高中文科数学导数复习


导数 常见基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则:

C ' ? 0 (C
(e x ) ' ? e x ;

为常数) ( x ;

n

) ' ? nx n ?1 , n ? Q*;

(sin x ) ' ? cos x;

(cos x ) ' ? ? sin x ;

( a x ) ' ? a x ln a( a ? 0, a ? 1);

(ln x ) ' ?

1 x

;

(log a x ) ' ?

1 x ln a

( a ? 0, a ? 1) .

法则 1: [u ( x ) ? v ( x )]' ? u '( x ) ? v '( x ); 法则 2: [u ( x )v ( x )] ? u '( x )v ( x ) ? u ( x )v '( x );

法则 3: ?

? u ( x ) ? u '( x ) v ( x ) ? u ( x ) v '( x ) ( v ( x ) ? 0) . ?'? v 2 ( x) ? v( x) ?

一、导数在研究函数中的应用 1、了解函数的单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值, 会求在闭区间上函数的最大值、最小值。 3、会用导数解决某些实际问题。 导数的概念与和、差、积、商的导数 4、导数的定义:设函数 y ? f (x ) 在 x ? x 0 处附近有定义,如果 ?x ? 0 时, ?y 与 ?x 的 比

?y ?x

(也叫函数的平均变化率)有极限即

?y ?x
/

无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫

做函数 y ? f (x ) 在 x ? x 0 处的导数, 记作 y

x ? x0

, f ( x0 ) ? l 即 i m
/

f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ?x

?x ? 0

5、导数的几何意义:是曲线 y ? f (x ) 上点( x 0 , f ( x 0 ) )处的切线的斜率。因此,如果

y ? f (x ) 在 点 x 0 可 导 , 则 曲 线 y ? f (x ) 在 点 ( x 0 , f ( x 0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为
y ? f ( x 0 ) ? f / ( x 0 )( x ? x 0 ) , K 切 ? f ?( x0 ) , K 法 ? ?

1 K切

??

1 f ?( x 0 )



6、导函数(导数):如果函数 y ? f (x ) 在开区间 ( a , b ) 内的每点处都有导数,此时对于每一个

x ? ( a, b) ,都对应着一个确定的导数 f / ( x ) ,从而构成了一个新的函数 f / ( x ) , 称这个函
数 f ( x ) 为函数 y ? f (x ) 在开区间内的导函数,简称导数,
/

1

7、可导::如果函数 y ? f (x ) 在开区间 ( a , b ) 内每一点都有导数,则称函数 y ? f (x ) 在开 区间 ( a , b ) 内可导

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8、可导与连续的关系:如果函数 y=f(x)在点 x0 处可导,那么函数 y=f(x)在点 x0 处连续,反 之不成立 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件。
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9、求函数 y ? f (x ) 的导数的一般方法: (1)求函数的改变量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ) (2)求平均变化率
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?y ?x

?

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x
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(3)取极限,得导数 y = f ?( x ) ? lim
/

?y ?x
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?x ? 0

二、单调性及其应用 1、利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤 (1)求 f ? (x)
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(2)确定 f ? (x)在(a,b)内符号

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(3)若 f ? (x)>0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是增函数;若 f ? (x)<0 在(a,b)上恒成立,则 f(x)在(a,b)上是减函数 2、用导数求多项式函数单调区间的一般步骤 (1)求 f ? (x)
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(2) f ? (x)>0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间;
f ? (x)<0 的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

三、函数的极值、最值及应用 1、极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是极大值点
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2、极小值:一般地,设函数 f(x)在 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x)> f(x0) 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点
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3、极大值与极小值统称为极值 (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数
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值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最
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小 (ⅱ)函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不
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止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值,
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如下图所示, x 1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) 定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点
2
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(ⅳ)函数的极值点一

