等课件高斯定理_图文

6-3 高斯定理
一、电场的图示法电场线 通过无限小面元dS的电
在电场中画一组曲线, 场线数目dN与dS 的比值称 曲线上每一点的切线方向 为电场线密度。我们规定 与该点的电场方向一致, 电场中某点的场强的大小 这一组曲线称为电场线。 等于该点的电场线密度

? E

dS

E ? dN
? dS?

E

1

总结:

? E

方向 :切线方向
d?

大小:E ?

=电场线密度

?

dS? ?

Eb

Ec

?

b

Ea

c?
E

a

电场线性质:
1、不闭合,不中断起于正电荷、止于负电荷; 2、任何两条电场线不相交。
2

点电荷的电场线

负电荷

正电荷

+
3

一对等量异号电荷的电场线
+
4

一对等量正点电荷的电场线

+

+

5

一对异号不等量点电荷的电场线

2+q

q

6

带电平行板电容器的电场
++ ++ + + + + +
7

二、电通量

通过电场中某一面的电场线数称为通过该面的电通量。

用?e表示。

均匀电场 S与电场强度方向垂直

均匀电场,S 法线方向与
电场强度方向成?角

S
? E

?

Sn ?

? E

?

?e ? ES

??
?e ? ES cos? ? E ? S
8

电场不均匀,S为任意曲面

d?e ? E?dS??? EdS cos? ? E ? dS

?e ? ? d?e ? ? E cos ?dS
S? ? S ? ? ? ? E ? dS ? ? E ? ndS

S

S

S为任意闭合曲面

??

? ? ?e ?

E cos?dS ?
S

E ? dS
S

规定:法线的正方向为指向

闭合曲面的外侧。

9

例:在? 均匀电场中,?

?

?

E ? (?240 N? c)i ? (?160 N? c) j ? (39?0 N c)k ?

的通电过通平量面是?S多?少( ??1?.1S?m在2 )i垂?直( 4于.2mE?2

) j ? ( 2.4m2
的平面上

)k

? E

的投影是多少?

? ? ? ?? ? ? ?

解:(1)E

?

Ex?i

?

E ?

y

j

?

Ezk

?S ? ?Sxi ? ?Sy j ? ?Szk

?e ? E ? ?S ? Ex?Sx ? Ey?Sy ? Ez?Sz

??

(2) ?e ? E ? ?S ? E?S cos? ? E?S?

?S? ? ?e E ? ?e

E

2 x

?

E

2 y

?

Ez2

10

课堂练习 求均匀电场中一半球面的电通量。

? ?n

? E

? n

n

S1

R

?O n

S2

??

? ?S1 ?

E ? dS
S1

? E ? S2

?S1 ? E?R2

11

三、高斯定理

在真空中的任意静电场中,通过任一闭合曲
面S的电通量?e ,等于该闭合曲面所包围的电荷电 量的代数和除以?0 而与闭合曲面外的电荷无关。

? ? ?e

?

s

?? E ? dS

?

1
?0

qi

12

1、高斯定理的引出 (1)场源电荷为点电荷且在闭合曲面内

? E

? dS

??

? ?e ?

E ? dS
S

q?

?

?? S 4? ?0r 2 r0 ? dS

q + r

? ? ?

S

q
4?? 0r 2

dS

?

q
4? ?0r 2

dS
S

?

q
4? ?0r 2

? 4?r 2

?

q
?0

与球面半径无关,即以点电荷q为中心的任一球面, 不论半径大小如何,通过球面的电通量都相等。
13

讨论:
a. q ? 0 ? ?e ? 0
电量为q的正电荷有q/?0条电
场线由它发出伸向无穷远

q ? 0 ??e ? 0
电量为q的负电荷有q/?0
条电场线终止于它

b、若q不位于球面中心, 积分值不变。

+q

c、若封闭面不是球面, 积分值不变。

? ?q

? E ? dS ?

s

?0

14

(2) 场源电荷为点电荷,但在闭合曲面外。
+q
因为有几条电场线进面内必然有同样数目的电场线 从面内出来。
??
?e ? 0 ? ? E ? dS ? 0
s
15

(3) 场源电荷为点电荷系(或电荷连续分布的带电体),

高斯面为任意闭合曲面

?? ?

?

E ? E1 ? E2 ? ?? En

??

? ?e ?

E ? dS
S

?? ??

??

