高考数学一轮复习 专题探究课 导数问题中的热点题型 文 新人教A


热点一 利用导数解决函数的单调性

利用导数求解函数的极值、 热点二 最值

构造函数法求解不等式恒成 热点三 立问题

热点突破
热点一 利用导数解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数在定义域内的局部性质,因此利 用导数讨论函数的单调性时,要先研究函数的定义域,再 利用导数f′(x)在定义域内的符号来判断函数的单调性.这 类问题主要有两种考查方式:

热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题
1 3 【例 1】 (12 分 )(2014· 广东卷节选 )已知函数 f(x)= x + x2+ ax+ 3 1(a∈R),求函数 f(x)的单调区间.

解 f′(x)=x2+2x+a,开口向上, Δ=4-4a=4(1-a).(2分) ①当1-a≤0,即a≥1时,f′(x)≥0恒成立, f(x)在R上单调递增.(4分) ②当1-a>0时,即a<1时,令f′(x)=0,
-2- 4(1-a) 解得 x1= =-1- 1-a,x2=-1+ 1-a.(6 分) 2

令 f′(x)>0,解得 x<-1- 1-a或 x>-1+ 1-a;
令 f′(x)<0,解得-1- 1-a<x<-1+ 1-a;(8 分)

热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题
1 3 【例 1】 (12 分 )(2014· 广东卷节选 )已知函数 f(x)= x + x2+ ax+ 3 1(a∈R),求函数 f(x)的单调区间.

所以 f(x)的单调递增区间为(-∞, -1- 1-a)和(-1+ 1-a, +∞); f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a).(10 分)

综上所述: 当a≥1时,f(x)在R上单调递增;
当 a<1 时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1- 1-a)
和(-1+ 1-a,+∞),
f(x)的单调递减区间为(-1- 1-a,-1+ 1-a).(12 分)

热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题

求含参函数f(x)的单调区间的一般步骤:
第一步 第二步 第三步 第四步 第五步

求函数 f(x)的定义域(根据已知函数解析式确定) 求函数 f(x)的导数 f′(x)
根据参数分类讨论

求解(令 f′(x)>0 或令 f′(x)<0)

下结论.

热点突破 热点一 利用导数解决函数的单调性问题

讨论含参函数的单调性,大多数情况下归结为对含有参 数的不等式的解集的讨论,注意根据对应方程解的大小进行 分类讨论.

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

【训练1】 已知函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1,求函数f(x)的单 调区间.
a-1 2ax2+a-1 解 f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)= +2ax= . x x (1)当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减; 1-a (3)当0<a<1时,令f′(x)=0,解得 x= , 2a 1-a? ? 则当 x∈?0, ?时,f′(x)<0; 2 a ? ?

? 当 x∈? ?

1-a ?时,f′(x)>0, ,+∞? 2a ?
1-a? ? 在 ?上单调递减, ? 2a ? ?

? 故 f(x)在?0, ?

1-a ?上单调递增. ,+∞? 2a ?

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

而f′(2)=4+a=2,解得a=-2, 2 2( x +ax-1) 2 2 , (2)由题意知 g(x)= +x +2aln x,则 g′(x)= x x2 令h(x)=x2+ax-1, 函数g(x)在[1,2]上是减函数等价于h(x)≤0在[1,2]上恒成立, ? ?h(1)≤0, 3 只需满足 ? 解得 a≤- . 2 ?h(2)≤0 , ? 3? ? 故实数 a 的取值范围是?-∞,-2?.

【例 2】 (2014· 成都检测)已知函数 f(x)=x2+2aln x(a≠0). (1)若函数 f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线斜率为 2,求实数 a 的值; 2 (2)若函数 g(x)= +f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围. x 2a 2 解 (1)由 f(x)=x +2aln x,得 f′(x)=2x+ , x

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求解此类由函数单调性确定参数取值范围问题的关键在 于根据函数的符号变化确定参数所满足的条件,函数在指定

区间内不单调也就是导函数在指定区间内符号发生变化,此
类问题的求解,一般是利用补集思想,先求函数在指定区间 内单调时对应的参数取值范围,然后求解补集,也可根据导 函数图象的特征列出对应的条件.

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

【训练2】 已知函数f(x)=exln x-aex(a≠0). (1) 若函数 f(x) 的图象在点 (1 , f(1)) 处的切线与直线 x - ey - 1 = 0 垂直,求实数a的值; (2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
1 1 (1)f′(x)=exln x+ex· -aex=( -a+ln x)ex, f′(1)=(1-a)e, x x 1 由(1-a)e· =-1 得 a=2. e 1 (2)由(1)知 f′(x)=( -a+ln x)ex, x 若f(x)为单调递减函数,则f′(x)≤0, 解

1 1 即 -a+ln x≤0, 所以 a≥ +ln x. x x 1 1 1 x-1 令 g(x)= +ln x(x>0), 则 g′(x)=- 2+ = 2 (x>0), x x x x

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热点一

利用导数解决函数的单调性问题

【训练2】 已知函数f(x)=exln x-aex(a≠0). (1) 若函数 f(x) 的图象在点 (1 , f(1)) 处的切线与直线 x - ey - 1 = 0 垂直,求实数a的值; (2)若函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
由g′(x)>0得x>1, 故g(x)在(0,1]上为单调递减函数, 在[1,+∞)上为单调递增函数, 此时g(x)有最小值为g(1)=1,但g(x)无最大值. 故f(x)不可能是单调递减函数. 若f(x)为单调递增函数, 1 1 则 f′(x)≥0,即 -a+ln x≥0, 所以 a≤ +ln x, x x 由上述推理可知此时a≤1. 故a的取值范围是(-∞,1].

