2015年高考数学总复习教案:2.4函数的奇偶性及周期性


第二章 函数与导数第 4 课时 函数的奇偶性及周期性(对应学生用书(文)、(理)13~14 页)

考点分析 ① 函数奇偶性的考查一直是近几年江苏命题 的热点,命题时主要是考查函数的概念、图 象、性质等. ② 能综合运用函数的奇偶性、单调性及周期 性分析和解决有关问题.

考点新知 了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性 定义判断一些简单函数的奇偶性. 掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并能熟 练地利用对称性解决函数的综合问题. ③ 了解周期函数的意义, 并能利用函数的周期 性解决一些问题.

1. (必修 1P45 习题 8 改编)函数 f(x)=mx2+(2m-1)x+1 是偶函数,则实数 m=________. 1 答案:2 1 解析:由 f(-x)=f(x),知 m=2. 2. (必修 1P43 练习 5 改编)函数 f(x)=x3-x 的图象关于________对称. 答案:原点 解析:由 f(-x)=(-x)3-(-x)=-x3+x=-f(x),知 f(x)是奇函数,则其图象关于原点对称. 3. (原创)设函数 f(x)是奇函数且周期为 3,若 f(1)=-1,则 f(2 015)=________. 答案:1 解析:由条件,f(2 015)=f(671×3+2)=f(2)=f(-1)=-f(1)=1. 4. (必修 1P43 练习 4)对于定义在 R 上的函数 f(x),给出下列说法: ① 若 f(x)是偶函数,则 f(-2)=f(2); ② 若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)是偶函数; ③ 若 f(-2)≠f(2),则函数 f(x)不是偶函数; ④ 若 f(-2)=f(2),则函数 f(x)不是奇函数. 其中,正确的说法是________.(填序号) 答案:① ③ 解析:根据偶函数的定义,①正确,而③ 与① 互为逆否命题,故③ 也正确,若举例奇函数 f(x)=
? ?x-2,x>0, ? 由于 f(-2)=f(2),所以② ④ 都错误. ?x+2,x<0, ?

5. (必修 1P54 练习测试 10)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x3+x+1, 则当 x<0 时,f(x)=________. 答案:x3+x-1 解析:若 x<0,则-x>0,f(-x)=-x3-x+1,由于 f(x)是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x) =x3+x-1.

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1. 奇函数、偶函数的概念 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么函数 f(x)就叫做偶函 数. 一般地,如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数 f(x)就叫做奇 函数. 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性,一般都按照定义严格进行,一般步骤是: (1) 考查定义域是否关于原点对称. (2) 根据定义域考查表达式 f(-x)是否等于 f(x)或-f(x). 若 f(-x)=-f(x),则 f(x)为奇函数. 若 f(-x)=f(x),则 f(x)为偶函数. 若 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x),则 f(x)既是奇函数又是偶函数. 若存在 x 使 f(-x)≠-f(x)且 f(-x)≠f(x),则 f(x)既不是奇函数又不是偶函数,即非奇非偶函数. 3. 函数的图象与性质 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数 y=f(x)与 y=kf(x)的单调性与 k(k≠0)有关. 1 (2) 注意函数 y=f(x)与 y= 的单调性之间的关系. f(x) (3) 奇函数在[a,b]和[-b,-a]上有相同的单调性. (4) 偶函数在[a,b]和[-b,-a]上有相反的单调性. 5. 函数的周期性 设函数 y=f(x),x∈D,如果存在非零常数 T,使得对任意 x∈ D,都有 f(x+T)=f(x),则称函数 f(x) 为 周 期 函 数 , T 为 函 数 f(x) 的 一 个 周 期 . (D 为 定 义

域)

题型 1 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性: 1 (1) f(x)=x3-x ; 1-x2 (2) f(x)= ; |x+2|-2 (3) f(x)=(x-1) 1+x ; 1-x

(4) f(x)= 3-x2+ x2-3. 解:(1) 定义域是(-∞,0)∪ (0,+∞),关于原点对称,由 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. (2) 去掉绝对值符号,根据定义判断.
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? ? ?1-x2≥0, ?-1≤x≤1, 由? 得? ?|x+2|-2≠0, ? ?x≠0且x≠-4. ?