? ? E1 ? dS ? ? E2 ? dS ? ?????? ?? En ? dS

s

S

s n

? ? ?e1 ? ?e2 ? ? ? ?en ? ?ei

i ?1

? ? ?e ?

?? E ? dS ?

1

S

?0

q 内

16

3、高斯定理的理解

? ? ?e

?

s

?? E ? dS

?

1
?0

qi

?

a. E是闭合面各面元处的电场强度,是由全部电

荷(面内外电荷)共同产生的矢量和,而过曲面的

通量由曲面内的电荷决定。

因为曲面外的电荷(如 q4 )
对闭合曲面提供的通量有正有
负才导致q4 对整个闭合曲面贡
献的通量为0。

q1 q2

q3
q4

17

b . 对连续带电体,高斯定理为
? c. qi ? 0 ? ?e ? 0

?? 1
? E ? dS ? ? 0 ? dq

表明电场线从正电荷发出,穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。

?qi ? 0 ? ?e ? 0
表明有电场线穿入闭合曲面而终止于负电荷, 所以负电荷是静电场的尾。

静电场是有源场
18

当场源分布具有高度对称性时求场强分布

步骤:

1.对称性分析,确定

? E

的大小及方向分布特征

2.作高斯面,计算电通量及 ? qi

3.利用高斯定理求解

19

例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0
? 解: 对称性分析 E具有球对称 作高斯面——球面

r?R
电通量 ??
? ?e ? E1 ? dS
? ? E1 dS ? E1 4?r 2
s1
电量 ? qi ? 0
用高斯定理求解

?

+ + +R

+

+
r

E
+ +q +

+

+

+

+

+++ +

E14?r2 ? 0 ? E1 ? 0

20

?

r?R

? ? ? ?e

? qi

? E2 ?q

?

?

?

dS ? E2 dS ? E2 4?r 2

s2

E2 4?r 2 ? q ? 0

+
+ +

+ R

E2

?

q
4? ?0r 2

+ +

++
O
++

E

+ +
r

q

+ +

+

E

1

q
4? ?0 R2
O

r2
R

r 21

例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R

解: r<R
??
? ?e ? E ? dS ? E4?r 2

? qi

?

q
4 ?R3

4 ?r 3
3

3

q

E4?r 2

?

1
?0

qr 3 R3

r

场强

E

?

qr
4? ?0R3

? E
R
高斯面
22

r>R
电通量
??
? ?e ? E ? dS ? E4?r 2

? 电量

qi ? q

r

高斯定理

E4?r 2 ? q ? 0

场强

q
E ? 4? ?0r 2

? E
R
高斯面
23

均匀带电球体电场强度分布曲线

?

E

E

R

q 4? ?0 R2

O

R

εO
r
24

例3. 均匀带电无限大平面的电场,已知?
? 解: E具有面对称 高斯面:柱面

1)任意点场强方向都垂直于该 带电平面。

2)离无限大均匀带电平面距离

相等的各点处电场强度大小都相

同。

?

E

S2

高 斯 面

S? E

S侧

S1

σ

25

解:

?? ?? ?? ??
?e ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS



S1

S2

S侧



? ES1
2ES ?

? ES2 ?
1 ?S

0

?

1 ?S
??0 E


S? E

?0

S2

S侧

S1

?
?E ?
2? 0

σ
26

例4. 均匀带电圆柱面的电场。 沿轴线方向单位长度带电量为?

解:场具有轴对称

高斯面:圆柱面

(1) r <R

?? ?? ?? ??

?e ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS

s

上底

下底

侧面

? 0 ? 0 ? E2?rl ? E2?rl l

? qi ? 0

E?0

高 斯 面
r? E
27

(2) r >R

??

?? ?? ??

?e ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS ? ? E ? dS

s

上底

下底

侧面



? E2?rl

斯 面

?qi ? 2?Rl?

R?
E?
r? 0

令 ? ? 2?R? ?

r

l

?

E

E?

2? ?0r

28

课堂讨论

●q ●q

1.立方体边长 a,求

?e

?

q
6? 0

q 位于中 心 过每一面的通量 位于一顶点

29

课堂练习:
求均匀带电圆柱体的场强分布,已知R,?

r?R
r?R

E 2?rl

?

? ?0?R2

?r 2l

E2?rl ? ?l ?0

?r
E ? 2? ?0 R2 r ? R ?
2? ?0r r ? R 30


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