【2013东城二模】北京市东城区2013届高三下学期综合练习(二) 理科数学 Word版含答案
北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习（二） 数学 （理科）
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 5 页，共 150 分．考试 时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分） 一、本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项．
1、 已知集合 A ? ? x | x ? x ? 1? ? 0 ，x ? R? ， B ? ? x | ?2 ? x ? 2 ，x ? R? ，那么集合 A ? B 是 （ A． ? C． ? x | ?2 ? x ? 2 ，x ? R? ） B． ? x | 0 ? x ? 1 ，x ? R? D． ? x | ?2 ? x ? 1 ，x ? R?
频率 组距 0.054
2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图， 其 中 成 绩 分 组 区 间 是 ： ? 40 ，50 ? ， ? 50 ，60 ? ， ? 60 ，70 ? ，
? 70 ，80 ? ， ?80 ，90 ? ， ?90 ，100? ，则图中 x 的值等于（
）
x 0.01 0.006 0
A． 0.754 B． 0.048 ? C． 0.018 D． 0.012 3、 已知圆的极坐标方程是 ? ? 2 cos ? ，那么该圆的直角坐标方程 是（ ）
2
成绩 40 50 60 70 80 90 100
A． ? x ? 1? ? y 2 ? 1 C． ? x ? 1? ? y 2 ? 1
2
B． x 2 ? ? y ? 1? ? 1
2
D． x 2 ? y 2 ? 2
4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示， 其中三个视图都是直角三角形， 正（主）视图 侧（左）视图 则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ） A．1 俯视图 B．2 开始 C．3 D．4 输入x 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入 x 的值为 ?25 时，输出 x 的值为 否 （ ） x >1 A． 1 是 x= x 1 B． 2 C． 3 D． 4 6、
?π ? 3 已知 sin ? ? x ? ? ，那么 sin 2x 的值为（ ?4 ? 5
x =3x +1 输出 x
） D．
18 25
结束
A．
3 25
B．
7 25
C．
9 25
-1-
7、 过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线交抛物线于 A ，B 两点， AB ? 10 ，则 AB 的中点到 y 若 轴的距离等于（ ） A． 1 B． 2
C． 3
D． 4
8、 已知函数 y ? f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数， 且当 x ? ? ?? ，0 ? 时，f ? x ? ? xf ? ? x ? ? 0 （其 中 f ? ? x ? 是 f ? x ? 的 导 函 数 ） 若 a ? ? 30.3 ? ? f ? 30.3 ? ， b ? ? log ? 3 ? ? f ? log ? 3 ? ， ，
1? ? 1? ? c ? ? log 3 ? ? f ? log 3 ? ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ 9? ? 9? ?
） D． a ? c ? b
A． a ? b ? c
B． c ? b ? a
C． c ? a ? b
第Ⅱ卷（共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．
9、 已知向量 a ? ? 2 ，? 3 ? ， b ? ?1 ，? ? ，若 a ∥ b ，则 ? ? ________． 10、 若复数
a?i 1? i
? ?
?
?
是纯虚数，则实数 a 的值为________．
11、 各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ，若 a3 ? 2 ， S 4 ? 5S 2 ，则 a1 的值为 ________， S 4 的值为________． 12、 如图， AB 为⊙ O 的直径， AC 切⊙ O 于点 A ，且过点 C 的割线
CMN 交 AB 的延长线于点 D ，若 CM ? MN ? ND ， AC ? 2 2 ，
A O B D N M C
则 CM ? ________， AD ? ________． 13、 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有 一名志愿者的方案共有________种． 14、 在数列 ?an ? 中，若对任意的 n ? N* ，都有
an ? 2 a n ?1 ? a n ?1 an
，则称数列 ?an ? 为 ? t （ t 为常数）
比等差数列， t 称为比公差．现给出以下命题： ①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列； ②若数列 ?an ? 满足 an ?
2 n ?1 n
2
，则数列 ?an ? 是比等差数列，且比公差 t ?
1 2
；
③若数列 ?cn ? 满足 c1 ? 1 ， c2 ? 1 ， cn ? cn ?1 ? cn ? 2 （ n ≥ 3 ） ，则该数列不是比等差数 列； ④若 ?an ? 是等差数列， ?bn ? 是等比数列，则数列 ?an bn ? 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是________． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15、 （本小题共 13 分） 已知函数 f ? x ? ? sin x
?
