[K12学习]2018版高中数学 第一章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(二)导学案 新人教A版必修4

K12 学习教育资源 1.2.1 任意角的三角函数(二) 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义,能用三角函 数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题. 知识点一 三角函数的定义域 思考 正切函数 y=tan x 为什么规定 x∈R 且 x≠kπ +π2 ,k∈Z? 答案 当 x=kπ +π2 ,k∈Z 时,角 x 的终边在 y 轴上,此时任取终边上一点 P(0,yP),因 为y0P无意义,因而 x 的正切值不存在.所以对正切函数 y=tan x,必须要求 x∈R 且 x≠kπ + π 2 ,k∈Z. 梳理 正弦函数 y=sin x 的定义域是 R;余弦函数 y=cos x 的定义域是 R;正切函数 y=tan x 的定义域是{x|x∈R 且 x≠kπ +π2 ,k∈Z}. 知识点二 三角函数线 思考 1 在平面直角坐标系中,任意角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM⊥x 轴,过 点 A(1,0)作单位圆的切线,交 α 的终边或其反向延长线于点 T,如图所示,结合三角函数的 定义,你能得到 sin α ,cos α ,tan α 与 MP,OM,AT 的关系吗? 答案 sin α =MP,cos α =OM,tan α =AT. 思考 2 三角函数线的方向是如何规定的? 答案 方向与 x 轴或 y 轴的正方向一致的为正值,反之,为负值. 思考 3 三角函数线的长度和方向各表示什么? 答案 长度等于三角函数值的绝对值,方向表示三角函数值的正负. 梳理 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 图示 正弦线 余弦线 正切线 角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴,有向 线段 MP 即为正弦线 有向线段 OM 即为余弦线 过点 A(1,0)作单位圆的切线,这条切线必然平行于 y 轴,设它与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T,有向线段 AT 即为正切线 类型一 三角函数线 例 1 作出-58π 的正弦线、余弦线和正切线. 解 如图所示, sin???-5π8 ???=MP, cos???-5π8 ???=OM, tan???-5π8 ???=AT. 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时,首先找到角的终边与单位圆的交点,然后过此交点作 x 轴的垂线,得到垂足,从而得到正弦线和余弦线. (2)作正切线时,应从点 A(1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点 T,即 K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 可得到正切线 AT. 1 跟踪训练 1 在单位圆中画出满足 sin α =2的角 α 的终边,并求角 α 的取值集合. 解 已知角 α 的正弦值,可知 MP=12,则 P 点纵坐标为12.所以在 y 轴上取点???0,12???,过这点 作 x 轴的平行线,交单位圆于 P1,P2 两点,则 OP1,OP2 是角 α 的终边,因而角 α 的取值集 合为{α |α =2kπ +π6 或 α =2kπ +56π ,k∈Z}. 类型二 利用三角函数线比较大小 例 2 利用三角函数线比较 sin23π 和 sin45π ,cos23π 和 cos45π ,tan23π 和 tan45π 的大小. 解 如图,sin23π =MP,cos23π =OM,tan23π =AT,sin45π =M′P′,cos45π =OM′,tan45π =AT′. 显然|MP|>|M′P′|,符号皆正, ∴sin23π >sin45π ; |OM|<|OM′|,符号皆负,∴cos23π >cos45π ; |AT|>|AT′|,符号皆负,∴tan23π <tan45π . 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时,一般分三步:(1)角的位置要“对号 入座”;(2)比较三角函数线的长度;(3)确定有向线段的正负. 跟踪训练 2 比较 sin 1 155°与 sin(-1 654°)的大小. 解 sin 1 155°=sin(3×360°+75°)=sin 75°, sin(-1 654°)=sin(-5×360°+146°)=sin 146°. 如图,在单位圆中,分别作出 sin 75°和 sin 146°的正弦线 M1P1,M2P2. K12 学习教育资源 K12 学习教育资源 ∵M1P1>M2P2,且符号皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 类型三 利用三角函数线解不等式(组) 命题角度 1 利用三角函数线解不等式?组? 例 3 在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边的范围,并由此写出角 α 的集合. (1)sin α ≥ 23; (2)cos α ≤-12. 解 (1)作直线 y= 23交单位圆于 A,B 两点,连接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(如图(1) 所示的阴影部分,包括边界),即为角 α 的终边的范围. 故满足要求的角 α 的集合为{α |2kπ +π3 ≤α ≤2kπ +23π ,k∈Z}. (2)作直线 x=-12交单位圆于 C,D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 围成的区域(如图(2)所 示的阴影部分,包括边界),即为角 α 的终边的范围. 故满足条件的角 α 的集合为{α |2kπ +23π ≤α ≤2kπ +4π3 ,k∈Z}. 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式,应注意以下两点: (1)先找到“正值”区间,即 0~2π 内满足条件的角 θ 的范围,然后再加上周期; (2)注意区间是开区间还是闭区间. 跟踪训练 3 已知-12≤cos θ < 23,利用单位圆中的三角函数线,确定角 θ 的取值范围. 解 图中阴影部分就是满足条件的角 θ 的范围,即 {θ |2kπ -23π ≤θ <2kπ -π6 或 2kπ +π6 <θ ≤2kπ +23π ,k∈Z}. 命

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