推荐学习K12高二数学下学期期中试题理实验班

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安徽省滁州市定远县育才学校 2017-2018 学年高二数学下学期期中试

题 理(实验班)
考生注意: 1.本卷分第 I 卷和第 II 卷,满分 150 分,考试时间 120 分钟。答题前,先将自己的姓名、准 考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。
第 I 卷(选择题 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分。)

1.复数

,则

()

A.1

B.

C.2

D.

2.曲线

在点 (1, )处切线的斜率为( )

A.

B.1

C.-1

D.-

3.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证:a<b. 证明:因为∠A=30°,∠B=60°,所以

∠A<∠B.所以 a<b.其中,划线部分是演绎推理的( )

A.大前提 B.小前提

C.结论

D.三段论

4.定义在 R 上的函数 满足



为的导函数,已知

的图像如图所

示,若两个正数 a、b 满足

, 则 的取值范围是 ( )

A.

B.

C.

D.

5.若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ , 4]上单调递增,则实数 c 的取值范围是( ) A.(﹣∞,2] B.(﹣∞,4] C.(﹣∞,8] D.[﹣2,4]

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6.设函数 f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx,记 g(x)=

,若函数 g(x)至少存在一个零点,则

实数 m 的取值范围是( )

A.(﹣∞,e2+ ]

B.(0,e2+ ]

C.(e2+ ,+∞]

D.(﹣e2﹣ ,e2+ ]

7.由 y=x,y= ,x=2 及 x 轴所围成的平面图形的面积是( )

A.ln2+1

B.2﹣ln2

C.ln2﹣

D.ln2+

8.已知复数 z1=m+2i,z2=3﹣4i,若 为实数,则实数 m 的值为(



A.

B.

C.﹣

D.﹣

9.函数

有( )

A. 极小值-1,极大值 1

C. 极小值-1,极大值 3

B. 极小值-2,极大值 3 D. 极小值-2,极大值 2

10.设函数

的导数 的最大值为 3,则 的图象的一条对称轴的方

程是( )

A.

B.

C.

D.

11.函数



则实数 的取值范围( )

,若

有极大值点



A.

B.

C.

D.

12.给出下列两种说法:①已知 p3+q3=2,求证 p+q≤2,用反证法证明时,可假设 p+q≥2,

②已知 a,b∈R,|a|+|b|<1,求证方程 x2+ax+b=0 的两根绝对值都小于 1,用反证法证

明时,可假设方程有一根 x1 的绝对值大于或等于 1,即假设|x1|≥1.以下结论正确的是





A. ①和②的假设都错误 B. ①和②的假设都正确

C. ①的假设正确,②的假设错误 D. ①的假设错误,②的假设正确

第 II 卷(非选择题 90 分)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

14.若 z=4+3i,则 =_________.

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15.如图,它满足①第 n 行首尾两数均为 n,②表中的递推关系类似杨辉三角,则第 n 行 (n ? 2)
第 2 个数是_________.

16.已知函数 是定义在 上的可导函数,其导函数为 ,若对任意实数 有

为奇函数,则不等式

的解集为__________.

三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分)

17.已知复数 z1 , z2 . 满足|z1|=|z2|=1,且 z1+z2= + i,求 z1 , z2 .

18.已知函数 f(x)=x﹣lnx+a﹣1,g(x)= +ax﹣xlnx,其中 a>0.
(1)求 f(x)的单调区间;
(2)当 x≥1 时,g(x)的最小值大于 ﹣lna,求 a 的取值范围.
19.已知函数 f(x)=x2+alnx(a 为实常数) (1)若 a=﹣2,求证:函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数; (2)求函数 f(x)在[1,e]上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x∈[1,e],使得 f(x)≤(a+2)x 成立,求实数 a 的取值范围.
x
? ? 20.设 F ? x? ? ? t2 ? 2t ? 8 dt(x ? 0) .
0
(1)求 F ? x? 的单调区间;

(2)求函数 F ? x? 在?1,3?上的最值.

21.观察下列不等式:

1? 4 ; 3

1?

1 22

?

8 5



1?