而使函数取得最大值、最小值的点可

能在区间的内部,也可能在区间的端点

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4、判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f ( x ) 的导数异 号,则 x 0 是 f ( x ) 的极值点, f ( x 0 ) 是极值,并且如果 f ?(x ) 在 x 0 两侧满足“左正右负” , 则 x 0 是 f ( x ) 的极大值点, f ( x 0 ) 是极大值;如果 f ?(x ) 在 x 0 两侧满足“左负右正” ,则 x 0 是 f ( x ) 的极小值点, f ( x 0 ) 是极小值 5、求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根
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(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格 检查 f′
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(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右 正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,则 f(x)在这 个根处无极值
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6、函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f ( x ) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小 值.⑴在开区间 ( a , b ) 内连续的函数 f ( x ) 不一定有最大值与最小值. ⑵函数的最值是比较 整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数 f ( x ) 在闭区间 ?a, b ? 上连续,是 f ( x ) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 件. (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个
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7、利用导数求函数的最值步骤:⑴求 f ( x ) 在 ( a , b ) 内的极值;⑵将 f ( x ) 的各极值与 f (a ) 、

f (b) 比较得出函数 f ( x ) 在 ?a, b ? 上的最值
?x 2 例 1. y ? f ( x ) ? ? ? ax ? b
思路: y ? f ( x ) ? ?

x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

在 x ? 1 处可导,则 a ?

b?

?x 2 ? ax ? b

在 x ? 1 处可导,必连续 lim? f ( x ) ? 1
x ?1

x ?1?

lim f ( x ) ? a ? b

f (1) ? 1

∴ a ?b ?1

3

?x ? 0

lim ?

?y ?x

?2

?x ? 0

lim ?

?y ?x

?a

∴ a?2

b ? ?1

例 2.求证下列不等式 (1) x ?

x2 2

? ln(1 ? x ) ? x ?

x2 2(1 ? x )

x ? (0 , ? ? ) (相减)

(2) sin x ?

2x

?

x ? (0 ,

?
2

) (相除)

(3) x ? sin x ? tan x ? x x ? (0 , 证: (1) f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? ( x ? ∴ y ? f (x ) 为 (0 , ? ? ) 上 ? ∴ ln(1 ? x ) ? x ?

?
2
)

)
f ( 0) ? 0

x2 2

f ?( x ) ?

1 1? x

?1? x ?

x2 ?1 x ?1

?0

∴ x ? (0 , ? ? )

f ( x ) ? 0 恒成立 g ( 0) ? 0

x2 2

g ( x) ? x ?

x2 2(1 ? x )
? 2x 2

? ln(1 ? x )

g ?( x ) ? 1 ?

4x 2 ? 4x ? 2x 2 4(1 ? x ) 2

?

1 1? x

4(1 ? x 2 )

?0

∴ g ( x ) 在 (0 , ? ? ) 上 ? 例 3.利用导数求和: (1) (2)

∴ x ? (0 , ? ? ) x ?

x2 2(1 ? x )

? ln(1 ? x ) ? 0 恒成立

; 。

分析:这两个问题可分别通过错位相减法及利用二项式定理来解决。转换思维角度,由求导 公式 ( x )' ? nx
n n ?1

,可联想到它们是另外一个和式的导数,利用导数运算可使问题的解决更

加简捷。 解: (1)当 x=1 时, ; 当 x≠1 时,

, 两边都是关于 x 的函数,求导得

4



(2)∵ 两边都是关于 x 的函数,求导得 令 x=1 得 ,即 单调区间讨论 例 4.设 a ? 0 ,求函数 f ( x ) ?

, 。



x ? ln( x ? a )( x ? (0,?? ) 的单调区间.

分析: 本小题主要考查导数的概念和计算, 应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 1 1 解: f ?( x ) ? ? ( x ? 0) . 2 x x?a 当 a ? 0, x ? 0 时

f ?( x ) ? 0 ? x 2 ? ( 2 a ? 4) x ? a 2 ? 0 .

f ?( x ) ? 0 ? x 2 ? ( 2 a ? 4) x ? a 2 ? 0
(i)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有 x ? ( 2 a ? 4) ? a ? 0 .
2 2

即 f ?( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0,?? ) 内单调递增. (ii)当 a ? 1 时,对 x ? 1 ,有 x ? ( 2 a ? 4) x ? a ? 0 ,
2 2

即 f ?( x ) ? 0 ,此时 f ( x ) 在(0,1)内单调递增,又知函数 f ( x ) 在 x=1 处连续,因此, 函数 f ( x ) 在(0,+ ? )内单调递增
2 2 (iii)当 0 ? a ? 1 时,令 f ?( x ) ? 0 ,即 x ? ( 2 a ? 4) x ? a ? 0 .

