′(x)= +2bx+1,由于 f′(1)=0,f′(2)=0. 2 a x 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 1 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 a+2b+1=0, ? ? ∴?1 a+4b+1=0. ? ?2 2 答案 - 3 1 - 6 2 1 解得 a=- ,b=- . 3 6 5.函数 y=cos 2x 在(0,π )内的极______值是______. π ? π ? f′(x) 解析 y′=(cos 2x)′=-2sin 2x, 令 y′=0, 得 x= , 又当 x∈?0, ?时, 2? 2 ? ?π ? <0;当 x∈? ,π ?时,f′(x)>0.故 y=cos 2x 在(0,π )内的极小值是-1. ?2 ? 答案 小 -1 2 1 6.(2011·四川)已知 f(x)= x+ ,h(x)= x,设 F(x)=f(x)-h(x),求 F(x)的 3 2 单调区间与极值. 解 F(x)=f(x)-h(x)= x+ - x(x≥0). 2 3 1 2 1 2 3 1 2 F′(x)= - x-2= 4 x-3 6 x . 9 令 F′(x)=0 得 x= . 16 9? ? ?9 ? 当 x∈?0, ?时,F′(x)<0;x∈? ,+∞?时,F′(x)>0. 16 16 ? ? ? ? 9? ? ?9 ? 故当 x∈?0, ?时,F(x)是减函数;x∈? ,+∞?时,F(x)是增函数. ? 16? ?16 ? F(x)在 x= 时,有极小值,F? ?= . 16 ?16? 8 综合提高 7.下列函数中,x=0 是其极值点的是 A.y=-x 3 9 ?9? 1 限时25分钟 ). 2 ( B.y=cos x D.y= 3 C.y=tan x-x 1 x+1 解析 显然 x=0 不是 y=-x ,y= 2 1 的极值点. x+1 又 y′=(cos x)′=2cos x(-sin x)=-sin 2x. 显然 x=0 时,y′=0,在 x0 的左右附近 y′正、负变化. ∴x0=0 是 y=cos x 的极大值点. 答案 B 2 专注专业学习坚持不懈勇攀高峰 2 教育是最好的老师,小学初中高中资料汇集 8.(2011·浙江)函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R),若 x=-1 为函数 f(x)e 的 一个极值点,则下列图象不可能为 y=f(x)的图象是 ( ). 2 x 解析 设 h(x)=f(x)e , 则 h′(x)=(2ax+b)e +(ax +bx+c)e =(ax +2ax+bx+b +c)e ,由 x=-1 为函数 f(x)e 的一个极值点,得 h′(-1)=0. 即 a-2a-b+b+c=0,∴c=a. x x x x 2 x 2 f(x)=ax2+bx+a.若方程 ax2+bx+a=0 有两个根 x1,x2,则 x1x2=1.D 图中一定不满 足该条件. 答案 D 9.(2011·广东)函数 f(x)=x -3x +1 在 x=________处取得极小值. 解析 f′(x)=3x -6x=3x(x-2), 当 x∈(0,2)时,f′(x)<0; 当 x∈(2,+∞)∪(-∞,0)时,f′(x)>0, ∴f(x)在(-∞,0)上是增函数,(0,2)上是减函数,(2,+∞)上是增函数. 所以 x=2 时,f(x)取得极小值. 答案 2 10.已知函数 f(x)=x·2 取得极小值时,x=________. 解析 f′(x)=2 +x·2 ln 2=2 (1+xln 2), 令 f′(x)=0 得 x=-log2e, 当 x>-log2e 时,f′(x)>0; 当 x<-log2e 时,f′(x)<0. ∴x=-log2e 时,f(x)取得极小值. 答案 -log2e 11.(2011·安徽)设 f(x)= e 2,其中 a 为正实数. 1+ax x x x x x 2 3 2 4 ①当 a= 时,求 f(x)的极值点;②若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 3 解 f′(x)= e x 1+ax -2axe e = 2 2 1+ax

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