1 22

?

1 32

?

12 7



1?

1 22

?

1 32

?

1 42

? 16 9



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,且

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……
(1)由上述不等式,归纳出与正整数 n 有关的一个一般性结论;
(2)用数学归纳法证明你得到的结论. 22.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该建筑物每年的能

源消耗费用 C(单位:万元)与隔热层厚度 x(单位:cm)满足关系:C(x)=

(0≤x≤10),

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和. (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式. (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值.

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参考答案 1.D

【解析】因为

,所以

根据题意利用复数求模的方法求出即可。

,故答案为:D.

2.B 【解析】

,则在点(1,- )处切线的斜率为

,所以倾斜角为 45°.

3.B 【解析】选 B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提此题的大前提是三角形中,较 大的角对应较大的边,结论是 a<b 4.D

【解析】根据导函数图象可知,函数 在

上单调递增,

以依题意可得到

, 画出 的可行域,则所求

连线斜率,画图易知选 D.

可看做点

,所 与

5.B 【解析】若函数 f(x)=(x2﹣cx+5)ex 在区间[ , 4]上单调递增, 则 f′(x)=[x2+(2﹣c)x+(5﹣c)]ex≥0 在区间[ , 4]上恒成立, 即 x2+(2﹣c)x+(5﹣c)≥0 在区间[ , 4]上恒成立,

即 c≤

在区间[ , 4]上恒成立,

令 g(x)=

, 则 g′(x)=



令 g′(x)=0,则 x=1,或﹣3, 当 x∈[ , 1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数;

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当 x∈(1,4]时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 故当 x=1 时,g(x)取最小值 4, 故 c∈(﹣∞,4], 故选:B

6.A 【解析】∵f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx 的定义域为(0,+∞),

又∵g(x)=



∴函数 g(x)至少存在一个零点可化为 函数 f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx 至少有一个零点; 即方程 x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0 有解,

则 m=

=﹣x2+2ex+ ,

m′=﹣2x+2e+

=﹣2(x﹣e)+



故当 x∈(0,e)时,m′>0, 当 x∈(e,+∞)时,m′<0;

则 m=﹣x2+2ex+ 在(0,e)上单调递增,

在(e,+∞)上单调递减,

故 m≤﹣e2+2?e?e+ =e2+ ;

又∵当 x+→0 时,m=﹣x2+2ex+ 故 m≤e2+ ; 故选 A.

→﹣∞,

7.D 【解析】由题意,由 y=x,y= ,x=2 及 x 轴所围成的平面图形如图,其面积是
;故选:D.

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8.D

【解析】∵z1=m+2i,z2=3﹣4i, ∴ =



又 为实数,

∴4m+6=0,即 m=﹣ . 故选:D.

9.C

【解析】∵

,∴

,令 得

,令 得

,根据极值的概念知,当 时,函数 y 有极大值 3,当

小值-1,故选 C

点评:当函数 在点 处连续时,如果在 附近的左侧

>0,右侧

,令 得 时,函数 y 有极
<0,那么

是极大值;如果在 附近的左侧

<0,右侧

>0,那么

是极小值.

10.A 推荐学习 K12 资料

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【解析】

,

因为导数 的最大值为 3,所以 =3,



,



,



,令 k=0

可得 , 本题选择 A 选项.

11.A

【解析】设

,则



,因为

有极大值点

,所以 ,

时,

恒成立,即

时,直线

总在曲线

下面,因为



处的切线斜率为 ,所以

,又因为

时,直线

总在曲线

上面,

故答案为:A.

,综上,实数 的取值范围是



12.D
【解析】(1)用反证法证明时,假设命题为假,应为全面否定.所以 p ? q? 2 的假命题应为 p ? q ? 2 .故(1)错误; (2)已知 a,b ?R,a ? b ? 1,求证方程 x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于 1,根据反证法 的定义,可假设| x1 |? 1,
故(2)正确;故选 D.