故 f(x)的定义域为[-1,0)∪ (0,1],关于原点对称,且有 x+2>0. 1-x2 1-x2 从而有 f(x)= = x , x+2-2 1-(-x)2 1-x2 =- x =-f(x), -x 故 f(x)为奇函数. (3) 因为 f(x)定义域为[-1,1),所以 f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 这时有 f(-x)= (4) 因为 f(x)定义域为{- 3, 3},所以 f(x)=0,则 f(x)既是奇函数也是偶函数. 备选变式(教师专享) 判断下列函数的奇偶性: (1) f(x)=x4+x;
?x2+x(x<0), ? (2) f(x)=? ? ?-x2+x(x>0);

(3) f(x)=lg(x+ x2+1). 解:(1) 定义域为 R,f(-1)=0,f(1)=2,由于 f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),所以 f(x)既不是奇函 数也不是偶函数; (2) 因为函数 f(x)的定义域是(-∞,0)∪ (0,+∞),并且当 x<0 时,-x>0,所以 f(-x)=-(- x)2+(-x)=-(x2+x)=-f(x)(x<0).当 x>0 时,-x<0,所以 f(-x)=(-x)2+(-x)=-(-x2 +x)=-f(x)(x>0).故函数 f(x)为奇函数. (3) 由 x+ x2+1>0,得 x∈ R,由 f(-x)+f(x)=lg(-x+ x2+1)+lg(x+ x2+1)=lg1=0,所以 f(-x)=-f(x),所以 f(x)为奇函数. 题型 2 函数奇偶性的应用 a· 2x+a-2 例 2 (1) 设 a∈ R,f(x)= (x∈ R),试确定 a 的值,使 f(x)为奇函数; 2x+1 (2) 设函数 f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,在(0,1)上是增函数,若 f(a-2)-f(4-a2)<0, 求实数 a 的取值范围. 解:(1) 要使 f(x)为奇函数, ∵ x∈R,∴ 需 f(x)+f(-x)=0. 2 ∵ f(x)=a- , 2x+1 2x+1 2 ∴ f(-x)=a- =a- . 2-x+1 2x+1 2 ? ? 2x+1? 2(2x+1) ? 由 a-2x+1 +?a- ? =0,得 2a- =0, 2x+1 ? ? ? 2x+1? ∴ a=1.
? ?-1<a-2<1, (2) 由 f(x)的定义域是(-1,1),知? 解得 3<a< 5. ?-1<4-a2<1, ?

由 f(a-2)-f(4-a2)<0,得 f(a-2)<f(4-a2).
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因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(|a-2|)<f(|4-a2|). 由于 f(x)在(0,1)上是增函数,所以|a-2|<|4-a2|,解得 a<-3 或 a>-1 且 a≠2. 综上,实数 a 的取值范围是 3<a< 5且 a≠2. 变式训练
?x2+x,x≤0, ? (1) 已知函数 f(x)=? 是奇函数,求 a+b 的值; ? ?ax2+bx,x>0

(2) 已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]内递减,若 f(1-m)+f(1-m2)<0, 求实数 m 的取值范围. 解:(1) 当 x>0 时,-x<0,由题意得 f(-x)=-f(x),所以 x2-x=-ax2-bx. 从而 a=-1,b=1,所以 a+b=0. (2) 由 f(x)的定义域是[-2,2],
? ?-2≤1-m≤2, 知? 解得-1≤m≤ 3. ? ?-2≤1-m2≤2,

因为函数 f(x)是奇函数,所以 f(1-m)<-f(1-m2),即 f(1-m)<f(m2-1). 由奇函数 f(x)在区间[-2,0]内递减, 所以在[-2,2]上是递减函数, 所以 1-m>m2-1,解得-2<m<1. 综上,实数 m 的取值范围是-1≤m<1. 题型 3 函数奇偶性与周期性的综合应用 例 3 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意实数 x,恒有 f(x+2)=-f(x),当 x∈ [0,2]时, f(x)=2x-x2. (1) 求证:f(x)是周期函数; (2) 当 x∈ [2,4]时,求 f(x)的解析式; (3) 计算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)的值. (1) 证明:因为 f(x+2)=-f(x), 所以 f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是周期为 4 的周期函数. (2) 解:因为 x∈ [2,4], 所以-x∈ [-4,-2],4-x∈ [0,2], 所以 f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又 f(4-x)=f(-x)=-f(x),所以-f(x)=-x2+6x-8,即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4]. (3) 解:因为 f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1, 又 f(x)是周期为 4 的周期函数, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=0, 所以 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 014)=f(0)+f(1)+f(2)=1. 备选变式(教师专享) 已知定义在 R 上的函数 f(x)对任意实数 x、y 恒有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0, 2 又 f(1)=-3. (1) 求证:f(x)为奇函数; (2) 求证:f(x)在 R 上是减函数;
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(3) 求 f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值. (1) 证明:令 x=y=0,可得 f(0)+f(0)=f(0+0),从而 f(0)=0.令 y=-x,可得 f(x)+f(-x)=f(x -x)=0,即 f(-x)=-f(x),故 f(x)为奇函数. (2) 证明:设 x1、x2∈R,且 x1>x2,则 x1-x2>0,于是 f(x1-x2)<0.从而 f(x1)-f(x2)=f[(x1 - x2)+x2]- f(x2) = f (x1- x2) +f(x2)- f(x2) = f (x1- x2)<0.所以 f(x)为减函数. (3) 解:由(2)知,所求函数的最大值为 f(-3),最小值为 f(6).f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]= -2f(1)-f(1)=-3f(1)=2,f(6)=-f(-6)=-[f(-3)+f(-3)]=-4.于是 f(x)在[-3,6]上的最 大值为 2,最小值为-4.

