南模2018高二下数学

上海市南模中学 2017-2018 学年高二下学期期末考试数学试卷

(Word 版含答案)

2018.06

一. 填空题

1. 若 i 是虚数单位,复数 z 满足 (3 ? 4i)z ? 5 ,则 z 的虚部为

2. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,异面直线 A1C 和 B1D1 所成角的大小为 3. 正四面体 S-ABC 的所有棱长都为 2,则它的体积为

4. 7 个人站成一排,其中甲一定站在最左边,乙和丙必须相邻,一共有

种不同排法

5. 某天有 10 名工人生产同一零部件,生产的件数分别是:15、17、14、10、15、17、17、

16、14、12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则 a、b、c 从小到大的关系依次是

6. 正三棱锥底面边长为 1,侧面与底面所成二面角为 45°,则它的全面积为 7. 正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 2,若 AC1 与底面 ABCD 所成角为 60°,则 A1C1 和底面 ABCD 的距离是 8. 棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的 8 个顶点都在球面 O 的表面上,E、F 分别是棱 AA1 、 DD1 的中点,则直线 EF 被球 O 截得的线段长为 9. 已知正整数 n,二项式 (x3 ? 2 )n 的展开式中含有 x7 的项,则 n 的最小值是
x2 10. 在复数范围内解方程| z |2 ?(z ? z )i ? 3 ? i (i 为虚数单位), z ?
2?i 11. 把 4 个相同的球放进 3 个不同的盒子,每个球进盒子都是等可能的,则没有一个空盒子 的概率为 12. 在 xOy 平面上,将双曲线的一支 x2 ? y2 ? 1 (x ? 0)
9 16 及其渐近线 y ? 4 x 和直线 y ? 0 、 y ? 4 围成的封闭图形
3 记为 D,如图中阴影部分,记 D 绕 y 轴旋转一周所得的 几何体为 ? ,过 (0, y) (0 ? y ? 4) 作 ? 的水平截面,计 算截面面积,利用祖暅原理得出 ? 体积为

二. 选择题 13. 已知 l、m、n 是空间三条直线,则下列命题正确的是( )
A. 若 l // m,l // n,则 m // n B. 若 l⊥m,l⊥n,则 m // n C. 若点 A、B 不在直线 l 上,且到 l 的距离相等,则直线 AB // l D. 若三条直线 l、m、n 两两相交,则直线 l、m、n 共面 14. 一个圆柱形的罐子半径是 4 米,高是 9 米,将其平放,并在其中注入深 2 米的水,截面 如图所示,水的体积是( )平方米

A. 24? ? 24 3

B. 36? ? 36 3

C. 36? ? 24 3

D. 48? ? 36 3

15. 为了研究某药厂的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单

位:kPa)的分组区间为[12,13) 、[13,14) 、[14,15) 、[15,16) 、[16,17] ,将其按从左到右的

顺序分别编号为第一组、第二组、……、第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方

图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数

为( )

A. 6

B. 8

C. 12

D. 18

16. 若 (1? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ??? ? a7 x7 ,则| a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ??? ? | a7 | ? ( )

A. ?1

B. 1

C. 0

D. 37

17. 从 8 名女生和 4 名男生中选出 6 名学生组成课外活动小组,则按性别分层抽样组成课外

活动小组的概率为( )

A. C84C42 C 162

B. C83C43 C 162

C. C162 P162

D. P84 P42 P162

18. 已知复数 z 满足| z ?1? 2i | ? | z ? 2 ? i | ? 3 2 (i 是虚数单位),若在复平面内复数 z 对

应的点为 Z,则点 Z 的轨迹为( )