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热点二 利用导数求解函数的极值、最值

用导数研究函数的极值或最值是高考命题的重要题型之 一.对于此类问题的求解,首先,要理解函数极值的概念 ,需要清楚导数为零的点不一定是极值点,只有在该点两 侧导数的符号相反,即函数在该点两侧的单调性相反时, 该点才是函数的极值点;其次,要区分极值与最值,函数 的极值是一个局部概念,而最值是某个区间的整体性概念 .

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值
【例 3】 已知函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e(e 为自然对数 的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; f(x) (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. x-1
解 (1)因为f(x)=ax+xln x,

所以f′(x)=a+ln x+1. 因为函数f(x)=ax+xln x的图象在点x=e处的切线斜率为3, 所以f′(e)=3,

即a+ln e+1=3,
所以a=1.

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值
【例 3】 已知函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e(e 为自然对数 的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; f(x) (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. x-1

(2)由(1)知,f(x)=x+xln x, x+xln x f(x) 又 k< 对任意 x>1 恒成立,即 k< 对任意 x>1 恒成立. x-1 x-1 x-ln x-2 x+xln x 令 g(x)= ,则 g′(x)= 2 , (x-1) x-1 1 x-1 令h(x)=x-ln x-2(x>1),则 h′(x)=1- = >0, x x 所以函数h(x)在(1,+∞)上单调递增. 因为h(3)=1-ln 3<0,h(4)=2-2ln 2>0,

所以方程h(x)=0在(1,+∞)上存在唯一实根x0,
且满足x0∈(3,4).

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值
【例 3】 已知函数 f(x)=ax+xln x 的图象在点 x=e(e 为自然对数 的底数)处的切线斜率为 3. (1)求实数 a 的值; f(x) (2)若 k∈Z,且 k< 对任意 x>1 恒成立,求 k 的最大值. x-1

当1<x<x0时,h(x)<0,即g′(x)<0, 当x>x0时,h(x)>0,即g′(x)>0, x+xln x 所以函数 g(x)= 在(1,x0)上单调递减, x-1 在(x0,+∞)上单调递增, x0(1+ln x0) x0(1+x0-2) = =x0∈(3,4), 所以[g(x)]min=g(x0)= x - 1 0 x0-1 所以k<[g(x)]min=x0∈(3,4),故整数k的最大值为3.

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值

求解此类问题的关键在于正确理解最值的求解、 判断的方法, 将其转化为函数的单调性问题求解,对于由函数的极值求解含参 问题要注意结合导函数图象的性质进行分析,函数有极值点,则 其导函数的图象必须穿过 x 轴,而若导函数的图象与 x 轴有公共 点,则该函数不一定有极值点.

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值
1 3 【训练 3】 (2015· 德阳期中)已知函数 f(x)= x -ax+1. 3 (1)当 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)在[0,1]上的最小值.

解 因为f′(x)=x2-a, (1)当x=1时,f(x)取得极值, 所以f′(1)=1-a=0,a=1, 又当x∈(-1,1)时,f′(x)<0; x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在x=1处取得极小值,即a=1时符合题意. (2)①当a≤0时,f′(x)>0对x∈(0,1)恒成立, 所以f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1. ②当a>0时,令f′(x)=x2-a=0, 解得 x=- a或 a.

热点突破 热点二 利用导数求解函数的极值、最值
1 3 【训练 3】 (2015· 德阳期中)已知函数 f(x)= x -ax+1. 3 (1)当 x=1 时,f(x)取得极值,求 a 的值; (2)求 f(x)在[0,1]上的最小值.
ⅰ.当 0<a<1 时, a<1, 当 x∈(0, a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈( a,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,

2a a 所以 f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)=1- . 3 ⅱ.当 a≥1 时, a≥1. x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 4 所以 f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)= -a. 3 综上所述,当a≤0时,f(x)在x=0处取得最小值f(0)=1, 2a a 当 0<a<1 时,f(x)在 x= a处取得最小值 f( a)=1- , 3 4 当 a≥1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值 f(1)= -a. 3

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

函数与导数的试题,在每年的高考中属于必考内容,一般 为压轴题,主要围绕函数的单调性、极值、最值、不等式 恒成立等问题展开,此类压轴试题难度较大,对逻辑推理 能力较强,不可小视.

热点突破

热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

【例4】 (2015· 石家庄模拟)已知函数f(x)=xln x-(x-1)(ax-a +1)(a∈R).(1)若a=0,判断函数f(x)的单调性; (2)若x>1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
解 (1)若a=0,则f(x)=xln x-x+1,

f′(x)=ln x, x∈(0,1)时,f′(x)<0, f(x)为减函数; x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, f(x)为增函数.