3 cos x ? sin x ．
?
⑴ 求 f ? x ? 的最小正周期；
-2-
⑵ 当 x??0，
?
?
2π ? ? 时，求 f ? x ? 的取值范围． 3 ?
16、 （本小题共 13 分） 某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试 结果如下表： （单位：人） 优秀 男 女
180 120
良好
70 a
合格
20 30
按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取 50 人，其中成绩为优的有 30 人． ⑴ 求 a 的值； ⑵ 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本，从中任 选 2 人，记 X 为抽取女生的人数，求 X 的分布列及数学期望．
17、 （本小题共 14 分） 如图， △BCD 是等边三角形， AB ? AD ， ?BAD ? 90? ，将 △BCD 沿 BD 折叠到 △BC ?D 的位置，使得 AD ? C ?B ． ⑴ 求证： AD ? AC ? ； ⑵ 若 M ， N 分别是 BD ， C ?B 的中点，求二面角 N ? AM ? B 的余弦值．
A
C
B
D
N A D M
C
B
18、 （本小题共 14 分） 已知函数 f ? x ? ? ln x ?
a x
（a ?0） ．
⑴ 求 f ? x ? 的单调区间；
-3-
⑵ 如果 P ? x0 ，y0 ? 是曲线 y ? f ? x ? 上的任意一点， 若以 P ? x0 ，y0 ? 为切点的切线的斜 率k≤
1 2
恒成立，求实数 a 的最小值；
x 3 ? 2 ? bx ? a ? 2x ? 1 2
⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x ? ?
的实根情况．
19、 （本小题共 13 分） 已知椭圆 C ：
x2 a
2
?
y2 b
2
? 1 （ a ? b ? 0 ）的离心率 e ?
4 5 5
3 2
，原点到过点 A ? a ，0 ? ，
B ? 0 ，? b ? 的直线的距离是
．
⑴ 求椭圆 C 的方程； ⑵ 若椭圆 C 上一动点 P ? x0 ，y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P ? x1 ，y1 ? ， x12 ? y12 的 求 1 取值范围． ⑶ 如果直线 y ? kx ? 1（ k ? 0 ）交椭圆 C 于不同的两点 E ，F ，且 E ，F 都在以 B 为 圆心的圆上，求 k 的值．
20、 （本小题共 13 分） 已知数列 ?an ? ， a1 ? 1 ， a2n ? an ， a4 n ?1 ? 0 ， a4 n ?1 ? 1 （ n ? N* ） ． ⑴求 a 4 ， a 7 ； ⑵是否存在正整数 T ，使得对任意的 n ? N* ，有 an ?T ? an ； ⑶设 S ?
a1 10 ? a2 10
2
?
a3 10
3
???
an 10 n
? ? ，问 S 是否为有理数，说明理由．
-4-
北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习（二） 数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） ?
3 2
2 7
（10） 1 （13） 150
（11）
1 2
15 2
（12） 2
（14）①③
注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） （15） （共 13 分） 解： （Ⅰ）因为 f ( x ) ? sin x ( 3 cos x ? sin x)
? 3 sin x cos x ? sin 2 x
= (2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x)
2 1 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 ? 1 ? sin(2 x ? ) ? ． 6 2
1
所以 f ( x) 的最小正周期 T ? （Ⅱ） 因为 0 ? x ? 所以
? 6 2? 3 ? 6 ? 3? 2
2? ?
? ?．
， ．
3 1
? 2x ?
所以 f ( x) 的取值范围是 ( ? , ] ．
2 2 50
………………………………13 分
（16） （共 13 分） 解： （Ⅰ）设该年级共 n 人，由题意得
30 ，所以 n ? 500 ． ? n 180 ? 120 则 a ? 500 ? (180 ? 120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 ．
（Ⅱ）依题意， X 所有取值为 0,1, 2 ．
P ( X ? 0) ? C 22 C
2 5
?
1 10 3 5
，
P ( X ? 1) ?
1 1 C 2 C3
C52 C32 C
2 5
?