解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a , 或 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a . 因此,函数 f ( x ) 在区间 (0, 2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增,在区间 ( 2 ? a ? 2 1 ? a , ?? ) 内也单调递增. 令 f ?( x ) ? 0, 即 x ? ( 2 a ? 4) x ? a ? 0 ,解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a .
2 2

( 因此,函数 f ( x ) 在区间 2 ? a - 2 1 ? a ,2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减.
例 5.已知函数 f ( x ) ? x ?

2 x

? a (2 ? ln x ), ( a ? 0) ,讨论 f ( x ) 的单调性.

5

例 9.已知函数 f ( x ) ?

1 3

ax 3 ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 (1)当 a, b 满足什么条件时, f ( x ) 取

得极值?(2)已知 a ? 0 ,且 f ( x ) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.

分离常数 例 10.已知函数 f ( x ) ? x ln x (Ⅰ) f ( x ) 的最小值; . 求 (Ⅱ) 若对所有 x ? 1 都有 f ( x ) ? ax ? 1 , 求实数 a 的取值范围. 解: f ( x ) 的定义域为(0,+? ),
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f ( x ) 的导数 f ?( x ) ? 1 ? ln x .

令 f ?( x ) ? 0 ,解得

x?

1 e

;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ?

1 e

.从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+ ? ? 单调递

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

增.所以,当 x ?

1 e

时, f ( x ) 取得最小值 ?

1 e

.

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(Ⅱ)解法一:令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( ax ? 1) ,则 g ?( x ) ? f ?( x ) ? a ? 1 ? a ? ln x , 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x ) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 ,
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故 g ( x ) 在 (1,+? ) 上为增函数, 所以,x ? 1 时,g ( x ) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , f (x ) ? x ? . 即 a 1 错误!未找到引用源。 若 a ? 1 ,方程 g ?( x ) ? 0 的根为 x0 ? e
f (x ) ? ax ?1 ,与题设 f ( x ) ? ax ? 1 相矛盾.
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a ?1

,此时,若 x ? (1, x0 ) ,

则 g ?( x ) ? 0 ,故 g ( x ) 在该区间为减函数.所以 x ? (1, x0 ) 时, g ( x ) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即

1] 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ( ??, .

? 解法二: 依题意, f ( x ) ? ax ? 1 在 [1, ? ) 上恒成立, 得 即不等式 a ? ln x ?
恒成立 . 令 g ( x ) ? ln x ?

1 x

对于 x ? [1, ? ) ?

1 x



则 g ?( x ) ?

1 x

?

1 x
2

?

1? 1? ? 1 ? ? . 当 x ? 1 时,因为 x? x?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x? ? 故 g ( x ) 是 (1, ? ) 上的增函数, ( ??, . 1] g ?( x ) ?
例 11.已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ?

所以 g ( x ) 的最小值是 g (1) ? 1 ,所以 a 的取值范围是

a x

( a ? 0) ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) . (Ⅰ) 求函数 F ( x ) 的

单调区间; (Ⅱ)若以函数 y ? F ( x )( x ? (0, 3]) 图像上任意一点 P ( x0 , y0 ) 为切点的切线的
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斜率 k ?
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1 2

恒成立,求实数 a 的最小值;

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6

求取值范围 例 13 设函数 f ( x ) ? x 3 ?

9 2

x 2 ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x ) ? m 恒成立,求 m

的最大值; (2)若方程 f ( x ) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x ) ? 3 x ? 9 x ? 6 ? 3( x ? 1)( x ? 2) , 因为 x ? ( ??, ??) , f ( x ) ? m , 即
' 2
'

3 x 2 ? 9 x ? (6 ? m ) ? 0 恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?
为?

3 4

,即 m 的最大值

3 4
' ' '

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x ) ? 0 ; 所 以 当 x ? 1 时 , f ( x) 取 极 大 值

f (1) ?

5 2

?a ;

当 x ? 2 时 , f ( x) 取 极 小 值

f (2) ? 2 ? a ;
故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x ) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 例 13 设函数 f ( x ) ? ?

5 2

.

1 3

曲线 x 3 ? x 2 ? ( m 2 ? 1) x, ( x ? R , )其中 m ? 0 (Ⅰ)当 m ? 1时,

处的切线斜率(Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 y ? f ( x )在点(1,f(1 ))

f ( x ) 有三个互不相同的零点 0,x1 , x 2 , x1 ? x 2 。 且 若对任意的 x ? [ x1 , x 2 ] , f ( x ) ? f (1)
恒成立,求 m 的取值范围。

导数与数列 例 14 已知函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) , f '( x ) 是 f(x)的导数; 设 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? (1)求 ? , ? 的值; (2)证明:对任意的正整数 n,都有 a n >a; (3)记 bn ? ln
an ? ? an ? a f ( an ) f '( an )

(n=1,2,??)

