2015-2016学年江苏省徐州市高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016 学年江苏省徐州市高二(下)期末数学试卷(理科)

一、填空题(共 14 小题.每题 5 分,共 70 分)

1.已知 i 是虚数单位,z= ,则 z 的模|z|=



2.若 3 位同学分别从 4 门课程中选修 1 门,且选修的课程均不相同,则不同的选法共有

种.(用数字作答)

3.用反证法证明命题:“如果 a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整

除”时,假设的内容应为



4.二项式( ﹣ )5 的展开式的各项的二项式系数的和为



5.观察下列等式;

12=1,

32=2+3+4,

52=3+4+5+6+7,

72=4+5+6+7+8+9+10,



由此可归纳出一般性的等式:

当 n∈N*时,(2n﹣1)2=n+(n+1)+(n+2)+…+



6.已知矩阵 A=

的逆矩阵 A﹣1=

,则行列式 的值为



7.二项式( x2﹣ )6 的展开式中的常数项为



8.某人每次投篮投中的概率为 ,若此人连续投 3 次,则至少有 2 次投中的概率





9.已知 6 件产品中有 2 件次品,现每次随机抽取 1 件产品做检测,检测后不放回,则检测

3 次且恰在第 3 次检测出第 2 件次品的方法数是

.(用数字作答)

10.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足|z﹣1|=1,则|z﹣2i|的最大值是



11.设 Sn=23n+23n﹣3C





+23n﹣6C

+…+23C

+1,则 S2016 被 5 除所得的余数

12.已知曲线 C 的参数方程为

(0≤θ<2π).M 是曲线 C 上的动点,N(0,

﹣1),则 MN 的最小值为



13.我们可以将 1 拆分如下:1= + + ,1= + + + ,1= + + + + ,以此类

推,可得:1= + + + + + + + + + + + + ,其中 m,n∈N*,

且 m<n,则满足 C =C 的正整数 t 的值为



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14.已知集合 P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合 P 的子集 M 满足:M 含有 4

个元素,且对? a,b∈M,都有|a﹣b|>1,则这样的子集 M 的个数为



二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分) 15.有 5 名男生和甲、乙 2 名女生排成一排,求下列情况各有多少种不同的排法? (1)女生甲排在正中间; (2)2 名女生不相邻; (3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻); (4)2 名女生中间恰有 1 名男生. 16.已知圆 C 的坐标方程为 ρ2+2ρ(sinθ+cosθ)﹣4=0.以极点为平面直角坐标系的原点,

极轴为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数).

(1)求圆 C 的半径; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 AB 的长.

17.已知 x,y∈R,向量 α=

是矩阵 A=

的属于特征值﹣2 的一个特征向量.

(1)求矩阵 A 以及它的另一个特征值; (2)求曲线 F:9x2﹣2xy+y2=1 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的曲线 F′的方程. 18.盒中共有 9 个球,其中红球、黄球、篮球各 3 个,这些球除颜色完全相同,从中一次随 机抽取 n 个球(1≤n≤9). (1)当 n=3 时,记“抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同”为事件 A,求 P(A); (2)当 n=4 时,用随机变量 X 表示抽到的红球的个数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 19.已知集合 A={1,2},B={1,2,…,4n}(n∈N*),设 C={(x,y)|x 整除 y 或 y 整除 x,x∈A,y∈B},令 f(n)表示集合 C 所含元素的个数. (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)由(1)猜想 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想. 20.设(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,x∈N*. (1)当 m=2 时,若 a2=180,求 n 的值; (2)当 m= ,n=8 时,求(a0+a2+a4+a6+a8)2﹣(a1+a3+a5+a7)2 的值;

(3)当 m=﹣1,n=2016 时,求 S=

的值.

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2015-2016 学年江苏省徐州市高二(下)期末数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题.每题 5 分,共 70 分)

1.已知 i 是虚数单位,z= ,则 z 的模|z|=



【考点】复数求模. 【分析】化简 z,求出 z 的模即可.

