艺术生文化课补习---高三数学复习(三)


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高三一轮复习三 ----数
一、复习要求



1、等差数列及等比数列的定义,通项公式,前 n 项和公式及性质; 2、一般数列的通项及前 n 项和计算。 二、学习指导 1、数列,是按照一定顺序排列而成的一列数,从函数角度看,这种顺序法则就是函数 的对应法则,因此数列可以看作是一个特殊的函数,其特殊性在于:第一,定义域是正整数 集或其子集;第二,值域是有顺序的,不能用集合符号表示。 研究数列,首先研究对应法则——通项公式:an=f(n),n∈N+,要能合理地由数列前 n 项写出通项公式,其次研究前 n 项和公式 Sn:Sn=a1+a2+?an,由 Sn 定义,得到数列中的重要
n ?1 ?S 公式: a n ? ? 1 。 ?S n ? S n ?1 n ? 2

一般数列的 an 及 Sn,,除化归为等差数列及等比数列外,求 Sn 还有下列基本题型:列项 相消法,错位相消法。 2、等差数列 (1)定义,{an}为等差数列 ? an+1-an=d(常数) ,n∈N+ ? 2an=an-1+an+1(n≥2,n∈N+) ; (2)通项公式:an=an+(n-1)d,an=am+(n-m)d; 前 n 项和公式: Sn ? na1 ?

n(a 1 ? a n ) n(n ? 1) ; d? 2 2

(3)性质:an=an+b,即 an 是 n 的一次型函数,系数 a 为等差数列的公差; Sn=an +bn,即 Sn 是 n 的不含常数项的二次函数; 若{an},{bn}均为等差数列,则{an±nn},{ 列; 当 m+n=p+q 时,am+an=ap+aq,特例:a1+an=a2+an-1=a3+an-2=?; 当 2n=p+q 时,2an=ap+aq; 当 n 为奇数时,S2n-1=(2n-1)an;S 奇= 3、等比数列 (1)定义:
a n ?1 2 =q(q 为常数,an≠0) n =an-1an+1(n≥2,n∈N+) ;a ; an
n-1 n-m 2

?a
i ?1

k

k

},{kan+c}(k,c 为常数)均为等差数

n ?1 n ?1 a 中,S 偶= a 中。 2 2

(2)通项公式:an=a1q ,an=amq ;
q ?1 ?na1 ? n 前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q ) a 1 ? a n q ; q ?1 ? 1? q ? 1? q ?

(3)性质

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当 m+n=p+q 时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=?, 当 2n=p+q 时,an =apaq,数列{kan},{ 4、等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项、公比为基本量,借助于消元思想及解方程 组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ; 若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。 三、典型例题 例 1、已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 a k1 ,a k 2 ,?,a k n 恰为等比数列, 若 k1=1,k2=5,k3=17,求 k1+k2+?+kn。 解题思路分析: 从寻找新、旧数列的关系着手 设{an}首项为 a1,公差为 d ∵ a1,a5,a17 成等比数列 ∴ a5 =a1a17 ∴(a1+4d) =a1(a1+16d) ∴ a1=2d 设等比数列公比为 q,则 q ? 对 a k n 项来说, 在等差数列中: a k n ? a 1 ? (k n ? 1)d ? 在等比数列中: a k n ? a 1q n ?1 ? a1 3n ?1 ∴ k n ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ∴ k1 ? k 2 ? ?k n ? (2 ? 30 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? ? ? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? 2(1 ? 3 ? ? ? 3n ?1 ) ? n
? 3n ? n ? 1
2 2 2

?a
i ?1

k

i

}成等比数列。

a 5 a n ? 4d ? ?3 a1 a1

kn ?1 a1 2

注:本题把 k1+k2+?+kn 看成是数列{kn}的求和问题,着重分析{kn}的通项公式。这是解 决数列问题的一般方法,称为“通项分析法” 。 例 2、设数列{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列 {

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n
解题思路分析: 法一:利用基本元素分析法

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7?6 ? ?S 7 ? 7a 1 ? 2 d ? 7 ? 设{an}首项为 a1,公差为 d,则 ? ?S ? 15a ? 15 ? 14 d ? 75 1 ? 15 2 ?

