2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1习题:第三章3-1-3-1-2空间向量的数乘运算 含答案 精品

第三章 空间向量与立体几何 3.1 3.1.2 空间向量及其运算 空间向量的数乘运算 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线. B.向量 a,b,c 共面,即它们所在的直线共面. C.零向量没有确定的方向. D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a=λ b. 答案:C 2.已知两非零向量 e1,e2,且 e1 与 e2 不共线,设 a=λ e1+μ e2(λ ,μ ∈R,且 λ +μ ≠0),则( A.a∥e1 C.a 与 e1、e2 共面 答案:C 3.若 a 与 b 不共线,且 m=a+b,n=a-b,p=a,则( A.m,n,p 共线 C.n 与 p 共线 B.m 与 p 共线 D.m,n,p 共面 ) ) B.a∥e2 D.以上三种情况皆有可能 2 2 解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即 m+n=2p, 1 1 即 p= m+ n,又 m 与 n 不共线,所以 m,n,p 共面. 2 2 答案:D 4.下列命题中,不正确的命题个数为( → → → → ①AB+BC+CD+DA=0; ②|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件; ③若 a、b 共面,则 a、b 所在的直线在同一平面内; → 1→ 1→ ④若OP= OA+ OB,则 P、A、B 三点共线. 2 3 A.1 答案:C B.2 C.3 D. 4 ) 5.已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB 和 AC,M,N 分别是边 OA,CB 的中点,点 G 在线 → → → → 段 MN 上,且使 MG=2GN,用向量OA,OB,OC表示向量OG是( ) → 1→ 1→ 1→ A.OG= OA+ OB+ OC 6 3 3 → 1→ 1→ 2→ B.OG= OA+ OB+ OC 6 3 3 → → 2→ 2→ C.OG=OA+ OB+ OC 3 3 → 1→ 2→ 2→ D.OG= OA+ OB+ OC 2 3 3 解析:因为 MG=2GN,M,N 分别是边 OA,CB 的中点, 1 → 2→ 1 → → 1→ 1→ 1 → → → → 2→ → 2 → → → 所以OG=OM+MG=OM+ MN=OM+ (MO+OC+CN)= OM+ OC+ (OB-OC)= OA+ OB+ 3 3 3 3 3 6 3 3 → OC. 答案:A 二、填空题 → → → 6.已知向量 a、b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则 A、B、C、D 中一定共 线的三点是________. → → → → 解析: BD=BC+CD=2a+4b=2AB 所以 A、B、D 三点共线. 答案:A、B、D → → → 7.已知向量 a,b,且AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a-2b,则 A,B,C,D 中一定共 线的三点是________. → → → → 解析:BD=BC+CD=2a+4b=2AB 所以 A、B、D 三点共线. 答案:A、B、D → 1→ 2→ → 8.已知 A,B,C 三点不共线,O 是平面 ABC 外任一点,若由OP= OA+ OB+λ OC确定的 5 3 一点 P 与 A,B,C 三点共面,则 λ =________. 1 2 2 解析:由 P 与 A,B,C 三点共面,所以 + +λ =1,解得 λ = . 5 3 15 答案: 2 15 三、解答题 9.已知 M,G 分别是空间四边形 ABCD 的两边 BC,CD 的中点,化简下列各式: → → → (1)AB+BC+CD; → 1 → → (2)AB+ (BD+BC); 2 → 1 → → (3)AG- (AB+AC). 2 → → → → → → 解:(1)如图所示,AB+BC+CD=AC+CD=AD. (2)取 BD 的中点 H,连接 MG,GH. 因为 M,G 分别为 BC,CD 的中点, 所以 BMGH 为平行四边形, → → → 1 → → 所以 (BD+BC)=BH+BM=BG, 2 → 1 → → → → → 从而AB+ (BD+BC)=AB+BG=AG. 2 (3)分别取 AB,AC 的中点 S,N, 连接 SM,AM,MN, 则 ASMN 为平行四边形, → → → 1 → → 所以 (AB+AC)=AS+AN=AM, 2 → 1 → → → → → 所以AG- (AB+AC)=AG-AM=MG. 2 10.如图,已知 E,F, G,H 分别为空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 的中点.用向 量法证明 E,F,G,H 四点共面. 证明:如图,连接 BG,EG, → 1→ → 1→ → 则BF= BC,EH= BD,BG= 2 2 1 → → (BC+BD), 2 → → → → 1 → → → → → → → 所以EG=EB+BG=EB+ (BC+BD)=EB+BF+EH=EF+EH. 2 所以 E,F,G,H 四点共面. B 级 能力提升 → → 1→ 1→ 1.已知点 M 在平面 ABC 内,并且对空间任意一点 O,有OM=xOA+ OB+ OC,则 x 的值为 3 3 ( ) A.1 C.3 答案:D → → → 2.如图所示,在四面体 O?ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中 → 点,则OE=________(用 a,b,c 表示). B.0 D. 1 3 → → → 1→ 1 → → 1 1→ 1 1 1 → → 1 1 1 解析:OE=OA+AE=a+ AD=a+ (OD-OA)= a+ OD= a+ × (OB+OC)= a+ b+ 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 c. 1 1 1 答案: a+ b+ c 2 4 4 3.如图所示,四边形 ABCD 和四边形 ABEF 都是平行四边形,且不共面,M、N 分别是 AC、

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