2015年高中数学 2.5平面向量应用举例课件 新人教A版必修4_图文

第二章 平面向量

2.5

平面向量应用举例

1.能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实
际问题.(重点) 2.掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.(难点) 3.掌握用向量方法解决实际问题的步骤.(易混点)

1.物理学中的量与向量的关系 (1) 物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是 向量 . ________ (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是 加减 法. 向量的_______

2.用向量方法解决平面问题的“三步法”

1.想一想 船逆水行驶的实际速度,可看作向量怎样的运算? 提示:可看作船静水速度(向量ν1)与水流速度(向量ν2)的和 运算,即ν1+ν2.

2.判一判(判断下列说法的正误) → → (1)若△ABC 是直角三角形,则有AB· BC=0.( 提示:× → → AB· BC=0. )

直角△ABC 中不一定∠B 是直角,故不一定有

→ → (2)若AB∥CD,则直线 AB 与 CD 平行.(

)

→ → 提示:× AB∥CD?直线 AB 与 CD 重合或平行. → → (3)向量AB, CD的夹角与直线 AB, CD 的夹角不相等. ( ) → → 提示:× AB、CD的夹角可能与直线 AB、CD 的夹角相
等.

1.向量在平面几何中的应用
(1)把平面几何中的线段规定方向转化为向量,这样,有关 线段的长度即转化为向量的长度(模)、射线的夹角即转化为向 量的夹角,于是平面几何中的一此证明、计算就被向量的运算 取代,这给许多问题的解决带来了方便,就是说向量为我们研 究平面几何问题提供了一种新的思想,新的工具.

(2)平面几何证明中辅助线往往是学习的难点,而引入向量 后,就减少或不需作辅助线,但应注意选用基底表示有关向量 时,选用的基底不同,解法也会有一些差别,因此选用合适的 基底显得很重要. 2.在物理中与向量运算有关的问题 (1)力、速度、加速度、位移都是向量. (2)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的

加减.
(3)动量mv是数乘向量. (4)功是力F与位移s的数量积,即W=F·s.

向量在平面几何中的应用
试用向量方法证明:平行四边形对角线平方和等 于其各边平方和.
→ → 思路点拨: 选取基底 ―→ 表示OC,BA ―→ → 2 →2 求OC ,BA ―→ 求和得结论

→ → → 证明:如图所示,在?OACB 中,设OA=a,OB=b,则OC → =a+b,BA=a-b. →2 → → 由于OC =OC· OC=(a+b)· (a+b) =|a|2+2a· b+|b|2,

→2 BA =(a-b)· (a-b) =|a|2-2a· b+|b|2, 所以 OC2+BA2=2|a|2+2|b|2. 由于 OA=BC=|a|,OB=AC=|b|, 故 OC2+BA2=OA2+BC2+OB2+AC2.

用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤: ①选取基底; ②用基底表示相关向量; ③利用向量的线性运算或数量积找相应关系; ④把几何问题向量化.

(2)向量的坐标运算法的四个步骤: ①建立适当的平面直角坐标系; ②把相关向量坐标化; ③用向量的坐标运算找相应关系; ④把几何问题向量化.

求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦
值. 解: 如图所示,分别以等腰直角三角形的两直角边为 x 轴、y轴建立直角坐标系,

→ 设 A(2a,0),B(0,2a),则 D(a,0),C(0,a),从而可求:AC= → → → (-2a,a),BD=(a,-2a).不妨设AC,BD的夹角为 θ,则 → → AC· BD cos θ= → → |AC||BD| ?-2a,a?· ?a,-2a? -4a2 4 = = 5a2 =-5. 5a· 5a 4 故所求钝角的余弦值为-5.

向量在物理中的应用
如图,作用于同一点 O 的三个力 F1,F2,F3 处于 2π 平衡状态,已知|F1|=1,|F2|=2,F1 与 F2 的夹角为 3 ,求|F3|.

思路点拨:解答本题的切入点是根据三个力F1,F2,F3处 于平衡状态分析出F1+F2+F3=0.

解:∵F1,F2,F3 三个力处于平衡状态, ∴F1+F2+F3=0,即 F3=-(F1+F2). ∴|F3|=|F1+F2| = ?F1+F2?2= F2 F2+F2 1+2F1· 2 = 2π 1+2×1×2×cos 3 +4= 3.

向量解决物理问题的步骤

【互动探究】
在本例中,求F2与F3的夹角.

解:∵F1+F2+F3=0,∴-F1=F2+F3.
2 2 ∴(-F1)2=(F2+F3)2,即 F2 = F + 2 F · F + F 1 2 2 3 3.

设 F2 与 F3 的夹角为 θ,∵|F1|=1,|F2|=2,|F3|= 3, ∴12=22+2×2× 3cos θ+( 3)2, 3 解得 cos θ=- 2 . 5π 又 θ∈[0,π] ,∴θ= 6 . 5π 故 F2 与 F3 的夹角为 6 .

易错误区系列(十七) 利用向量判断平面图形 形状时的误区
→ → → →2 在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的 形状一定是( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

A.等边三角形 C.直角三角形

→ → → →2 解析:由(BC+BA)· AC=|AC| ,① → → → →2 得(BC+BA)· AC-AC =0, → → → → 所以AC· (BC+BA-AC)=0.② → → → → 所以AC· (BC+BA+CA)=0.③ → → → → 即AC· (BC+CA+BA)=0, → → 所以 2 AC· BA=0.

→ → 所以AC⊥BA. 所以∠A=90° . 所以△ABC 是直角三角形.

答案:C
错解 选A或B 或D 错因 若在①处忽视a2=|a|2的应用,②处忽视向 量数量积的运算律的应用,③处相反向量 的意义应用出错,则导致解答错误

【纠错提升】 意

应用向量知识判断平面图形形状的三点注

(1)注意向量线性运算和数量积的几何意义的应用. (2)注意常见平面图形的判定方法,如等腰三角形、等边三 角形、平行四边形、梯形等. (3)推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导, 回答应力求准确.

→ → → 【即时演练】若四边形 A1A2A3A4 满足A1A2+A3A4=0,(A1A → → A1A3=0,则该四边形一定是( 2-A1A4)· A.矩形 B.菱形 )

C.正方形 D.直角梯形 → → → → → → 解析:由A1A2+A3A4=0 得A1A2=-A3A4,所以A1A2∥A3A4,
→ → |A1A2|=|A3A4|.

→ → 所以四边形 A1A2A3A4 是平行四边形.又因为 ( A1A 2 -A1A → → → → → )· A A = A A · A A = 0 ,所以 A A ⊥ A 4 1 3 4 2 1 3 4 2 1A 3. 所以四边形 A1A2A3A4 是菱形.

答案:B


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