【解答】解:∵z= =

=1﹣2i,

∴z 的模|z|=

=,

故答案为: .

2.若 3 位同学分别从 4 门课程中选修 1 门,且选修的课程均不相同,则不同的选法共有 24 种.(用数字作答) 【考点】计数原理的应用. 【分析】从 4 门中选 3 门分配给 3 位同学即可. 【解答】解:3 位同学分别从 4 门课程中选修 1 门,且选修的课程均不相同,则不同的选法 共有 A43=24 种, 故答案为:24

3.用反证法证明命题:“如果 a,b∈N,ab 可被 5 整除,那么 a,b 中至少有一个能被 5 整 除”时,假设的内容应为 a,b 都不能被 5 整除 . 【考点】反证法. 【分析】反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此 得出此命题是成立的. 【解答】解:由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定 成立进行推证. 命题“a,b∈N,如果 ab 可被 5 整除,那么 a,b 至少有 1 个能被 5 整除.”的否定是“a,b 都不能被 5 整除”. 故答案为:a,b 都不能被 5 整除.

4.二项式( ﹣ )5 的展开式的各项的二项式系数的和为 32 .
【考点】二项式系数的性质. 【分析】二项式展开式的各项的二项式系数的和为 2n,由此求出结果. 【解答】解:二项式( ﹣ )5 的展开式的各项的二项式系数的和为: 25=32. 故答案为:32.
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5.观察下列等式; 12=1, 32=2+3+4, 52=3+4+5+6+7, 72=4+5+6+7+8+9+10,
… 由此可归纳出一般性的等式: 当 n∈N*时,(2n﹣1)2=n+(n+1)+(n+2)+…+ (3n﹣2) . 【考点】归纳推理.
【分析】根据已知中的等式,分析出式子两边数的变化规律,可得结论.
【解答】解:由已知中的等式; 12=1, 32=2+3+4, 52=3+4+5+6+7, 72=4+5+6+7+8+9+10,
… 由此可归纳可得:等式左边是正奇数的平方,即,(2n﹣1)2, 右边是从 n 开始的 2n﹣1 个整数的和, 故第 n 个等式为:(2n﹣1)2=n+(n+1)+(n+2)+…+(3n﹣2), 故答案为:(3n﹣2).

6.已知矩阵 A=

的逆矩阵 A﹣1=

,则行列式 的值为



【考点】逆变换与逆矩阵.

【分析】由 A?A﹣1═

?

=E,列方程组求得逆矩阵 A﹣1,即可求得行列式 的

值.

【解答】解:由 A?A﹣1═

?

=E,

即:

,解得



=

=,

故答案为: .

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7.二项式( x2﹣ )6 的展开式中的常数项为 3 .
【考点】二项式系数的性质. 【分析】首先写出展开式的通项并化简,令字母指数为 0,得到取常数项时的 r 值,计算即 可.
【解答】解:二项式( x2﹣ )6 的展开式中的通项为

=



当 12﹣3r=0 即 r=4 时为常数项,即 故答案为:3.

=3;

8.某人每次投篮投中的概率为 ,若此人连续投 3 次,则至少有 2 次投中的概率为



【考点】互斥事件的概率加法公式;相互独立事件的概率乘法公式. 【分析】由题意知,它是一个二项分布,利用二项分布的概率公式.

【解答】解:至少 2 次投中的概率为:

?+

=,

故答案为:

9.已知 6 件产品中有 2 件次品,现每次随机抽取 1 件产品做检测,检测后不放回,则检测 3 次且恰在第 3 次检测出第 2 件次品的方法数是 16 .(用数字作答) 【考点】计数原理的应用. 【分析】由题意,第 3 次为次品,第 1,2 次,有一个次品,利用排列组合知识,即可求出 检测 3 次且恰在第 3 次检测出第 2 件次品的方法数. 【解答】解:由题意,第 3 次为次品,第 1,2 次,有一个次品, 则检测 3 次且恰在第 3 次检测出第 2 件次品的方法数是 C21C41A22=16, 故答案为:16.