(n=1,2,??) ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn。

解析: (1)∵ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 , ? , ? 是方程 f(x)=0 的两个根 (? ? ? ) ,

7

∴? ?

?1 ? 5 2

,? ?

?1 ? 5 2


2 an ? an ? 1

(2) f '( x ) ? 2 x ? 1 , an ?1 ? an ?
5 4 2 an ? 1

2 an ? 1

1 1 5 a n (2 a n ? 1) ? (2 a n ? 1) ? 2 4 4 ? an ? 2 an ? 1

= (2 an ? 1) ?
4

1

?

1 2

,∵ a1 ? 1 ,∴有基本不等式可知 a2 ?
? 0 同,样 a3 ? 5 ?1 2 an ? ?

5 ?1 2 5 ?1 2

? 0(当且仅当 a1 ?

5 ?1 2

时取等号) ,∴ a2 ?

5 ?1 2

,??, an ?

, ? ? (n=1,2,??)

(3) an ?1 ? ? ? an ? ? ?
a n ?1 ? ? ? ( an ? ? ) 2 2 an ? 1

( an ? ? )( an ? ? ) 2 an ? 1

?

2 an ? 1

( an ? 1 ? ? ) ,而 ? ? ? ? ?1 ,即 ? ? 1 ? ? ? ,
1? ? 1?? 3 ?5 3? 5 3 ? 5 2

, 同理 an ?1 ? ? ?

( an ? ? ) 2 2 an ? 1

,bn ?1 ? 2bn , b1 ? l 又 n

? l n

2l ? n

S n ? 2(2 n ? 1) ln

3? 5 2

导数与解析几何 例 15.已知函数 f ( x ) ? x ? (1 ? a ) x ? a ( a ? 2) x ? b ( a , b ? R ) .
3 2

(I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函 数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ)由题意得 f ?( x ) ? 3 x ? 2(1 ? a ) x ? a ( a ? 2)
2

?

f (0) ? b ? 0

? f ?( 0 ) ? ? a ( a ? 2 ) ? ? 3

,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1

(Ⅱ)函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于 导函数 f ?(x ) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x ) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

f ?( ?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a ) ? a ( a ? 2)][ 3 ? 2(1 ? a ) ? a (a ? 2)] ? 0
整理得: ( a ? 5)( a ? 1)( a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1
2

零点 例 16 已知 a 是实数, 函数 f ? x ? ? 2 ax ? 2 x ? 3 ? a , 如果函数 y ? f ? x ? 在区间 ?? 1,1? 上有
2

零点,求 a 的取值范围. 解:若 a ? 0 , f ( x ) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ? 3 ? a ? ? 8a ? 24 a ? 4 ? 0 ,
2

解得 a ?

?3 ? 7 2

8

①当 a ?

?3 ? 7 2

时,

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ? ? 1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5 ? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

? ?1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ? ? 1,1? 上有两个零点时, 则
a ?0 ? ? ? ? 8 a 2 ? 24 a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?

a?0 ? ? ? ? 8 a 2 ? 24 a ? 4 ? 0 ? 或? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ? 1? ? 0 ?

解得 a ? 5 或 a ?

?3 ? 5 2

综上所求实数 a 的取值范围是
3

a ?1 或

a?

?3 ? 5 2

.

例 17 若函数 f ( x ) ? ax ? bx ? 4 ,当 x ? 2 时,函数 f ( x ) 有极值 ?

4 3



(1) 求函数的解析式; (2)若函数 f ( x ) ? k 有 3 个解,求实数 k 的取值范围.

例 18 已知函数. f ( x ) ? 2 x ? ax 与 g ( x ) ? bx ? cx 的图象都过点 P(2,0),且在点 P 处
3 2

有公共切线. (1)求 f(x)和 g(x)的表达式及在点 P 处的公切线方程; (2)设 F ( x ) ?

mg ( x ) 8x

? ln( x ? 1) ,其中 m ? 0 ,求 F(x)的单调区间.

9


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