，
P ( X ? 2) ?
?
3 10
．
-5-
X 的分布列为： X P
0
1 10
1
3 5
2
3 10
EX ? 0 ?
3 ? 1 ? 2 ? ? 10 5
1
3 6 ? ． 10 5
………………………………………13 分
（17） （共 14 分） （Ⅰ）证明：因为 ?BAD ? 90? 所以 AD ? AB ， 又因为 C ' B ? AD ，且 AB ? C ' B ? B ，
z
所以 AD ? 平面 C ' AB ， 因为 AC ' ? 平面 C ' AB ， 所以 AD ? AC ' ． （Ⅱ）因为△ BCD 是等边三角形，
AB ? AD ， ?BAD ? 90? ，
N
C
不防设 AB ? 1 ，则 BC ? CD ? BD ? 2 ， 又因为 M ， N 分别为 BD ， C B 的中点， 由此以 A 为原点， AB ， AD ， AC ' 所在直线为坐 标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz ．
'
A D M B x y
则有 A(0, 0, 0) ， B (1, 0, 0) ， D(0,1, 0) ， C ' (0, 0,1) ，
1 1 1 1 M ( , , 0) ， N ( , 0, ) ． 2 2 2 2 ???? ? ???? 1 1 1 1 所以 AM ? ( , , 0) ， AN ? ( , 0, ) ． 2 2 2 2 设平面 AMN 的法向量为 m ? ( x, y, z ) ． ???? ? ? AM ? m ? 0 , ? 则 ? ???? ? AN ? m ? 0. ?
?1 ? x? ? 即 ?2 ?1 x ? ? ?2 1 2 1 2 y ? 0, z ? 0.
令 x ? 1 ，则 y ? z ? ?1 ． 所以 m ? (1, ?1, ?1) ． 又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0, 0,1) ． 所以 cos ? m , n ??
m ?n m n ? ?1 3 ?? 3 3
．
-6-
所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 （18） （共 14 分） 解:(Ⅰ) f ( x ) ? ln x ? 则 f | ( x) ?
1 x a x
3 3
．
………………………………14 分
，定义域为 (0, ??) ，
a
2
x2 因为 a ? 0 ，由 f ?( x) ? 0, 得 x ? ( a, ?? ) ， 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? (0, a) ， x
?
?
x?a
．
所以 f ( x) 的单调递增区间为 ( a , ?? )
，
单调递减区间为 (0, a) ．
(Ⅱ)由题意，以 P ( x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足
k ? f ?( x0 ) ? x0 ? a x
2 0
?
1 2
， ( x0 ? 0 )
所以 a ? ? x0 2 ? x0 对 x0 ? 0 恒成立．
2
1
又当 x0 ? 0 时， ? x0 2 ? x0 ?
2
1
1 2
，
所以 a 的最小值为
1 2
．
x 3 ? 2(bx ? a ) 2x ? 1 2
(Ⅲ)由题意，方程 f ( x ) ?
b ? ln x ? 1 2 x2 +
1 2
化简得
x ? (0, ?? )
令 h( x ) ? ln x ?
1 2
2 当 x ? (0,1) 时， h?( x) ? 0 ，
x2 ? b ?
1
，则 h?( x ) ?
1 x
?x?
(1 ? x )(1 ? x ) x
．
当 x ? (1, ??) 时， h?( x) ? 0 ， 所以 h ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增，在区间 (1, ??) 上单调递减． 所以 h ( x ) 在 x ? 1 处取得极大值即最大值，最大值为 h(1) ? ln1 ? ? 12 ? b ?
2 1 1 2 ? ?b ．
所以 当 ?b ? 0 ， 即 b ? 0 时， y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有两个交点， 方程 f ( x ) ?
x 3 ? 2(bx ? a ) 2x ? 1 2
有两个实根，
当 b ? 0 时， y ? h( x) 的图象与 x 轴恰有一个交点， 方程 f ( x ) ?
x 3 ? 2(bx ? a ) 2x ? 1 2
有一个实根，
当 b ? 0 时， y ? h( x) 的图象与 x 轴无交点， 方程 f ( x ) ? （19） （共 13 分） 解: (Ⅰ)因为
c a ? 3 2
x 3 ? 2(bx ? a ) 2x
?