?a ? ?2 ∴ ? 1 ?d ? 1

∴ Sn ? ?2 ? ∴

n(n ? 1) 2

Sn n ?1 n 5 ? ?2 ? ? ? n 2 2 2

此式为 n 的一次函数 ∴ {

Sn }为等差数列 n
1 2 a n ? n 4 4
2

∴ Tn ?

法二:{an}为等差数列,设 Sn=An +Bn
2 ? ?S 7 ? A ? 7 ? 7B ? 7 ∴ ? ?S15 ? A ? 152 ? 15B ? 75 ?

1 ? ?A ? 2 ? 解之得: ? ?B ? ? 5 ? 2 ?

∴ Sn ?

1 2 5 n ? n ,下略 2 2

注:法二利用了等差数列前 n 项和的性质 例 3、正数数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 2 Sn ? a n ? 1 ,求: (1)数列{an}的通项公式; (2)设 b n ?
1 1 ,数列{bn}的前 n 项的和为 Bn,求证:Bn ? . a n a n ?1 2

解题思路分析: (I)涉及到 an 及 Sn 的递推关系,一般都用 an=Sn-Sn-1(n≥2)消元化归。 ∵ 2 Sn ? a n ? 1 ∴ 4Sn=(an+1)
2 2

∴ 4Sn-1=(an-1+1) (n≥2) ∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1) -(an-1+1) ∴ 4an=an -an-1 +2an-2an-1 整理得:(an-1+an)(an-an-1-2)=0 ∵ an>0
2 2 2 2

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∴ an-an-1=2 ∴ {an}为公差为 2 的等差数列 在 2 Sn ? a n ? 1 中,令 n=1,a1=1 ∴ an=2n-1 (II) b n ?
1 1 1 1 ? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] ? ( ? )? ? ? ∴ B n ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 a1 a 2 a2 a3 a n a n ?1 2 a 1 a n ?1 2 2a n ?1 2

注:递推是学好数列的重要思想,例本题由 4Sn=(an+1) 推出 4Sn-1=(an-1+1) ,它其实就 是函数中的变量代换法。在数列中一般用 n-1,n+1 等去代替 n,实际上也就是说已知条件 中的递推关系是关于 n 的恒等式,代换就是对 n 赋值。 例 4、 等差数列{an}中, m 项的和为 77 m 为奇数)其中偶数项的和为 33, a1-am=18, 前 ( , 且 求这个数列的通项公式。 分析: 利用前奇数项和和与中项的关系 令 m=2n-1,n∈N+

2

2

?S 2n ?1 ? (2n ? 1)a n ? 77 则 ? ?S偶 ? (n ? 1)a n ? 33

2n ? 1 77 ? n ? 1 33

∴ n=4 ∴ m=7 ∴ an=11 ∴ a1+am=2an=22 又 a1-am=18 ∴ a1=20,am=2 ∴ d=-3 ∴ an=-3n+23
21 1 1 例 5、设{an}是等差数列, b n ? ( ) a n ,已知 b1+b2+b3= ,b1b2b3= ,求等差数列的通 8 2 8

项 an。 解题思路分析: ∵ {an}为等差数列 ∴ {bn}为等比数列 从求解{bn}着手 ∵ b1b3=b2
2

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∴ b2 = ∴ b2=

3

1 8

1 2

17 ? ?b 1 ? b 3 ? 8 ? ∴ ? ?b b ? 1 ? 1 2 4 ?
?b 1 ? 2 ? ∴ ? 1 ?b 3 ? 8 ? 1 ? ?b 1 ? 或 ? 8 ?b 2 ? 2 ?