1. (2013· 苏州期初)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 f(x+4)=f(x).当 x∈ (0,2)时,f(x)=-x +4,则 f(7)=________. 答案:-3 解析:f(7)=f(3+4)=f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-3. 2. (2013· 江苏)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数.当 x>0 时,f(x)=x2-4x,则不等式 f(x)>x 的解 集用区间表示为________. 答案:(-5,0)∪ (5,+∞) 解析:作出 f(x)=x2-4x(x>0)的图象,如图所示.由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,利用奇函 数图象关于原点对称,作出 x<0 的图象.不等式 f(x)>x 表示函数 y=f(x)的图象在 y=x 的上方, 观察图象易得,原不等式的解集为(-5,0)∪ (5,+∞).

3. (2013· 天津)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)内单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log1a)≤2f(1),则 a 的取值范围是________. 2

?1 ? 答案: 2,2 ? ?
解析:因为 f(log1a)=f(-log2a)=f(log2a),所以原不等式可化为 f(log2a)≤f(1). 2 又 f(x)在区间[0,+∞)上单调递增, 1 所以|log2a|≤1,解得2≤a≤2. 4. (2013· 盐城二模)设函数 y=f(x)满足对任意的 x∈ R,f(x)≥0 且 f2(x+1)+f2(x)=9.已知当 x∈ [0, 1)时,有 f(x)=2-|4x-2|,则 f 答案: 5

?2 013?=________. ? 6 ?

?1? ?3? ?5? ?7? 解析:由题知 f 2 =2,因为 f(x)≥0 且 f2(x+1)+f2(x)=9,故 f 2 = 5,f 2 =2,f 2 = 5, ? ? ? ? ? ? ? ?

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?671? ?4×168-1?= 5,即 f?2 013?= 5. 如此循环得 f 2 =f 2 ? ? ? ? 6 ? ?

?log2(1-x),x≤0, ? 1. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=? 则 f(2 014)=________. ?f(x-1)-f(x-2),x>0, ?

答案:1 解析:由已知得 f(-1)=log22=1,f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)=-1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3) =f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1, f(5)=f(4)-f(3)=1, f(6)=f(5)-f(4) =0,所以函数 f(x)的值以 6 为周期重复性出现,所以 f(2 014)=f(4)=1. 2. 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x3-x,则函数 y=f(x) 的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为________. 答案:7 解析:由条件,当 0≤x<2 时,f(x)=x(x+1)(x-1),即当 0≤x<2 时,f(x)=0 有两个根 0,1, 又由周期性,当 2≤x<4 时,f(x)=0 有两个根 2,3,当 4≤x<6 时,f(x)=0 有两个根 4,5,而 6 也是 f(x)=0 的根,故 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点个数为 7. 3. 设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x≥0 时,f(x)=x2,若对任意的 x∈ [t,t+2],不等 式 f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数 t 的取值范围是________. 答案:[ 2,+∞) 解析:∵当 x≥0 时,f(x)=x2 且 f(x)是定义在 R 上的奇函数,又 f(x+t)≥2f(x)=f( 2x),易知 f(x) 在 R 上是增函数,∴ x+t≥ 2x,∴ t≥( 2-1)x. ∵ x∈[t,t+2],∴ t≥( 2-1)(t+2),∴ t≥ 2. ?1 ? 4. 已知 f(x)是偶函数,且 f(x)在[0,+∞)上是增函数,若 x∈2,1 时,不等式 f(1+xlog2a)≤f(x ? ? -2)恒成立,求实数 a 的取值范围.

?1 ? 解:∵ f(x)是偶函数,当 x∈2,1 时,不等式 f(1+xlog2a)≤f(x-2)等价于 f(|1+xlog2a|)≤f(2-x). ? ?
又 f(x)在[0,+∞)上是增函数,∴ |1+xlog2a|≤2-x, 3 1 ∴ x-2≤1+xlog2a≤2-x,∴ 1-x ≤log2a≤x -1,

?1 ? 上述不等式在 x∈2,1 上恒成立, ? ? ? 3? ∴ 1- x ? ?1 ? , ≤log2a≤ x -1 ?max ? ?min

1 ∴ -2≤log2a≤0,解得4≤a≤1.

1. 函数奇偶性的判断,本质是判断 f(x)与 f(-x)是否具有等量关系,前提是定义域关于原点对 称,运算中,也可以转化为判断奇偶性的等价关系式(f(x)+f(-x)=0 或 f(x)-f(-x)=0)是否成
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立. 2. 若 f(x)是偶函数,则 f(-x)=f(x)=f(|x|). 3. 奇偶函数的不等式求解时,要注意到:奇函数在对称的区间上有相同的单调性,偶函数在 对称的区间上有相反的单调性. 请使用课时训练(A)第4课时(见活页). [备课札记]

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