1 2
无实根．
……14 分
， a 2 ? b2 ? c2 ，
-7-
所以 a ? 2b ． 因为原点到直线 AB ： 解得 a ? 4 ， b ? 2 ． 故所求椭圆 C 的方程为
x a ? y b ? 1 的距离 d ?
ab a ?b
2 2
?
4 5 5
，
x2 16
?
y 4
2
? 1．
(Ⅱ)因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2 x 的对称点为 P1 ? x1 , y1 ? ，
? y0 ?x ? 所以 ? 0 ? y0 ? ? ? y1 ? x1 ? y1 2 ? 2 ? ?1, ? 2? x0 ? x1 2 .
解得 x1 ?
4 y0 ? 3 x0 5
， y1 ?
3 y0 ? 4 x0 5
．
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ．
因为点 P ? x0 , y0 ? 在椭圆 C :
2 2 所以 x12 ? y12 ? x0 ? y0 ? 4 ?
x2 16
2 3 x0
?
y 4
2
? 1 上，
．
4
因为 ?4 ? x0 ? 4 ， 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 ． 所以 x12 ? y12 的取值范围为 ? 4, 16 ? ． (Ⅲ)由题意
? y ? kx ? 1, ? 2 消去 y ，整理得 ?x y2 ?1 ? ? 4 ? 16
(1 ? 4 k 2 ) x 2 ? 8kx ? 12 ? 0 ．
可知 ? ? 0 ． 设 E ( x2 , y2 ) ， F ( x3 , y3 ) ， EF 的中点是 M ( xM , yM ) ， 则 xM ?
x2 ? x3 2 ? ?4 k 1 ? 4k
??
2
， yM ? kxM ? 1 ? ．
1 1 ? 4k 2
．
所以 k BM ?
yM ? 2 xM
1 k
所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 ．
-8-
即
?4 k 1 ? 4k 2 1 8
?
k 1 ? 4k 2
? 2k ? 0 ．
又因为 k ? 0 ， 所以 k 2 ? ．所以 k ? ?
2 4
．
………………………………13 分
（20） （共 13 分） 解： （Ⅰ） a4 ? a2 ? a1 ? 1 ；
a7 ? a4?2 ?1 ? 0 ．
（Ⅱ）假设存在正整数 T ，使得对任意的 n ? N * ，有 an ?T ? an ． 则存在无数个正整数 T ，使得对任意的 n ? N * ，有 an ?T ? an ． 设 T 为其中最小的正整数． 若 T 为奇数，设 T ? 2t ? 1 （ t ? N * ） ， 则 a4 n ?1 ? a4 n ?1?T ? a4 n ?1? 2T ? a4( n ? t ) ?1 ? 0 ． 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾． 若 T 为偶数，设 T ? 2t （ t ? N * ） ， 则 a2 n ? T ? a 2 n ? a n ， 而 a 2 n ? T ? a 2 n ? 2 t ? an ? t 从而 an ?t ? an ． 而 t ? T ，与 T 为其中最小的正整数矛盾． 综上，不存在正整数 T ，使得对任意的 n ? N * ，有 an ?T ? an ． （Ⅲ）若 S 为有理数，即 S 为无限循环小数， 则存在正整数 N 0 ， T ，对任意的 n ? N * ，且 n ? N 0 ，有 an ?T ? an ． 与（Ⅱ）同理，设 T 为其中最小的正整数． 若 T 为奇数，设 T ? 2t ? 1 （ t ? N * ） ， 当 4 n ? 1 ? N 0 时，有 a4 n ?1 ? a4 n ?1?T ? a4 n ?1? 2T ? a4( n ? t ) ?1 ? 0 ． 与已知 a4 n ?1 ? 1 矛盾． 若 T 为偶数，设 T ? 2t （ t ? N * ） ， 当 n ? N 0 时，有 a2 n ?T ? a2 n ? an ， 而 a 2 n ? T ? a 2 n ? 2 t ? an ? t
-9-
从而 an ? t ? an ． 而 t ? T ，与 T 为其中最小的正整数矛盾． 故 S 不是有理数． ……………………………………………………13 分
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