1 1 ∴ b n ? 2( ) n ?1 ? 2 3?2n 或 b n ? ? 4 n ?1 ? 2 2n ?5 4 8

1 ∵ b n ? ( )an 2

∴ a n ? log 1 b n
2

∴ an=2n-3 或 an=-2n+5 注:本题化归为{bn}求解,比较简单。若用{an}求解,则运算量较大。 例 6、已知{an}是首项为 2,公比为 (1)用 Sn 表示 Sn+1; (2)是否存在自然数 c 和 k,使得 解题思路分析: (1)∵ Sn ? 4(1 ? ∴ Sn ?1 ? 4(1 ?
S k ?1 ? c ? 2 成立。 Sk ? c

1 的等比数列,Sn 为它的前 n 项和, 2

1 2n

)

1 2
n ?1

1 ) ? Sn ? 2 2
3 c ? ( S k ? 2) 2 ? 0 (*) c ? Sk

S ?c (2) k ?1 ?2? Sk ? c

∵ Sk ? 4(1 ?

1 2k

)?4

3 1 ∴ Sk ? ( Sk ? 2) ? 2 ? Sk ? 0 2 2

3 ∴ 式(*) ? Sk ? 2 ? c ? Sk 2



∵ Sk+1>Sk ∴
3 3 Sk ? 2 ? S1 ? 2 ? 1 2 2
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又 Sk<4 ∴ 由①得:c=2 或 c=3 当 c=2 时 ∵ S1=2 ∴ k=1 时,c<Sk 不成立,从而式①不成立 ∵
3 5 S2 ? 2 ? ? c 2 2

3 3 ∴ 由 Sk<Sk+1 得: S k ? 2 ? Sk ?1 ? 2 2 2 3 ∴ 当 k≥2 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2

当 c=3 时,S12,S2=3 ∴ 当 k=1,2 时,C<Sk 不成立 ∴ 式①不成立 ∵
3 13 3 3 Sk ? 2 ? ? c , Sk ? 2 ? Sk ?1 ? 2 2 4 2 2

3 ∴ 当 k≥3 时, Sk ? 2 ? c ,从而式①不成立 2

综上所述,不存在自然数 c,k,使

S k ?1 ? c ? 2 成立 Sk ? c

例 7、某公司全年的利润为 b 元,其中一部分作为资金发给 n 位职工,资金分配方案如 下:首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小,由 1 到 n 排序,第 1 位职工得 资金
b 元,然后再将余额除以 n 发给第 2 位职工,按此方法将资金逐一发给每位职工,并 n

将最后剩余部分作为公司发展基金。 (1)设 ak(1≤k≤n)为第 k 位职工所得资金额,试求 a2,a3,并用 k,n 和 b 表示 ak (不必证明) ; (2)证明:ak<ak+1(k=1,2,?,n-1) ,并解释此不等式关于分配原则的实际意义。 解题思路分析: 谈懂题意,理清关系,建立模型 第 1 位职工的奖金 a 1 ? 第 2 位职工的奖金 a 2 ? 第 3 位职工的奖金 a 3 ? ?? 第 k 位职工的奖金 a k ?
1 1 (1 ? ) k ?1 b n n
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b n
1 1 (1 ? )b n n 1 1 (1 ? ) 2 b n n

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(2) a k ? a k ?1 ?

1 (1 ? ) k ?1 b ? 0 n n
2

1

此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”等原则。 例 8、试问数列{ lg100sinn ?1 解题思路分析: 法一: a n ? 2 ? (? lg 2 )(n ? 1) ∴ {an}为首项为 2,公差为 ? lg 2 的等差数列 ∴
? }的前多少项的和最大,并求这个最大值(lg2=0.3010) 4

S n ? 2n ?

n (n ? 1) (? lg 2) ? ?0.07525n 2 ? 2.07525 n 2 ? ?0.07525(n ? 13.8) 2 ? 13.8 2 ? 0.07525

∵ n∈N+ ∴ n=14 时,(Sn)max=14.35 法二:∵ a1=2>0,d= ? lg 2 ? 0 ∴ {an}是递减数列,且 Sn 必为最大值
?a ? 0 设? k ?a k ?1 ? 0