13.-1

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【解析】解法一:(换元法求解析式) 令 t=2x+1,则 x=

则 f(t)=

﹣2 =

∴ ∴f(3)=﹣1 解法二:(凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x2﹣2x=


∴f(3)=﹣1 解法三:(凑配法求解析式) ∵f(2x+1)=x2﹣2x 令 2x+1=3 则 x=1 此时 x2﹣2x=﹣1 ∴f(3)=﹣1 故答案为:﹣1

14. 4 ? 3 i 55

【解析】14.由 z=4 ? 3i 得:

z z ? 4 ?3i , z ? 5 ,则 z

?

4 5

?

3 5

i

,故答案为

4 5

?

3 5

i

.

15. n2 ? n ? 2 。 2

【解析】根据上表规律观察可知,第 2 行第 2 个数为 2,第 3 行第 2 个数为 4,第 4 行第 2 个 数为 7,依次规律可求第 n 行第 2 个数,根据累加原理,可得第 n 行第 2 个数为

?n ? 2??n ?1? ? 2 ? n2 ? n ? 2 。

2

2

16.

(或

)

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【解析】令

,则

因为

为奇函数,所以

因此

,即 为 上单调递减函数, ,
,即解集为

17.解:设 z1=a+bi,z2=c+di,(a,b,c,d∈R), ∵满足|z1|=|z2|=1,且 z1+z2= + i,



,(a+c)+(b+d)i= + i,

化为 a2+b2=c2+d2=1,a+c= ,b+d= ,

解得 a=1,b=0,c=﹣ ,d= 或 a=- ,b= ,c=1,d=0.

∴z1=1,z2=- + i;z1=- + i,z2=1.

18. (1)解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞).,

当 0<x<1 时,f'(x)<0;当 x>1 时,f'(x)>0. ∴函数 f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞)

(2)解:易知 g'(x)=x﹣lnx+a﹣1=f(x). 由(1)知,f(x)≥f(1)=a>0, 所以当 x≥1 时,g'(x)≥g'(1)=a>0. 从而 g(x)在[1,+∞)上单调递增,

所以 g(x)的最小值



依题意得

,即 a+lna﹣1>0.

令 h(a)=lna+a﹣1,易知 h(a)在(0,+∞)上单调递增. 所以 h(a)>h(1)=0,所以 a 的取值范围是(1,+∞)

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19. (1)解:当 a=﹣2 时,f(x)=x2﹣2lnx,x∈(0,+∞),

则 f′(x)=2x﹣ =

(x>0)

由于 f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立, 故函数在(1,+∞)上是增函数;

(2)解:f′(x)=2x+ =

(x>0),

当 x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2]. ①若 a≥﹣2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当 a=﹣2,x=1 时,f′(x)=0), 故函数 f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1

②若﹣2e2<a<﹣2,当 x=

时,f′(x)=0;

当 1≤x<

时,f′(x)<0,此时 f(x)是减函数;



<x≤e 时,f′(x)>0,此时 f(x)是增函数.

故[f(x)]min=f(

)= ln(﹣ )﹣ .

③若 a≤﹣2e2,f'(x)在[1,e]上非正(仅当 a=﹣2e2,x=e 时,f'(x)=0), 故函数 f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2. 综上可知,当 a≥﹣2 时,f(x)的最小值为 1,相应的 x 值为 1;

当﹣2e2<a<﹣2 时,f(x)的最小值为 ln(﹣ )﹣ ,相应的 x 值为



当 a≤﹣2e2 时,f(x)的最小值为 a+e2,相应的 x 值为 e.

(3)解:不等式 f(x)≤(a+2)x,可化为 a(x﹣lnx)≥x2﹣2x. ∵x∈[1,e],∴lnx≤1≤x 且等号不能同时取,所以 lnx<x,即 x﹣lnx>0,

因而

(x∈[1,e])

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(x∈[1,e]),则



当 x∈[1,e]时,x﹣1≥0,lnx≤1,x+2﹣2lnx>0, 从而 g′(x)≥0(仅当 x=1 时取等号),所以 g(x)在[1,e]上为增函数, 故 g(x)的最小值为 g(1)=﹣1,所以 a 的取值范围是[﹣1,+∞)

20.(1)函数的单调增区间是 ?2,? ?? ,单调递减区间是 ?0,2?