10.已知 i 是虚数单位,复数 z 满足|z﹣1|=1,则|z﹣2i|的最大值是 +1 . 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】由复数模的几何意义可得复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆周 上所以|z﹣2i|的最大值是点(1,0)与点(0,2)的距离加上半径 1 【解答】解:由|z﹣1|=1,所以复数 z 对应的点在以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆周上, 所以|z﹣2i|的最大值是点(1,0)与点(0,2)的距离加上半径 1,

即为

+1= +1,

故答案为: +1

11.设 Sn=23n+23n﹣3C +23n﹣6C +…+23C

+1,则 S2016 被 5 除所得的余数是 1 .

【考点】二项式定理的应用;整除的基本性质.

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【分析】把 S2016=(10﹣1)2016 按照二项式定理展开,可得它除以 5 的余数.

【解答】解:由题意可得 Sn=23n+23n﹣3C +23n﹣6C +…+23C

+1=(23+1)n=9n=(10

﹣1)n

= ?10n﹣ ?10n﹣1+ ?10n﹣2+…+

?10?(﹣1)n﹣1+(﹣1)n,

∴S2016=(10﹣1)2016=

?102016﹣ ?102015+ ?102014+…﹣

?10+1

由于除了最后一项,其余的各项都能被 5 整除,故它除以 5 的余数为 1, 故答案为:1.

12.已知曲线 C 的参数方程为

(0≤θ<2π).M 是曲线 C 上的动点,N(0,

﹣1),则 MN 的最小值为



【考点】参数方程化成普通方程.

【分析】M(sinθ,cos2θ),代入两点间的距离公式得出|MN|关于 θ 的函数,根据 cosθ 的

取值范围得出|MN|的最小值.

【解答】解:∵M 是曲线 C 上的动点,∴M(sinθ,cos2θ).

|MN|2=sin2θ+(cos2θ+1)2=cos4θ+2cos2θ+sin2θ+1=cos4θ+cos2θ+2=(cos2θ+ )2+ .

∵0≤cos2θ≤1, ∴当 cos2θ=0 时,|MN|2 取得最小值 2. ∴|MN|的最小值为 .
故答案为: .

13.我们可以将 1 拆分如下:1= + + ,1= + + + ,1= + + + + ,以此类
推,可得:1= + + + + + + + + + + + + ,其中 m,n∈N*,
且 m<n,则满足 C =C 的正整数 t 的值为 43 . 【考点】归纳推理. 【分析】根据已知将分母进行拆分,根据裂项法,求出 m,n 的值,代入足 C =C ,根 据排列组合的性质可求得 t 的值. 【解答】解:1= + + + + + + + + + + + + , ∵2=1×2, 6=2×3, 30=5×6, 42=6×7, 56=7×8, 72=8×9,
第 6 页(共 13 页)