?2 ? (k ? 1)(? lg 2 ) ? 0 ? ∴ ? ?2 ? k (? lg 2 ) ? 0 ?
?k ? 14.2 ∴ ? ?k ? 13.2

∴ k=14 ∴ (Sn)max=S14=14.35 四、同步练习 (一)选择题 1、已知 a,b,a+b 成等差数列,a,b,ab 成等比数列,且 0<logmab<1,则 m 取值范围 是 A、m>1 B、1<m<8 C、m>8 D、0<m<1 或 m>8

2、设 a>0,b>0,a,x1,x2,b 成等差数列,a,y1,y2,b 成等比数列,则 x1+x2 与 y1+y2 的大小关系是 A、x1+x2≤y1+y2 C、x1+x2<y1+y2
n

B、x1+x2≥y1+y2 D、x1+x2>y1+y2

2、已知 Sn 是{an}的前 n 项和,Sn=P (P∈R,n∈N+) ,那么数列{an} A、 是等比数列 C、 当 P≠0,P≠1 时是等比数列 B、当 P≠0 时是等比数列 D、不是等比数列

3、{an}是等比数列,且 an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5 等于
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A、5

B、10

C、15
2

D、20

4、已知 a,b,c 成等差数列,则二次函数 y=ax +2bx+c 的图象与 x 轴交点个数是 A、 0 B、1 C、2 D、1 或 2

5、设 m∈N+,log2m 的整数部分用 F(m)表示,则 F(1)+F(2)+?+F(1024)的值是 A、 8204
2

B、8192
2

C、9218

D、8021
1 的等差数列,则 4

7、若 x 的方程 x -x+a=0 和 x -x+b=0(a≠b)的四个根可组成首项为 a+b 的值为 A、
3 8

B、

11 24

C、

13 24

D、

31 72

8、 在 100 以内所有能被 3 整除但不能被 7 整除的正整数和是 A、1557 B、1473 C、1470 D、1368

9、从材料工地运送电线杆到 500m 以外的公路,沿公路一侧每隔 50m 埋栽一根电线杆, 已知每次最多只能运 3 根,要完成运载 20 根电线杆的任务,最佳方案是使运输车运行 A、 11700m B、14700m C、14500m D、14000m

10、已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差 d<0,则使前 n 项和 Sn 取最大值的正整数 n 是 A、4 或 5 (二)填空题 11、已知数列{an}满足 a1+2a2+3a3+?+nan=n(n+1)(n+2),则它的前 n 项和 Sn=______。 12、设等差数列{an}共有 3n 项,它的前 2n 项之和为 100,后 2n 项之和为 200,则该等 差数列的中间 n 项的和等于________。 13、设数列{an},{bn}(bn>0) ,n∈N+满足 an ? 为等差数列是{bn}为等比数列的________条件。 14、长方体的三条棱成等比数列,若体积为 216cm ,则全面积的最小值是______cm 。 15、若不等于 1 的三个正数 a,b,c 成等比数列,则(2-logba)(1+logca)=________。 (三)解答题 16、 已知一个等比数列首项为 1, 项数是偶数, 其奇数项之和为 85, 偶数项之和为 170, 求这个数列的公比和项数。
3 2

B、5 或 6

C、6 或 7

D、8 或 9

lg b1 ? lg b 2 ? ? ? lg b n (n∈N+) ,则{an} n

17、已知等比数列{an}的首项为 a1>0,公比 q>-1(q≠1) ,设数列{bn}的通项 bn=an+1+an+2 (n∈N+) ,数列{an},{bn}的前 n 项和分别记为 An,Bn,试比较 An 与 Bn 大小。

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18、数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an(n∈N+) (1)求数列{an}通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; (3)设 b n ?
1 (n∈N+)Tn=b1+b2+?+bn,是否存在最大的整数 m,使得对于任意 n (12 ? a n )

的 n∈N+,均有 Tn ?

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由。 32

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