精品高中数学北师大版选修2-3学案:1.1.2 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 Word版含解析

北师大版数学精品教学资料 第 2 课时 分类加法计数原理与分步乘 法计数原理的应用 1.掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理.(重点) 2.会应用两个计数原理解决简单的实际问题.(难点) [基础· 初探] 教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理的联系与区别 阅读教材 P3“例 1”和 P4“例 2”部分,完成下列问题. 两个计数原理的联系与区别: 原理 相同 点 分类加法计数原理 把一个原始事件________事件来完成 与分类有关 不同 点 与分步有关 分步乘法计数原理 每类方法都能______这件事, 每一步得到的只是______结 它们是相互______的,且每一 果,任何一步都不可能 次得到的都是最后结果,只需 ________这件事,缺少______ ______方法就可以完成这件 事 都不可能完成这件事,只有 __________都完成了,才能完 成这件事 各类方法之间是互斥的,并列 各步之间是有关联的,不独立 的,独立的 【答案】 分解成若干个 步 各个步骤 完成 独立 的 一种 中间 独立地完成 任何一 1.由 1,2,3,4 组成没有重复数字的三位数的个数为________. 【解析】 由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为 4×3×2=24. 【答案】 24 2.(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4)展开后共有________项. 【解析】 该展开式中每一项的因式分别来自 a1+a2+a3,b1+b2+b3,c1 +c2+c3+c4 中的各一项.由 a1,a2,a3 中取一项共 3 种取法,从 b1,b2,b3 中 取一项有 3 种不同取法,从 c1,c2,c3,c4 中任取一项共 4 种不同的取法.由分 步乘法计数原理知,该展开式共 3×3×4=36(项). 【答案】 36 3.5 名班委进行分工,其中 A 不适合当班长,B 只适合当学习委员,则不 同的分工方案种数为________. 【解析】 根据题意,B 只适合当学习委员,有 1 种情况,A 不适合当班长, 也不能当学习委员,有 3 种安排方法,剩余的 3 人担任剩余的工作,有 3×2×1 =6 种情况,由分步乘法计数原理,可得共有 1×3×6=18 种分工方案. 【答案】 18 4.用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数必须全部使用,且同一 数字不能相邻,这样的四位数有________个. 【解析】 分三步完成, 第 1 步, 确定哪一个数字被使用 2 次, 有 3 种方法; 第 2 步,把这 2 个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上,有 3 种方法;第 3 步, 将余下的 2 个数字排在四位数余下的两个位置上, 有 2 种方法. 故有 3×3×2 =18 个不同的四位数. 【答案】 18 [质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: [小组合作型] 抽取(分配)问题 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践,其 中工厂甲必须有班级去,每班去何工厂可自由选择,则不同的分配方案有( A.16 种 C.37 种 B.18 种 D.48 种 ) (2)甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡,放在一起,再各取一张不是自己的 贺卡,则不同取法的种数有________. 【精彩点拨】 可考虑间接法求解. (2)先让一人去抽,然后再让被抽到贺卡所写人去抽. 【自主解答】 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会 (1)由于去甲工厂的班级分配情况较多,而其对立面较少, 实践有 43 种不同的分配方案,若三个班都不去工厂甲则有 33 种不同的分配方 案.则满足条件的不同的分配方案有 43-33=37(种).故选 C. (2)不妨由甲先来取,共 3 种取法,而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来 取,共 3 种取法,余下来的人,都只有 1 种选择,所以不同取法共有 3×3×1×1 =9(种). 【答案】 (1)C (2)9 求解抽取(分配)问题的方法 1.当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表 法. 2.当涉及对象数目很大时,一般有两种方法:①直接法:直接使用分类加 法计数原理或分步乘法计数原理.②间接法:去掉限制条件,计算所有的抽取方 法数,然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可. [再练一题] 1.3 个不同的小球放入 5 个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有 多少种方法? 【解】 法一 (以小球为研究对象)分三步来完成: 第一步:放第一个小球有 5 种选择; 第二步:放第二个小球有 4 种选择; 第三步:放第三个小球有 3 种选择. 根据分步乘法计数原理得: 共有方法数 N=5×4×3=60. 法二 (以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5,分成以下 10 类: 第一类:空盒子标号为(1,2),选法有 3×2×1=6(种); 第二类:空盒子标号为(1,3),选法有 3×2×1=6(种); 第三类:空盒子标号为(1,4),选法有 3×2×1=6(种); 分类还有以下几种情况:空盒子标号分别为(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4), (3,5),(4,5),共 10 类,每一类都有 6 种方法. 根据分类加法计数原理得,共有方法数 N=6+6+…+6=60(种). 组数问题 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的 (1)银行存折的四位密码. (2)四位整数. 【精彩点拨】 (1)用分步乘法计数原理求解(1)问;(2)0 不能作首位,优先 排首位,用分步乘法计数原理求解. 【自主解答】 (1)分步解决. 第一步:选取左边第一个位置上的数字,有 6 种选取方法; 第二步:选取左边第二个位置上的数字,有 5 种选取方法; 第三步:选取左边第三个位置上的数字,有 4

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