90=9×10, 110=10×11, 132=11×12,
1= + + + + + + + + + + + + =(1﹣ )+ + + +( ﹣
)+ ,
+= = ,
中 m,n∈N*,且 m<n, 解得 m=13,n=30,
C =C ,
∴m+n=t, ∴t=43, 故答案为:43.
14.已知集合 P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},若集合 P 的子集 M 满足:M 含有 4 个元素,且对? a,b∈M,都有|a﹣b|>1,则这样的子集 M 的个数为 37 . 【考点】子集与真子集. 【分析】按顺序把满足条件的所有可能列举即可. 【解答】解:含四元素,且对? a,b∈M,都有|a﹣b|>1, 有:{1,3,5,7},{1,3,5,8},{1,3,5,9},{1,3,5,10}, {1,3,6,8},{1,3,6,9},{1,3,6,10}, {1,3,7,9},{1,3,7,10},{1,3,8,10}, {1,4,6,8},{1,4,6,9},{1,4,6,10}, {1,4,7,9},{1,4,7,10},{1,4,8,10}, {1,5,7,9},{1,5,7,10},{1,5,8,10}, {1,6,8,10}, {2,4,6,8},{2,4,6,9},(2,4,6,10}, {2,4,7,9},{2,4,7,10},{2,4,8,10}, {2,5,7,9},{2,5,7,10},{2,5,8,10}, {2,6,8,10}, {3,5,7,9},{3,5,7,10}, {3,5,8,10},{3,6,8,10}, {4,5,7,9},{4,5,7,10},. {4,6,8,10}: 共 37 个, 故答案为:37.
二、解答题(本大题 6 小题,共 90 分) 15.有 5 名男生和甲、乙 2 名女生排成一排,求下列情况各有多少种不同的排法? (1)女生甲排在正中间; (2)2 名女生不相邻;
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(3)女生甲必须排在女生乙的左边(不一定相邻); (4)2 名女生中间恰有 1 名男生. 【考点】计数原理的应用. 【分析】(1)优先安排甲,其他任意排.问题得以解决. (2)利用插空法,先排 5 名男生,然后在这 5 人形成的 6 个间隔中插入 2 名女生即可,问 题得以解决. (3)先排 2 名女生,从 7 个位置中选出 2 个位置,再排 5 名男生,问题得以解决. (4)选 1 名男生排在 2 名女生中间,将这 3 人看成 1 个元素,与 4 名男生共 5 个元素排成 一排,问题得以解决.
【解答】解:(1)女生甲排在中间,其余 6 人有 种排法,

因此不同排法种数为





(2)将 5 名男生排成一排,有 种排法;

2 名女生可以在每 2 名男生之间及两端共 6 个位置中选出 2 个排,有 种排法,

因此不同排法种数为





(3)先排 2 名女生,从 7 个位置中选出 2 个位置,有 种排法;

再排 5 名男生,将 5 名男生在剩下的 5 个位置上进行排列的方法数有 种,

因此不同的排法种数为





(4)选 1 名男生排在 2 名女生中间,有 种排法,将这 3 人看成 1 个元素,与 4 名男生共

5 个元素排成一排,不同的排法有 种,又因为 2 名女生有 种排法,

因此不同的排法种数为





答:分别有 720,3600,2520 和 1200 种不同的排法. …

16.已知圆 C 的坐标方程为 ρ2+2ρ(sinθ+cosθ)﹣4=0.以极点为平面直角坐标系的原点,

极轴为 x 轴的非负半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为

(t 为参数).

(1)求圆 C 的半径; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 AB 的长. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.

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【分析】(1)圆 C 的极坐标方程即 ρ2+2ρsinθ+2ρcosθ﹣4=0,利用

即可化为

直角坐标方程; (2)直线 l 的参数方程为

(t 为参数),消去 t 化为直线 l 的普通方程为 x+2y﹣2=0,

利用点到直线的距离公式求出圆心 C 到直线 l 的距离 d,利用 AB=2
【解答】解:(1)圆 C 的极坐标方程即 ρ2+2ρsinθ+2ρcosθ﹣4=0, 则圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2+2x+2y﹣4=0, 即(x+1)2+(y+1)2=6, 所以圆 C 的半径为 .

即可得出.

(2)直线 l 的参数方程为

(t 为参数)化为直线 l 的普通方程为 x+2y﹣2=0,

由(1)知,圆 C 的圆心为 C(﹣1,﹣1),

圆心 C 到直线 l 的距离 d=

=.

∴AB=2

=2

=2,即 AB 的长为 2.

17.已知 x,y∈R,向量 α=

是矩阵 A=

的属于特征值﹣2 的一个特征向量.

(1)求矩阵 A 以及它的另一个特征值; (2)求曲线 F:9x2﹣2xy+y2=1 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的曲线 F′的方程. 【考点】特征向量的意义;几种特殊的矩阵变换.

【分析】(1)由已知,得 Aα=﹣2α,利用矩阵变换得到

,求得 x,y 的值,代入

矩阵可得矩阵 A 的特征多项式,进一步求得另一个特征值;
(2)设 P(x0,y0)为曲线 F 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为点 P'(x0',y0'),由 矩阵变换把 P 的坐标用 P′的坐标表示,再由点 P 在曲线 F 上得答案.