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

【例4】 (2015· 石家庄模拟)已知函数f(x)=xln x-(x-1)(ax-a +1)(a∈R).(1)若a=0,判断函数f(x)的单调性; (2)若x>1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
一审 二审
抓住 a∈R,可分 a=0 或 a≠0.

f(x)<0,x∈(1,+∞)恒成立?为什么? (x-1)(ax-a+1) ln x- <0,x∈(1,+∞)恒成立. x
(x-1)(ax-a+1) 构造函数 h(x)=lnx- ,x∈(1,+∞) x

三审 四审

求 h′(x),令 h′(x)=0.
再对 a 分类讨论.

五审

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

【例4】 (2015· 石家庄模拟)已知函数f(x)=xln x-(x-1)(ax-a +1)(a∈R).(1)若a=0,判断函数f(x)的单调性; (2)若x>1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
(2)依题意知xln x-(x-1)(ax-a+1)<0在(1,+∞)上恒成立. ①若a=0,则f(x)=xln x-x+1,f′(x)=ln x, x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴f(x)为增函数, ∴f(x)>f(1)=0,即f(x)<0不成立, ∴a=0不合题意. ②若a≠0,∵x>1, (x-1)(ax-a+1) ∴ln x- <0 在(1,+∞)上恒成立, x (x-1)(ax-a+1) 不妨设 h(x)=ln x- ,x∈(1,+∞), x ax2-x-a+1 (x-1)(ax+a-1) h′(x)=- =- ,x∈(1,+∞), 2 2 x x

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

【例4】 (2015· 石家庄模拟)已知函数f(x)=xln x-(x-1)(ax-a +1)(a∈R).(1)若a=0,判断函数f(x)的单调性; (2)若x>1时,f(x)<0恒成立,求a的取值范围.

1-a 令 h′(x)=0,得 x1=1,x2= . a 1-a 若 a<0,则 x2= <1, a x>1时h′(x)>0,h(x)为增函数,h(x)>h(1)=0,不合题意; 1-a? 1 ? 若 0<a< ,则 x2>1, x∈ 1, 时 h′(x)>0, 2 a ? ? h(x)为增函数,h(x)>h(1)=0,不合题意;
1 若 a≥ ,则 x2≤1,x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,h(x)为减函数, 2

h(x)<h(1)=0,符合题意. 1 综上所述,a≥ . 2

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

求解不等式恒成立时参数的取值范围问题,一般常用分离参 数的方法,但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最 值,或者求解其函数最值繁琐时,可采用直接构造函数的方 法求解.

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

1 3 2 【训练 4】 已知函数 f(x)=- x +x +(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; 3 ? (2)若 y=f(x)在?2,+∞? ?上存在单调递增区间,求 m 的取值范围; (3)已知函数 y=f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围.
1 3 解 (1)m=2 时,f(x)=- x +x2+3x, 3 ∵f′(x)=-x2+2x+3,
∴k=f′(3)=0,

又f(3)=9,
∴切线方程为y=9.

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

1 3 2 【训练 4】 已知函数 f(x)=- x +x +(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (1)当 m=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; 3 ? (2)若 y=f(x)在?2,+∞? ?上存在单调递增区间,求 m 的取值范围; (3)已知函数 y=f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围.
(2)f′(x)=-x2+2x+m2-1,其对称轴为x=1, 3? ? 由条件知 f′?2?>0, 1 2 ∴m > ,又 m>0, 4 1 ∴m> . 2

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热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

1 3 2 【训练 4】 已知函数 f(x)=- x +x +(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (3)已知函数 y=f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围.

1 (3)f(x)=- (x-0)(x-x1)(x-x2), 3 1 2 x1,x2 为方程- x +x+m2-1=0 的两根, 3 ∴x1+x2=3,且Δ>0, 1 结合 m>0,解得 m> . ① 2 3 ∵x1<x2,∴x2> , 下面讨论x1与1. 2 1 若 x1≤1<x2 时,则 f(1)=- (1-0)(1-x1)(1-x2), 3 ∴f(1)≥0,而f(x1)=0,与条件矛盾.

热点突破

热点三

构造函数法求解不等式恒成立问题

1 3 2 【训练 4】 已知函数 f(x)=- x +x +(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3 (3)已知函数 y=f(x)有三个互不相同的零点 0,x1,x2,且 x1<x2,若 对任意的 x∈[x1,x2],f(x)>f(1)恒成立,求 m 的取值范围.

若1<x1<x2,则对?x∈[x1,x2], 1 f(x)=- x(x-x1)(x-x2)≥0, 3 又f(x1)=0, ∴f(x)在[x1,x2]上的最小值为0. 又f(x)>f(1)恒成立, ∴f(x)min>f(1),即0>f(1), 3 3 2 1 ∴m - <0?- <m< . ② 3 3 3 1 3? ? 由①②知,m 的取值范围为 , . ?2 3 ?


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