(2)最大值是 F ?3? ? ?6,最小值是 F ?2? ? ? 28
3
【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。

(1)因为依题意得,

?? ? x
F ?x? ?
0

t2 ? 2t ? 8

dt

?

? ??

1 3

t

3

?

t

2

?

8t

? ??

|0x

?

1 3

x3

?

x2

?

8x

定义域是 ?0,? ?? ,然后求解 F?? x? ? x2 ? 2x ?8,结合二次不等式得到单调区间。

(2)在第一问的基础上可知知道极值,然后比较机制和端点值的大小得到结论。

解:依题意得,

?? ? x
F ?x? ?
0

t2 ? 2t ? 8

dt

?

? ??

1 3

t

3

?

t

2

?

8t

? ??

|0x

?

1 3

x3

?

x2

?

8x

…………2



定义域是 ?0,? ?? …………3 分

(1) F?? x? ? x2 ? 2x ?8…………5 分

令 F?? x? ? 0 ,得 x ? 2 或 x ? ?4 ,

令 F?? x? ? 0 ,得 ?4 ? x ? 2…………7 分

由于定义域是 ?0,? ?? ,

?函数的单调增区间是 ?2,? ?? ,单调递减区间是 ?0,2? …………8 分

(2)令 F?? x? ? 0 ,得 x ? 2? x ? ?4舍? ,…………9 分

由于 F ?1? ? ? 20 , F ?2? ? ? 28 , F ?3? ? ?6,…………11 分

3

3

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?F ? x? 在?1,3?上的最大值是 F ?3? ? ?6,最小值是 F ?2? ? ? 28 …………14 分
3

21.(1) 1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 n2

?

4n 2n ?1

.(2)见解析

【解析】(1)根据式子左右规律得 1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 n2

?

4n 2n ?1

.(2)利用分析法证

明 n ? k ?1 时结论成立:先利用归纳假设得

4k ? 2k ?1

?k

1
? 1?2

?

4?k ?1? 2?k ?1? ?1 为证明目标,再

移项通分化简,直到 4 ? 3 .

试题解析:解:(1)观察上述各不等式,得到与正整数 n 有关的一般不等式为

1?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

? 1 ? 4n . n2 2n ?1

(2)以下用数学归纳法证明 1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 n2

?

4n ( n ? N* ). 2n ?1

①当 n ?1 时,由题设可知,不等式显然成立.

②假设当

n

?

k

(k

? N* )时,不等式成立,即1?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 k2

?

4k , 2k ?1

那么,当 n

?

k

?1 时,有1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 k2

?

?k

1
?1?2

?

4k ? 2k ?1

?k

1
?1?2

.

下证

4k ? 2k ?1

?k

1
? 1?2

?

4?k ?1? 2?k ?1? ?1 ,即证 ?k

1
? 1?2

?

4?k ?1?
2k ? 3

?

4k 2k ?1

.

即证

1
4?k ?1?2

?

k ?1 ? 2k ? 3

k 2k ?1

?

?2k

1
? 1? ? 2k

?

3?



即证 4?k ?1?2 ? ?2k ?1??2k ? 3? ,

即证 4k 2 ? 8k ? 4 ? 4k 2 ? 8k ? 3 ,

即证 4 ? 3 .而 4 ? 3 显然成立.

因此 1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 k2

?

?k

1
?1?2

?

4k ? 2k ?1

?k

1
?1?2

成立.

所以当 n ? k ?1时,不等式也成立.

根据①和②,不等式 1 ?

1 22

?

1 32

?

1 42

?

?

1 n2

?

4n 2n ?1

对任意 n ? N* 都成立.

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22.解:(Ⅰ)设隔热层厚度为 xcm,由题设,每年能源消耗费用为



再由 C(0)=8,得 k=40,因此



而建造费用为 C1(x)=6x,最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和

(Ⅱ)

,令 f'(x)=0,即



解得 x=5,

(舍去).当 0<x<5 时,f′(x)<0,当 5<x<10 时,f′(x)>

0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为



当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值为 70 万元.

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