【解答】(1)由已知,得 Aα=﹣2α,即





,得



∴矩阵

.…

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从而矩阵 A 的特征多项式



则矩阵 A 的另一个特征值为 1;



(2)设 P(x0,y0)为曲线 F 上任意一点,在矩阵 A 对应的变换下变为点 P'(x0',y0'),



,即





,…

又点 P 在曲线 F 上,∴



故有

,整理得,

, ∴曲线 F'的方程为 x2+2y2=1. …

18.盒中共有 9 个球,其中红球、黄球、篮球各 3 个,这些球除颜色完全相同,从中一次随 机抽取 n 个球(1≤n≤9). (1)当 n=3 时,记“抽取的三个小球恰有两个小球颜色相同”为事件 A,求 P(A); (2)当 n=4 时,用随机变量 X 表示抽到的红球的个数,求 X 的概率分布和数学期望 E(X). 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】(1)由已知利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的三个小球恰有两个小球颜色 相同的概率. (2)随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.分别求出相应的概率,由此能求出 X 的概率分布和数学期望 E(X).

【解答】解:(1)

.…

(2)随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3.






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.…

∴随机变量 X 的概率分布为:

X

0

1

2

3

P

因此随机变量 X 的数学期望

.…

19.已知集合 A={1,2},B={1,2,…,4n}(n∈N*),设 C={(x,y)|x 整除 y 或 y 整除 x,x∈A,y∈B},令 f(n)表示集合 C 所含元素的个数. (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)由(1)猜想 f(n)的表达式,并用数学归纳法证明你的猜想. 【考点】数学归纳法;函数的值. 【分析】(1)列举出所有符合条件的元素, (2)验证 n=1 时猜想是否成立,假设 n=k 时猜想成立,则 n=k+1 时,C 中多出的元素是可 数的,即可验证 n=k+1 时,猜想是否成立. 【解答】解:(1)当 n=1 时,C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,4),(2, 1)}, ∴f(1)=7; 当 n=2 时,C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(2, 2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,1)},∴f(2)=13; 当 n=3 时,C={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8),(1, 9),(1,10),(1,11),(1,12),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12), (2,1)}, ∴f(3)=19. (2)猜想:f(n)=6n+1. ①当 n=1 时,由(1)知 f(1)=7=6×1+1,结论成立; ②假设当 n=k(k≥1,k∈N*)时,结论成立,即 f(k)=6k+1, 那么当 n=k+1 时,C 中新增加的元素为(1,4k+1),(1,4k+2),(1,4k+3),(1,4k+4), (2,4k+2),(2,4k+4), 所以 f(k+1)=f(k)+4+2=6k+1+6=6(k+1)+1, 所以当 n=k+1 时,结论也成立. 根据①和②可知,f(n)=6n+1 当 n∈N*时都成立.

20.设(1+mx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,x∈N*.
(1)当 m=2 时,若 a2=180,求 n 的值; (2)当 m= ,n=8 时,求(a0+a2+a4+a6+a8)2﹣(a1+a3+a5+a7)2 的值;

(3)当 m=﹣1,n=2016 时,求 S=

的值.

【考点】二项式系数的性质. 【分析】(1)利用 x2 的系数为 180 得到关于 n 的方程解之;
第 11 页(共 13 页)

(2)利用赋值法,将 x 分别赋值为 1 和﹣1,得到各项系数关系,对所求分解因式求值;

(3)将 m,n 代入,求出 ak,分析 S 表达式,得到即

1,2,…,2016. 从而累加求和.

【解答】解:(1)当 m=2 时,

(舍),

所以 n 的值为 10.



(2)当

,n=8 时,

令 x=1,则

,即

,k=0, ,解得 n=10 或 n=﹣9 ,

令 x=﹣1,则



所以

.…

(3)当 m=﹣1,n=2016 时,





,k=0,1,2,…,2016,

所以

.…

考虑

=

=





,k=0,1,2,…,2016.



所以

=





的值为





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2016 年 8 月 27 日
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