人教版高一数学下学期三角函数的图像和性质_图文

《高中数学同步辅导课程》

人教版高一数学下学期 第四章第八节 三角函数的图像和性质(1)
主讲:特级教师 王新敞

教学目的: 1.掌握五点作图法的三个步骤,即:列表、描 点、连线; 2.掌握函数图象的变换过程。 教学重点:
王新敞
奎屯 新疆

1.五点法做函数图象及有关问题; 2.函数图象变换问题。
教学难点: 采用不同的方法对函数图象进行变换。

一、复习引入

1. 作出下列各角 的正弦线、余弦线、正切线.


_


y

P
A(1,0) 正弦线: MP 余弦线:OM M O T

x

正切线: AT

一、复习引入

1. 作出下列各角 的正弦线、余弦线、正切线.


_


y

M 正弦线: MP 余弦线:OM O P

A(1,0)

x

正切线: AT

T

一、复习引入

1. 作出下列各角 的正弦线、余弦线、正切线.


_


y

_
正弦线: MP 余弦线:OM

P
A(1,0) M O T

x

正切线: AT

2. 讨论 、? 的正弦线、余弦线、正切 线的情况. y
P M o

一、复习引入

A(1,0)

x

正弦线:MP

余弦线变为一个点
正切线不存在

2. 讨论 、? 的正弦线、余弦线、正切 线的情况. y

一、复习引入

?
正弦线变为一个点 P 余弦线:OM 正切线变为一个点 M

o

T x A(1,0)

二、重难点讲解 函数 y ? sin x, x ? ?0,2? ? 图象的几何作法 . . . .

利用三角函数线 作三角函数图象

作三角函数线得三角函数值,描点 ( x, sin x),连线 如: x
? ?? 作 3 的正弦线 MP, 3

平移定点 ( x, MP)

几何法作图的关键是如何利用单位圆中角x的正弦线,巧妙地 移动到直角坐标系内,从而确定对应的点 (x,sinx).

二、重难点讲解

1.作正弦函数的图象: y=sinx, x y
B 1 (B)

[0,2?]

A O1

o
-1

(O1 ) ? 2?

x

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

作正弦函数的图象 y
B 1

A

O1

o
-1

?

x
2?

再演示一遍……

y=sinx, x [0,2?]

二、重难点讲解

作正弦函数的图象: y=sinx, x y
B 1

[0,2?]

A O1

o
-1

?

x
2?

二、重难点讲解

2.正弦曲线: 1

y

y=sinx, x

R

x
-2? -?

o -1

?

2?

3?

4?

二、重难点讲解
3. 余弦函数图象的作法 ? ? 由于 y ? cos x ? cos(? x) ? sin[ ? (? x)] ? sin( x ? ) 所以余弦函数

? 是同一个函数; 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 2
个单位长度而得到. 余弦曲线
y
1

y ? cos x, x ? R与函数 y ? sin( x ? ), x ? R 2

2

2?

y=cosx, x ∈ R
2?
余弦曲线的几何作法
-

y=sinx, x ∈ R

? 6?

? 4?

? 2?

o

-

-

-

-1

4?

-

6?

-

二、重难点讲解

4.正弦函数、余弦函数的图象:
y
? 6?
? 4?

? 2?

1 0 -1

y=sinx, x ∈ R

2?

4?

6?

x

正弦曲线 y
1

y=cosx, x ∈ R

? 6?

? 4?

? 2?

0 -1

2?

4?

x

余弦曲线

二、重难点讲解
y
1-

5. 五点作图法的五个关键点

图象的最高点 (? ,1) 2 与x轴的交点
2?

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

图象的最低点
简图作法:(五点作图法) (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

(0,0) (? ,0) (2? ,0) x 3?

-

( 2 ,?1)

y
1-

图象的最高点
? 6

(0,1) (2? ,1)

o
-1 -

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

3? (? , 0 ) ( 2 2 ,0) 图象的最低点 (? ,?1)
5? 3 11? 6

与x轴的交点
x

-

2?

三、例题讲解 例1 画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]; 解: (1) 列表
x
sin x sin x ? 1
0 0
? 2

(2)y= - cosx , x∈[0,2π].
描点作图

?
0

y

3? 2

2?

1 2

?1

1

1

0

0 1

2 y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] 1
o ?1

(2)列表
x
cos x ? cos x
0
? 2

1 -1

0 0

? -1 1

3? 2

2?

y

y ? sin x, x ? [0,2? ]
y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

? 2

?

3? 2

2?

x

0 0

1 -1

1
o

?1

? 2

?

y ? cos x, x ? [0,2? ]

3? 2

2?

x

三、例题讲解 例2 画出函数y=1-sinx, x∈[0,2π]的简图.
解法一: (五点法作图)
列表
x
sin x 1 ? sin x
0 0
? 2

描点作图

y

y ? 1 ? sin x, x ?[0, 2? ]

?
0

3? 2

2?

1

1 0

?1

1

2

0 1

2 1
o ?1

解法二: (变换法作图) ①先作出函数y=sinx的图像;

y ? sin x, x ? [0,2? ]

? 2

?

3? 2

2?

x

②其次将函数y=sinx的图像关于x轴对称得到y=-sinx的图像; ③最后将函数y=-sinx的图像整体向上平移1个单位就是 y=1-sinx的图像.

四、练习 (1) 作函数 y=1+3cosx,x∈[0,2π]的简图 (2) 作函数 y=2sinx-1,x∈[0,2π]的简图
解:(1)
y 4 3 2 1

0 -1 -2

Π/2

Π

3Π/2



x

解:(2)

y 3 2 1 0 -1 -2 -3
Π/2 Π 3Π/2 2Π

x

五、小结 本节课我们主要学习了: 1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象, 及通过平移得到余弦函数的图像; 2.决定正弦函数、余弦函数图像的五个关 键点是用五点法作简图的依据。 3.作三角函数的图像可以用五点法作简图, 也可以通过函数图形的基本变换来实现.

五、小结 本节课我们主要学习了: 1.用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象, 及通过平移得到余弦函数的图像; 2.决定正弦函数、余弦函数图像的五个关 键点是用五点法作简图的依据。 3.作三角函数的图像可以用五点法作简图, 也可以通过函数图形的基本变换来实现.

余弦函数的图象的几何作法: y
1P 1
/ p1

o1

y

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

(1) 等分 作法: (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线 2? x
3? 2 5? 3 11? 6

-

Q1

Q2

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

-

-

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

l

接着刚才的位置继续……

本节课到此结束,请同学们 课后再做好复习。谢谢!

再见!


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