A. 双曲线的一支

B. 双曲线

C. 一条射线

D. 两条射线

三. 解答题

19. 求 ( x ? 2 )8 的二项展开式中的第 5 项的二项式系数和系数. 3x
20. 已知关于 x 的方程 x2 ? 4x ? p ? 0 ( p ? R) 的两个根是 x1 、 x2 . (1)若 x1 为虚数且| x1 | ? 5 ,求实数 p 的值; (2)若 | x1 ? x2 | ? 2 ,求实数 p 的值.
21. 沙漏是古代的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组 成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称 为该沙漏的一个沙时,如图,某沙漏由上下两个圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为 8cm, 细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的 2 (细管长度忽略不计).
3 (1)如果该沙漏每秒钟漏下 0.02cm?的沙,则该沙漏 的一个沙时为多少秒?(精确到 1 秒) (2)细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏 底部的圆锥形沙堆,求此锥形沙堆的高度. (精确到 0.1cm)
22. 在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA ? AD ? 4 , AB ? 2 , 以 AC 的中点 O 为球心,AC 为直径的球面交 PD 于点 M,交 PC 于点 N. (1)求证:平面 ABM⊥平面 PCD; (2)求直线 CD 与平面 ACM 所成角的大小; (3)求点 N 到平面 ACM 的距离.
23. 小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求 是:做对一道题得 1 分,做错一道题扣去 1 分,不做得 0 分,总得分 7 分就算及格,小威的 目标是至少得 7 分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记 6 分,而他做 余下的四道题中,每道题做对的概率均为 p (0 ? p ? 1) ,考试中,小威思量:从余下的四道题

中再做一题并且及格的概率 P1 ? p ;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率 P2 ? p2 ,他 发现 P1 ? P2 ,只做一道更容易及格. (1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为 P3 ,从余下的四道题中全做并且及 格的概率为 P4 ,求 P3 及 P4 ; (2)由于 p 的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率 最大?

参考答案

一. 填空题

1. 4 5

2. ? 2

3? 6 4

3. 2 2 3

7. 2 6

8. 2

9. 4

4. 240

5. a ? b ? c

10. 1 ? 3 i 22

11. 1 5

6.
12. 36?

二. 选择题

13. A

14. D

15. C

16. D

17. A

18. C

三. 解答题

19.

T5 ? C84 (

x)4( 2 )4 3x

,二项式系数为 C84

?

70 ,系数为 1120 81

.

20.(1) ? ? 0, p ? 4 , p ? x1x2 ? x1x1 ? | x1 |2 ? 25 ,∴ p ? 25 ;

(2) x1 ? x2 ? ?4 , x1x2 ? p ,若 ? ? 0,即 p ? 4 ,则| x1 ? x2 | ? 16 ? 4 p ? 2 ,∴ p ? 3 ;

若 ? ? 0,即 p ? 4 ,则| x1 ? x2 | ? 4 p ?16 ? 2 ,∴ p ? 5;综上, p ? 3或 p ? 5.

21.(1)V ? 1? r2H ? 1? ? (8)2 ? 16 ? 39.71,V ? 0.02 ?1986,一沙时为 1986 秒;

3

3 33

(2)V ? 1? ? 42 ? H ? ? 1024 ? ,∴ H ? ? 64 ? 2.4 ,沙堆高度约为 2.4cm.

3

81

27

22.(1)AC 是所作球面的直径,AM⊥MC,PA⊥平面 ABCD,则 PA⊥CD,又 CD⊥AD,

∴CD⊥平面 PAD,则 CD⊥AM,∴AM⊥平面 PCD,∴平面 ABM⊥平面 PCD;

(2) AM ? 2 2 , MC ? 2 3 , S ACM ? 2 6 ,设 D 到平面 ACM 的距离为 h,

由 VD? ACM

? VM ?ACD ,求得 h ?

2 6 ,∴ sin? 3

?

h CD

?

6 ,? ? arcsin 3

6; 3

(3) PC ? 6 , PN ? PA ,∴ PN ? 8 ,∴ NC : PC ? 5: 9,所求距离 5 h ? 10 6 .

PA PC

3

9 27

23.(1) P3 ? p3 ? 3 p2 (1? p) ? p2 (3 ? 2 p) , P4 ? p4 ? 4 p3 (1? p) ? p3 (4 ? 3 p) ;

(2)①

P1

?

P3 且

P1

?

P4

,∴ 0

?

p

?

1 2

;②

P3

?

P1 且

P3

?

P4 ,

1 2

?

p

?1;



P4

?

P1 且 P4

?

P3 ,无解;综上,0

?

p

?

1 2

时,恰做一道及格概率最大;p

?

1 2

时,P1

?

P3 ;

1 ? p ? 1 时,恰做三道及格概率最大. 2


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